四川省成都市第七中学2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年度下期高2025届半期考试

数学试卷

考试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案.

【详解】由题意可得,

故选：D

2. 的值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据诱导公式结合特殊角的正弦值即可求解.

【详解】解：.

故选：C.

3. 已知，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】由可得，

故选：A

4. 已知函数的图象的一部分如图（1），则图（2）的函数图象所对应的函数解析式可以为

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：因为图（2）中的图象可以看作是图（1）中的图象先向右平移一个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到，所以图（2）所对应的函数解析式应是.

故选B.

考点：三角函数的图象变换.

5. 角的终边上有一点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数定义求得的值，利用诱导公式结合两角和的正弦公式，展开求值，可得答案.

【详解】由题意角的终边上有一点，则,

故，

故

，

故选：B

6. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（    ）．

A. 5千米 B. 千米 C. 4千米 D. 千米

【答案】B

【解析】

【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.

【详解】根据题意可知，.

在中，由正弦定理得,即.

故选:B

7. 已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象结合三角函数求点，进而求，即可得结果.

【详解】因为，

可得，即，

由图可知：点A为减区间的对称中心，

令，解得，

取，则，即，

可得，

因为点A为线段CD的中点，则，

所以.

故选：B.

8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.

【详解】由可得，

结合,

可得，即，

由于在锐角中，，

故，则,

则,

又，所以恒成立，即恒成立，

即恒成立，

因为，故，令，

则函数在内单调递增，故，

即，

故，

故选：C

【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下面给出的关系式中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据向量数乘的含义可判断A；根据数量积的运算律可判断B，C，D.

【详解】根据向量的数乘的含义可知向量的数乘的结果仍是向量，故，A正确；

根据向量的数量积的运算律可知，B正确；

根据数量积的含义可知是一个实数，故是与共线的向量，

同理是与共线的向量，但是不一定共线，

故不一定成立，C错误；

当为非零向量且方向相反时，，而，

即，D错误，

故选：AB

10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（    ）

A. 若，则为直角三角形

B. 若，则为等腰三角形

C. 若，则

D. 若，则为钝角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：根据平面向量的模长以及数量积的运算律分析运算；对于B：利用余弦定理分析运算；对于C：利用正弦定理分析运算；对于D：结合正切值小于0即可判断

【详解】对于A：因为，即，

则，整理得，

所以，即为直角三角形，故A正确；

对于B：若，则

由余弦定理可得，

整理得，

则或，可得或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C：若，则，

由正弦定理可得，故C正确；

对于D：因为可知中至少一个为负值，

即中必有一个钝角，所以为钝角三角形，故D正确；

故选：ACD.

11. 设，（其中），下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 存在，使得

D. 的最大值为3

【答案】CD

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行求得，判断B；可举例说明C；根据向量模的计算可判断D.

【详解】对于A，∵，∴，

且，∴或，∴或，A错误；

对于B，∵，∴，

且，∴或，故或，B错误；

对于C，当时，，，方向相同，

故 C正确；

对于D，，

则，，

故时，取最大值9，取最大值3，D正确，

故选：CD

12. 黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（    ）

A.

B.

C. 在上的投影向量为

D. 是方程的一个实根

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、余弦定理、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设，则，解得，则，

则，A正确.

，，B正确.

依题意可设，则，

则由余弦定理得，

过B作，垂足为E，

则在上的投影向量为，C错误.

由图可知，

则

，

设，则，整理得，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在菱形ABCD中，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由菱形的对角线互相垂直得，再利用向量垂直的坐标运算计算即可.

【详解】在菱形ABCD中对角线互相垂直，所以,

所以，

所以.

故答案为：.

14. 已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：

（1）函数的图象不过原点；（2）对任意，都有；（3）对任意，都有.

则符合上述条件的函数表达式可以为______.（答案不唯一，写出一个即可）

【答案】1（答案不唯一，符合题意即可）

【解析】

【分析】取特列，根据题意分析判断.

【详解】取，则，符合（1）；

对任意，都有，符合（2）；

对任意，都有，符合（3）；

综上所述：符合题意.

故答案为：1.

15. 已知等边三角形ABC的边长为2，，，，那么______.

【答案】

【解析】

【分析】确定向量之间的夹角，根据数量积的定义计算，即可得答案.

【详解】由题意可知等边三角形ABC的边长为2，

则的夹角为，以及的夹角也为，

则，同理，

故，

故答案为：

16. 已知向量，满足，，对恒成立，若，则，夹角的最小值是______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据平面向量的模长运算可得，结合二次函数的最值分析运算即可.

【详解】设，夹角为，则，

可得，

因为，则当时，取到最小值，

由题意可得，解得，

又因为，则，

所以，夹角的最小值是.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，向量，.

（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；

（2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解；

（2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解.

【小问1详解】

设点C的坐标为，

因为，，，可得，

则，

若四边形OACB为平行四边形，可得，

则，解得，

故点C的坐标为.

【小问2详解】

设点P的坐标为，

由（1）可知：，则，

若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，

则，解得，

故点P的坐标为.

18. 如图，在中，已知，，，，，AM，BN相交于点P.设，.

（1）用向量，表示；

（2）求，夹角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量的线性运算求解；

（2）由题意可得，结合数量积的定义以及运算律运算求解.

【小问1详解】

由题意可得：.

【小问2详解】

因为，

由题意可得：，

可得，

，

，

即，所以，

故，夹角的余弦值为.

19. 已知函数.

（1）求的值；

（2）在中，若，求的最大值.

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，代入运算求解即可；

（2）根据题意结合正弦函数可得，再利用三角恒等变换整理得，进而可求最大值.

【小问1详解】

由题意可得：

，

故.

【小问2详解】

因为，

且，则，

所以，解得.

故，

因为，则，

所以，可得，

故的最大值为.

20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理，把边化为角，结合三角形的内角和定理，利用三角恒等变换化简可得，进一步求得；

（2）根据（1）结论，根据三角形的面积公式可得，再利用余弦定理变形可得，进而求得的周长；

【小问1详解】

因为，由正弦定理得，

所以，

所以，

因为，所以，

即，所以，

因，所以，所以即；

【小问2详解】

因为的面积为，，

由三角形的面积公式得，化简得，

又根据余弦定理得，

所以，

所以，所以，

故周长为

21. 已知，，其中，函数的最小正周期为.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示，结合三角恒等变换化简，可得到表达式，利用函数周期求得参数，即可得函数解析式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；

（2）将化简整理，从而将恒成立问题转化为函数最值问题，即分离参数后得，对恒成立，令，从而可构造函数，利用其单调性求得最值，即可求得答案.

【小问1详解】

因为， ,

则,

，

故，

因为最小正周期为，所以，∴，

故，

由,解得，

所以的单调递增区间为.

【小问2详解】

在内恒成立，

即在内恒成立，，

整理得：，

由于，，则，

故，对恒成立，

令，则，

故，

设，当时函数为单调递增函数，

故，故，即，

所以m的取值范围为．

【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题的一般方法，就是将问题转化为求函数的最值问题解决，即分离参数后，或，其中要注意对不等式进行适当的变形，从而可构造恰当的函数.

22. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

（1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；

（2）若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；

（3）在杆AB上有两点，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.

【答案】（1）   

（2）   

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由题意结合图形，在中用正切函数的定义即可求出.

(2)先求出 ，用余弦定理求出的值，再用同角的平方关系即可求出；或先求出和，再用正弦的二倍角公式求出.

(3)先求出 ，通过变形得到讨论函数在上的单调性，即可证明结论.

【小问1详解】

如图1，

由题意得，，，且E是的中点，，，

所以在中，.

【小问2详解】

解法一：由题意，.由于E是中点，且，

所以，

且.

由余弦定理得

从而

即太阳高度角的正弦值为.

解法二：由题意，.由于E是的中点，且，

所以，

且，

于是 且，

从而,

即太阳高度角的正弦值为 .

【小问3详解】

由题意，，

因为，都是锐角，则， 所以，

从而.

根据，

可知

因为函数在单调递增，且，

所以 ，即.

【点睛】方法点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是把要解决的实际问题转化为数学公式或者概念.在本题中，要把物体的长度，太阳高度角等实际生活中的条件转化为三角形中的长度和角度，从而利用三角函数的有关知识解答.