浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高三数学下学期4月统一测试试题（Word版附答案）

2022学年第二学期普通高中高三4月统一测试

数学试题

第Ⅰ卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知是互相垂直的单位向量，若，则（    ）

A.-2    B.-1    C.0    D.2

3.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

4.已知均为锐角，且，则的最大值是（    ）

A.4    B.    C.2    D.

5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁柱曲线）方程为y=1.1x，第n（n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点An（xn，yn）和Bn（x'n，y'n），则（    ）参考数据：1.122=8.14

A.814    B.900    C.914    D.1000

6.数列满足，且其前项和为.若，则正整数（    ）

A.99    B.103    C.107    D.198

7.已知函数，若，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知定点，动点在圆上，的垂直平分线交直线于点，若动点的轨迹是双曲线，则的值可以是（    ）

A.2    B.3    C.4    D.5

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中正确的有（    ）

A.若复数满足，则；

B.若复数满足，则；

C.若复数满足，则；

D.若复数，则.

10.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（    ）

A.    B.1    C.2    D.3

11.在正三棱柱中，，点满足，其中，则（    ）

A.当时，的周长为定值

B.当时，三棱锥的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点，使得

D.当时，有且仅有一个点，使得平面

12.已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（    ）

A.点是函数的零点

B.，使

C.是的极大值点

D.的取值范围是

第Ⅱ卷

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则__________.

14.已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________.

15.已知椭圆，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围为__________.

16.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

已知函数的最小正周期为8.

（1）求的值及函数的单调减区间；

（2）若，且，求的值.

18.（本题满分12分）

已知数列是等差数列，，且，，成等比数列.给定，记集合的元素个数为.

（1）求，的值；

（2）求最小自然数n的值，使得.

19.（本题满分12分）

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面.

（1）设为棱的中点，证明：四点共面；

（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.

20.（本题满分12分）

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.

如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下.

（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；

（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.

①求的分布列：

②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

21.（本题满分12分）

已知双曲线E：与直线l：相交于A､B两点，M为线段AB的中点.

（1）当k变化时，求点M的轨迹方程；

（2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C､D两点，问：是否存在实数k，使得A､B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

22.（本题满分12分）

已知，函数.

（1）求曲线在点处的切线方程：

（2）证明存在唯一的极值点

（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围.

2022学年第二学期普通高中高三4月统一测试

数学试题答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.    15.    16.-1.35

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（1）由已知可得，，

∵的最小正周期，∴，∴，

由得，

∴f（x）的单调递减区间为[]（k∈Z）；

（2）∵，由（1）有，即，

由，知；∴，

故

﹒

18.（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，

，解得，所以，

时，集合中元素个数为，

时，集合中元素个数为；

（2）由（1）知，

，

时，=2001<2022，时，=4039>2022，

记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.

19.（1）连接，由于四边形ABCD是正方形，所以，

又平面，平面，所以，

平面，所以平面，

由于为棱的中点，，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因此，所以四点共面，

（2）由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，

，，设，

由（1）知，故，解得，故，

，

设平面，的法向量分别为则

即，取，则，

即，取，则，

设平面与平面的夹角为，则

20.（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，

则；

（2）①，记第7层从左向右的空隙编号为，的取值分别为1，2，3，4，5，6，7，

则的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，且，X的取值可为1，2，3，4，5，6，

，

，

，

，

，

，

∴X的分布列为

②，的可能取值为0，5，10，15，

，

，

，

，

∴.

∴小明同学能盈利.

21.（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，得，

消去y，得.由且，得且.

由韦达定理，得.所以，.

由消去k，得.由且，得或.

所以，点M的轨迹方程为，其中或.

（2）双曲线E的渐近线方程为.

设，，联立得，同理可得，

因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点.若A，B为线段CD的两个三等分点，则.即，.

而，.

所以，，解得，所以，存在实数，使得A､B是线段CD的两个三等分点.

22.（1），则，又，则切线方程为；

（2）令，则，令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

当时，，，当时，，画出大致图像如下：

所以当时，与仅有一个交点，令，则，

且，

当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；

（3）由（2）知，此时，

所以，令，

若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，

，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，故，所以实数b的取值范围.