浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

浙江省A9协作体2022学年第二学期期中联考高一数学试题

选择题部分（共60分）

一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ）．

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，即可确定的虚部

【详解】，则的虚部为

故选：B

2. 平面向量，，若与共线，那么的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用向量共线的坐标形式的充要条件求解.

【详解】由题意，，共线，则，解得.

故选：A

3. 平面上四点，，，，满足，那么下列关系成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为，所以，

即，所以.

故选：B

4. 若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（    ）

A. 若，，那么 B. 若，，那么

C. 若，，那么 D. 若，，那么

【答案】D

【解析】

【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可.

【详解】当，时，可以相交，故选项A不正确；

当，时，，可以是异面直线，因此选项B不正确；

当，时，存在这一情况，所以选项C不正确；

根据面面平行的性质可知选项D正确，

故选：D

5. 在中，角，，所对的边为，，，，，，那么的大小是（    ）

A.  B. 4 C.  D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】运用余弦定理进行求解即可.

【详解】因，，，

所以有，或舍去，

故选：D

6. 已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在上的投影向量为，据此可得答案.

【详解】与方向相同的单位向量为：，则在上的投影向量为.

故选：C

7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由可得出关于的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设扇形的半径为，则、，

设点，

因为，

所以，，所以，，

所以，，

其中为锐角，且，

因为，则，

当且时，取得最大值.

故选：C.

8. 如图从半径为定值的圆形纸片上，以为圆心截取一个扇形卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设扇形的半径为，扇形的圆心角为，设圆锥的底面半径为，高为，求出、关于的表达式，利用三元基本不等式可求得圆锥体积的最大值及其对应的的值.

【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为，则扇形的弧长为，

设圆锥的底面半径为，高为，则，则，

则，

所以，该圆锥的体积为

，

当且仅当时，即当时，等号成立.

故选：A.

二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分.

9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，一定有

B. 若，那么一定是钝角三角形

C. 一定有成立

D. 若，那么一定是等腰三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于、根据正、余弦定理对边角进行合理转化，就可以判断. 对于、除了根据正、余弦定理对边角进行合理转化，还要结合两角和差以及二倍角公式进行验证.

【详解】对于A项：因为在三角形中，所以，

根据正弦定理：，所以，所以正确；

对于B项：因为，所以，，

故是钝角三角形，所以正确；

对于C项：，根据正弦定理，

，，所以正确；

对于D项：，即，，

解得或，所以错误.

故选：.

10. 如图正方体，、分别为、的中点，是线段上的动点（包括端点），下列说法正确的是（    ）

A. 对于任意点，与平面平行

B. 存在点，使得与平面平行

C. 存在点，使得直线与直线平行

D. 对于任意点，直线与直线异面

【答案】ACD

【解析】

【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断A选项；取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断B选项；取点与点重合，可判断C选项；利用反证法可判断D选项.

【详解】对于A选项，取线段的中点，连接、，如下图所示：

在正方体中，且，

因为、分别为、的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

同理可得，故，

因为平面，平面，所以，平面，

同理可证平面，

因为，、平面，所以，平面平面，

因为平面，所以，平面，A对；

对于B选项，取线段的中点，连接、，

在正方体中，且，

因为、分别为、的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

平面，平面，所以，平面，

同理可证平面，

因为，、平面，所以，平面平面，

对于任意过点且在平面内的直线，则平面，

但平面，所以，与平面不平行，B错；

对于C选项，连接、，

在正方体中，且，

因为、分别为、的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，所以，且，

因为且，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，故，同理可证，则，

故当点与点重合时，，C对；

对于D选项，假设存在点，使得直线与直线共面，则、、、四点共面，

即平面，事实上，点平面，

假设不成立，故对任意点，直线与直线异面，D对.

故选：ACD.

11. 已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（    ）

A. 一定存在实数，使得成立

B. 若，那么一定有

C. 若，那么

D. 若，那么，，一定相互平行

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】只有当，不是共线向量时，一定存在实数，使得成立，因此选项A不正确；

由，因此选项B正确；

由，

，

所以选项C正确；

当时，显然成立，但是，，不一定互相平行，

故选：BC

12. 直三棱柱的六个顶点均位于一个半径为1的球的球面上，已知三棱柱的底面为锐角三角形，，，那么该直三棱柱的体积可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】设底面外接圆的半径为，利用正弦定理求出，设直三棱柱的高为，外接球的半径为，利用勾股定理求出，在底面锐角中由正弦定理表示出、，即可求出的取值范围，从而求出的面积的取值范围，再根据柱体的体积公式求出体积的取值范围，即可得解.

【详解】设底面外接圆的半径为，则，

设直三棱柱的高为，外接球的半径为，则，则，

在锐角中，，

由正弦定理得，

则，，

；

，解得，，，，

，

所以.

故选：BCD

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卡的横线上.

13. 已知复数，那么______.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再计算其模.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

14. 如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图面积是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.

【详解】由题意可知等腰梯形的高,

由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为，

的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为

故答案为：

15. 平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量，，令，那么就是一个与配对组成正交基底的向量.若，，按照上述方法，可以得到的与配对组成正交基底的向量是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据数量积的坐标表示及向量运算计算即可.

【详解】因为，，所以；

根据题意，，

就是一个与配对组成正交基底的向量.

故答案为：.

16. 已知平面向量，，，若，，那么的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】令，，则，，，，根据数量积的运算律得到，再求出的取值范围，即可得解.

【详解】因为，，

令，，则，，

所以，，

所以

又，所以，

所以，即，

即.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （1）已知(是虚数单位)是方程()的一个复根,求实数,的值;

（2）在复数范围内解方程:.

【答案】（1）,

（2）,

【解析】

【分析】（1）将代入方程,再根据复数相等列方程求解即可;

（2）利用配方法求解即可.

【详解】（1）根据题意得:,

所以,

则,

解得:,.

（2）因为,

所以

得,

即，.

18. 已知平面向量，，满足，，，（）.

（1）若向量，的夹角为，且，求的值；

（2）若的最小值为，求向量，的夹角大小.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据得，展开求解即可.

（2）对两边平方，求出最小值即可求出向量，的夹角大小.

【小问1详解】

因为，所以，即 ，所以 ，

代入，得，故 .

【小问2详解】

设，夹角为，由得

，

故当时，有最小值 ，

由题意，解得，

又，所以或.

19. 如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边长为，另一边长为，大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在，两边上分别找两点，，修建一条的电动自行车道路，需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.

（1）若设，，求，满足的关系式；

（2）如何选择，可以使得所修道路最短？并求出最小值.

【答案】（1）   

（2）取时，最短为

【解析】

【分析】（1）先求出，然后用及三角形的面积公式表示出，然后列方程求解；

（2）列出余弦定理方程，结合（1）中的结论与基本不等式求解.

【小问1详解】

可知，

，根据，所以：，

【小问2详解】

可知：，

所以取时，最短为.

20. 如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.

（1）求证：平面；

（2）已知点在上满足平面，求的值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）2

【解析】

【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面；

（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN.

由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案.

【小问1详解】

证明：连结交于，连结，

因在中，为中点，为中点，则FO .

又平面，平面，故平面；

【小问2详解】

如图连结交延长线于，连结交于，

连结，，，EN.

因，则四点共面.

又平面，平面平面，

则，四边形为平行四边形，可得 为中点.

则为BG中点.

即EN为中位线，则ENPG，.

又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD.

从而FDPG，.

21. 在中，角，，所对的边为，，，已知，是边上的点，满足，.

（1）求角大小；

（2）求三角形面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由三角形的内角和性质及余弦两角和与差的公式化简可得角的大小；

（2）利用向量的基本定理，以，为基底，表示出，两边平方，化简后利用均值不等式可求出最大值，结合三角形面积公式求解.

【小问1详解】

由三角形内角和性质可知，，

，

，又

；

小问2详解】

因为,所以

所以，又，

，

即，

，

解得，当时等号成立，

.

22. 如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形的三边长为，，，三个角大小为，，，球的半径为.

（1）求证：

（2）①求球面三角形的面积（用，，，表示）.

②证明：.

【答案】（1）证明见解析   

（2）①；②证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据弧长公式即可求解.

（2）利用等面积法可得，即可求解．

【小问1详解】

证明：如图，，，

设，，的弧度数分别为，，，可知： ，

又因为：，，，

所以：；

【小问2详解】

①解：因为弧和弧夹角为，

那么两弧所在半圆所夹球面部分的面积为，

同理：弧和弧所在半圆夹球面部分的面积为，

弧和弧所在半圆夹球面部分的面积为，

考虑，，极小状态和球面的对称性可知：

，

所以： ；

②由于，可知.