2023届普通高等学校招生全国统一考试第一次模拟考试数学（理）试卷(含答案)

2023届普通高等学校招生全国统一考试第一次模拟考试数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设全集，集合N满足，则(   )

A. B. C. D.

2、已知，则(   )

A.2 B.-2 C. D.

3、已知向量，满足，，，则(   )

A.8 B.-8 C.-4 D.4

4、中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是(   )

A.7里 B.8里 C.9里 D.10里

5、已知，是椭圆的两个焦点，点M、N在C上，若，则的最大值为(   )

A.9 B.20 C.25 D.30

6、执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的(   )

A.-6 B.-5 C.-4 D.-3

7、已知数列满足，，若，则(   )

A.18 B.16 C.11 D.6

8、如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中正确的是(   )

①平面平面

②

③

④平面

A.①② B.①②④ C.②③④ D.①④

9、已知正六棱锥的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为，则该正六棱锥体积的最大值为(   )

A. B. C. D.

10、为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是(   )

附：若，则，.

A.该校学生体育成绩的方差为10

B.该校学生体育成绩的期望为85

C.该校学生体育成绩的及格率小于

D.该校学生体育成绩的优秀率大于

11、已知点在双曲线上，斜率为k的直线l过点且不过点P.若直线l交C于M，N两点，且以线段MN为直径的圆过点P，则(   )

A. B. C. D.

12、定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且.则(   )

A.30 B.60 C.90 D.120

二、填空题

13、从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为__________.

14、已知直线与圆交于A，B两点，直线垂直.平分弦AB，则弦AB的长为__________.

15、记函数的最小正周期为T.若，为的极小值点，则的最小值为__________.

16、已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若，则的最小值的取值范围是__________.

三、解答题

17、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)求A；

(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边BC上的高h.

条件①：，；条件②：，.

18、新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活.某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识.某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图.规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”.

30名女生成绩频数分布表：

(1)根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；

(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校女生中随机抽取4人，其中“防疫标兵”的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

附：，.

19、如图，已知矩形ABCD是圆柱的轴截面，P是CD的中点，直线BP与下底面所成角的正切值为，矩形ABCD的面积为12，MN为圆柱的一条母线(不与AB，CD重合).

(1)证明：；

(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.

20、已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；

(2)若没有零点，求a的取值范围.

21、已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为.

(1)求C的方程；

(2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数，).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

(1)说明是什么曲线，并将的方程化为极坐标方程；

(2)直线的极坐标方程为，是否存在实数b，使与的公共点都在上，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.

23、[选修4-5：不等式选讲]

设a，b，，a，b，c，-1均不为零，且.

(1)证明：；

(2)求的最小值.

参考答案

1、答案：B

解析：因为全集，，

所以.

故选：B.

2、答案：C

解析：因为，

所以，

所以，

所以，

故选：C.

3、答案：D

解析：因为，

所以，

又因为，，

所以，，

所以.

4、答案：A

解析：设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，

根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得，

故选：A.

5、答案：C

解析：根据椭圆定义可得：，，

因为，所以，

即，当且仅当时等号成立，

所以，则的最大值为25.

6、答案：D

解析：

7、答案：B

解析：

，

故选：B.

8、答案：B

解析：由题知，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，

如图，连接，，，BD，

所以，，平面ABCD，

所以，，

因为，，平面，

所以平面，

因为在中，E，F分别为CD，BC中点，

所以，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，故①正确，

由题知，两两垂直，以为坐标原点，

分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，

因为E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，

所以，，，，，

所以，，，

因为，，

所以成立，不成立；故②正确，③错误；

又由①中得，，，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，故④正确，

故选：B.

9、答案：B

解析：如图，过P作平面ABCDEF，则球心O在PM上，

设，，外接球的半径为R，

因为球O的体积为，所以，解得，

在中，，所以，

正六棱锥的体积为，

设，，.

令，解得，

令，解得或，

所以在单调递减，单调递增，单调递减，

因为球心O在该正六棱锥的内部，所以，

所以在单调递增，单调递减.

所以，

故选：B.

10、答案：C

解析：因为，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A，B均不正确；

因为60分及以上为及格，所以，C正确；

因为90分及以上为优秀，所以，D不正确；

故选：C.

11、答案：A

解析：将代入，则，

可得，故，

可得双曲线方程：，设，代入可得，

则，设，，，

则，，

已知，则，，

以线段MN为直径的圆过点P，则，

故，

因为，，

故，

则，

，

所以，

则，故，

解得或，

时，过，舍去，

，可得不经过，符合题意.

答案为A.

12、答案：D

解析：当，时，可化为，

令，则，.

所以，则.

，则，

，则，

，则，

因为，

当时，，即，

所以，则，

则，

所以，

所以，

故选：D.

13、答案：

解析：解：由题可知则A和B至多有一个入选的概率为，

故答案为：.

14、答案：

解析：圆可以化为，

圆心，半径，

由垂径定理可得直线过圆心，

则，所以，

因为直线与直线垂直，

所以，则，

圆心到直线的距离，

则，

故答案为：.

15、答案：14

解析：解：因为所以最小正周期，

，

又，所以，即；

又要为的极小值点，所以，，解得，，因为，

所以当时.

16、答案：

解析：对原函数求导，

由题意可得，在定义域中至少有两个变号零点，

设，则，

当时，易知在R上单调递减，假设此时存在，使得，

则在单调递增，在单调递减，

若函数在和分别取极小值点和极大值点，则，

与矛盾，不满足题意；

当时，易知在R上单调递增，此时若存在，使得，

则在单调递减，在单调递增，

由，得，

此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，

故只需满足，即：，

即，

可得，

所以，

因为，所以，

两边取对，即，

整理得，即，

解得，即；

又因为，所以.

对求导得，

令，可得，令，可得，

所以在单调递减，在单调递增，

所以在时取到最小值，

最小值为，

令，可得，

设最小值为，则最小值，

因为，所以，

所以.

故答案为：.

17、答案：(1)

(2)增加条件②，

解析：(1)在中，由及正弦定理得，

再由余弦定理及，得，

化简得，所以，

结合，得.

(2)若增加条件①：，.

因为，由，得，或，

所以不能唯一确定，不合题意.

若增加条件②：，.

将，代入，

得，解得，或(舍去).此时唯一确定.

由，得.

18、答案：(1)有的把握认为“防疫标兵”与性别有关

(2)分布列见解析，数学期望为

解析：(1)由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于80分的频率为，

故30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人.

由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人.

故，

所以有的把握认为“防疫标兵”与性别有关.

(2)从30名女生中随机抽取1人，是防疫标兵的概率为.

从该校女生中随机抽取4人，其中防疫标兵的人数X服从二项分布，即.

X的可能取值为0，1，2，3，4.

，，，

，.

所以随机变量X的分布列为

数学期望为.

19、答案：(1)证明见解析

(2)二面角的正弦值为

解析：(1)连接NC，因为BC是底面圆的直径，

所以，即.

又，且，所以平面MNC，

又平面MNC，所以.

(2)根据题意，，设，则，，

又因为，所以，得.

所以，，

设，则，

由(1)可知平面MNP，又P到MN的距离为NC，

所以.

当，即时，取等号.

因为NC，NB，NM两两互相垂直，以N为坐标原点，NC，NB，NM所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，，

，，

设平面BMP的法向量为，

则，即，

取，可得，，所以，

因为平面BMN，所以可取平面BMN的一个法向量为，

于是.

因此二面角的正弦值为.

20、答案：(1)

(2)a的取值范围是

解析：(1)当时，，.

，，

故曲线在点处的切线方程为，即.

因为该切线在x，y轴上的截距分别为-1和，

所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

(2)①当时，，则，

当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

故为最小值，且.

所以此时存在零点，不符合题意.

②当时，因为，所以，

令，则，

因为，，所以，所以在上单调递增，

又，，

故在上有唯一的零点，即，因此有.

当时，，即；当时，，即.

所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值.

由，得，

所以在时，，

因为，所以，又因为当时，，所以.

所以，此时没有零点.

综上，a的取值范围是.

21、答案：(1)

(2)直线PQ恒过定点

解析：(1)设点A的坐标为，点B的坐标为，

由，得，

因为，所以，直线AB的方程为，

所以由，得，整理得，

联立方程组，消去y，得，

所以有，，

把这两式代入，得.

所以C的方程为.

(2)由得，所以，

设过点E作拋物线C的切线的切点为，

则相应的切线方程为，即，

设点，由切线经过点E，得，即，

设，，则，是的两实数根，

可得，.

设M是PQ的中点，则相应，

，即，

又，

直线PQ的方程为，即，

所以直线PQ恒过定点.

22、答案：(1)曲线是以为圆心，b为半径的圆；的极坐标方程为

(2)存在实数，使与的公共点都在上

解析：(1)由消去参数t得到的普通方程为.

所以曲线是以为圆心，b为半径的圆.

将，代入的普通方程中，

得到的极坐标方程为.

(2)曲线，的公共点的极坐标满足方程组，

由方程组消去，得.

把代入的方程中，得，

把代入，得，

解得(舍去)，或.

所以存在实数，使与的公共点都在上.

另解(2)：由与的普通方程组成的方程组

消去平方项，得，

又的直角坐标方程为，

把代入，得，

即(舍去)，或.

所以存在实数，使与的公共点都在上.

23、答案：(1)证明见解析

(2)最小值为3

解析：(1)由已知得，且a，b，均不为零，

所以

.

(2)因为

，

故由已知得.

当且仅当，，时等号成立，

所以的最小值为3.