浙江省宁波市2022-2023学年高三数学下学期4月二模试题（Word版附答案）

宁波市2022学年第二学期高考模拟考试

高三数学试卷

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，则（    ）

A．       B．       C．     D．

2．设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为（    ）

A．          B．          C．1          D．2

3．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ）

A．       B．       C．     D．

4．己知非零向量满足，则（    ）

A．       B．       C．     D．

5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（    ）

A．寸         B．2寸        C．寸            D．3寸

6．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（    ）

A．2         B．4          C．6            D．10

7．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ）

A．       B．       C．     D．

8．己知函数，则的零点个数为（    ）

A．2023         B．2025         C．2027           D．2029

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（    ）

A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关

B．9号的最高气温与最低气温的差值最大

C．最高气温的众数为

D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大

10．己知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（    ）

A．       B．

C．     D．

11．已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，则（    ）

A．SA与SB所成的角可能为         B．SA与OB所成的角可能为

C．SO与平面SAB所成的角可能为    D．平面SOB与平面SAB的夹角可能为

12．三支不同的曲线交抛物线于点，F为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是（    ）

A．为定值        B．

C．若，则     D．若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．

14．写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程__________．

15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则m所有可能取值的集合为___________．

16．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（I）若，求；

（Ⅱ）若的最大角为最小角的2倍，求a的值．

18．（12分）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：

（I）根据列联表，判断是否有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；

（Ⅱ）甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．

附：，其中，

19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．

（I）求证：平面ABCD；

（Ⅱ）设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长．

20．（12分）己知等比数列的前n项和满足．

（I）求首项的值及的通项公式；

（Ⅱ）设，求满足的最大正整数n的值．

21．（12分）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．

（I）求双曲线E的方程；

（Ⅱ）直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，当时，求直线l的方．

22．（12分）已知函数．

（I）讨论函数的单调性：

（Ⅱ）若是方程的两不等实根，求证：

（i）；

（ii）．

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B  2．D  3．C  4．D  5．C  6．A  7．B  8．C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．AC  10．ABC  11．AC  12．AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．2       14．或（填一个即可）

15．      16．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（I）当时，，在中，由余弦定理，得

，                         2分

所以．                                4分

（Ⅱ）由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，

由正弦定理得，即，                             6分

又，所以，                          8分

将，代入上式得，                    9分

解得．                                             10分

18．（I）零假设为：：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联．

根据列联表中的数据，经计算得，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关．                                4分

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，

，

所以的分布列为：

（或）．                   8分

（Ⅲ）设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，

设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，

设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，

，

故由条件概率公式可得

．                               10分

19．（I）如图，

在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，

因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

所以平面PAD，因为平面PAD，所以；

同理，过点E作直线，

因为平面平面ABCD，平面平面，

平面ABCD，所以平面PAB，

因为平面PAB，所以；

因为，平面ABCD，所以平面ABCD．                   5分

（Ⅱ）由（I）及，如图，

以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正向，

建立空间直角坐标系，设，则，

所以，            7分

设平面PBC的法向量为，由得，

设平面PCD的法向量为，由得，         10分

由题知，即，解得，

所以BC的长为．                                              12分

20．（I）解法1：当时，，则，即，

因为数列是等比数列，所以公比为2，                   2分

当时，，即，所以，且满足题意，            4分

所以的通项公式为．                                        5分

解法2：由题知，，即，

由①代入②，得，

解得或．（舍去），

所以的通项公式为．                              5分

（Ⅱ）由（I）得，所以，所以

，                                       8分

由得，即，

令，则，

所以在时单调递增，且，                                      10分

而，

所以满足条件的最大正整数．                                           12分

21．（I）设是双曲线上的任意一点，则

，                2分

所以当时，的最小值为，所以，得，

所以双曲线E的方程为．                                            4分

（Ⅱ）由直线与圆相切得，

由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，

得，

可得                            6分

（注：解得扣1分）

，

点到AB的距离，故，             8分

设，联立方程组，

，

点O到MN的距离，故，                    10分

当时，，

整理得，即

（舍去），

所以，所以直线方程为．                      12分

22．（I），

当时，在上单调递增；                       2分

当时，由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减．                  4分

（Ⅱ）因为是方程的两不等实根，即是方程的两不等实根，

令，则，即是方程的两不等实根，

令，则，所以在上递增，在上递减，，

当时，，当时，且，

所以，即，令．

（i）要证，只需证，

解法1：记，

则，令，

则，

所以在上递增，，所以，所以，

所以，所以，即，所以得证．        8分

解法2：先证，令，只需证，

只需证：，令，

，所以在上单调递减，所以，得证．

因为，所以，所以，即，

所以，得证．                                  8分

解法3：由，设，

所以，即，

构造函数，

所以在上单调递增，所以，得证．               8分

（ii）要证：，只需证：，只需证：，

只需证：，只需证：，

令得即     ①

令得即    ②

①+②得，

即，所以命题得证．                              12分