2023年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟数学试卷（二）(含答案)

2023年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试卷（二）

数  学

本试卷共4页，22小题。满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

          3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

          4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(    )

A．(-3，0)      B．(0，1)      C．(0，2)      D．

2．已知复数z满足，i为虚数单位，则z等于(    )

A．1-i              B．1+i              C．2-2i             D．2 +2i

3．已知向量，满足，且，则= (    )

A．-1              B．-5              C．1                D．0

4．在三棱锥S -ABC中，，则三棱锥

S -ABC外接球的体积为(    )

A．    B．   C．   D．

5．已知抛物线（t为常数）的准线经过点（3，-2），则抛物线的焦点坐标为(    )

A．(-2，0)      B．(2，0)      C．(0，-2)      D．(0，2)

6．已知，则的最大值为(    )

A．    B．    C．    D．0

7．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则(    )

A．     B．

C．   D．

8．已知,,，则(    )

A．c>a>b   B．a>c>b   C．a>b>c   D．b>a>c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的是(    )

A．若事件A与B互斥，则是必然事件

   B．学生社团魔方社要选取社员参加二阶、三阶、四阶、五阶四项魔方比赛，每项比赛只能派一人参赛，现抽取实力相当的甲、乙、丙、丁四人分别参加上述比赛，设“甲参加二阶魔方比赛”为事件A，“乙参加二阶魔方比赛”为事件B，则A与B是互斥但不对立事件

C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记“向上的点数小于6”为事件A，“向上的点数为奇数”为事件B，则

D．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则

10．关于正方体，下列说法正确的是(    )

A．直线

B．若平面与平面的交线为l，则l与AD所成角为45°

C．棱与平面所成角的正切值为

D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为

11．设直线，交圆于 A，B两点，则下列说法正确的有(    )

A．直线l恒过定点(2，2)

B．弦AB长的最小值为

C．当m=l时，圆E关于直线l对称的圆的方程为：

D．当m=l时，圆心E到直线l的距离为

12．已知函数，则下列说法正确的是(    )

A．若函数，则在(ln2，+∞)上单调递增

B．若函数，则在R上单调递增

C．若函数在处取得最小值，则

D．若函数在处取得最小值，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量与垂直，其中，求       。

14．的展开式中，的系数为                .（用数字填写答案）

15．椭圆C的两个焦点点在x轴上，若椭圆C上存在点P，使得

则椭圆C方程可以是                        

16．已知函数，若且

，求            .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知a，b，c分别是中角A，B，C的对边，且

(1)求角A的大小；

(2)若a=2，b+c =4．求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

已知是递增的等差数列，是方程的根，是方程

的根，其中p，q为实数．

(1)求的通项公式；

(2)已知,求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

在三棱柱中，

(1)求证：；

(2)若，，求点B1到平面

的距离.

20．（本小题满分12分）

某校的课外围棋兴趣小组有6名男生，4名女生．

(1)从中选出3人参加围棋团体赛，用X表示其中女生的人数，求随机变量X的分布列．

(2)如果围棋比赛采取积分制，规则如下：每胜1局得2分，平1局得1分，负1局得0分，现选出甲参加围棋个人赛，假设在每局比赛中，甲胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立，用Y表示甲依次参加三局比赛后所得的积分，求甲所得积分的数学期望．

21．（本小题满分12分）

椭圆的左右焦点分别为、，上顶点为M，

离心率为，同时也是抛物线的焦点；过的直线l与M

交于A，B，与N交于C，D．

(1)求椭圆M及抛物线N的方程；

(2)是否存在常数，使为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数

(1)当a=l时，求函数 -x的单调区间；

(2)已知函数，当时恒成立．

数学参考答案

1．【答案】B

【解析】，则

故选B．

2．【答案】D

【解析】由，得，故选D．

3．【答案】B

【解析】由得，即，解得故选B．

4．【答案】D

【解析】因为，所以又 ,

，所以，在中，，

所以又，则外

 接圆的半径为,取BC，AC的中点D，E，

的外心为F,过D作平面ABC的垂线l,过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，，所以，即三棱锥S -ABC外接球的半径为，所以三棱锥S -ABC外接球的体积为. 故选D

5．【答案】D

【解析】抛物线（t为常数）的准线经过点，

可得t=4，得抛物线的标准方程为：，焦点坐标为(0，2).故选D．

6．【答案】A

【解析】因为,所以所以？当且仅当时取“=”，则函数的最大值为故选A．

7．【答案】C

【解析】因为是定义域为R的偶函数，所以因为，所以，因为在

上单调递减，所以故选C．

8．【答案】C

【解析】设则在时恒成立，所以 在上是增函数，得所以当x>0时令

，则即

令,，得

,所以在上单调递增，所以

得，即，所以令则即b>c．所以a>b>c．故选C．

9．【答案】BC

【解析】事件A与B互斥时， 不一定是必然事件，故A错误；事件A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，但是还有可能“丙参加二阶魔方比赛”，“丁参加二阶魔方比赛”，所以A与B不是对立事件，故A与B是互斥不对立事件，故B正确；事件,,所以，C正确；若

则,D错误，故选BC.

10．【答案】ABD

【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，,

设平面的一个法向量，则有

令则，即

，则，即

//，则直线，A正确；

结合图形可知M、N为平面与平面的交点，则交线为l即为直线MN

，则，

与AD所成角为45°，B正确：

,则

与平面所成角的正切值为，C不正确；

对于选项D，取棱的中点E，连接

分别为的中点，则，且

又，且，则且

为平行四边形，

分别为的中点，则且

为平行四边形，则

同理可证：

经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形AQC1P

则其周长为，D正确，故选ABD

11．ABC

【解析】直线l的方程可化为，所以解得

所以过定点(2，2)，A正确：设M(2，2)，则圆心E到直线的距离，且半径所以最小弦长为2，

B正确：m=l时，直线方程为x-y=0，则圆心C(2，1)关于直线对称的点为(1，2)．所以圆E关于直线l对称的圆的方程为，C正确；由C选项知，圆心到直线的距离,即D错误，故选ABC．

12．【答案】 BC

【解析】对于A、B选项，由已知得，令易知，令得故时，此时单调递减，时，此时单调递增，所以故在R上单调递增，故A错误，B正确；对于C、D选项，，令，则在上恒成立，则此时单调递增，又，所以，使得在上单调递减，在上单调递增，即，此时故C正确，D错误．故选BC.

13．【答案】0

【解析】因为向量与垂直．所以即所以，

得出故答案为0．

14．【答案】-12

【解析】的展开式中，含的系数是：8：含的系数是28.

所以展开式中的系数为2×8-28=-12.故答案为-12.

15．【答案】或等，满足即可，

【解析】设椭圆上顶点为M，椭圆C上存在点P，使得则需，即，所以，即所以，得出即可，故答案为或等，满足即可．

16．【答案】0

【解析】由函数，作出其函数图象：

由得得出；由有，即，所以；则

故答案为0．

17．解：(1)中，由得………….……（1分）

由正弦定理（R为外接圆的半径）以及A +B +C=π，

得

所以………...……（3分）

因为，所以，得…………………………….……..（4分）

又,所以……………………………………………………...………（5分）

(2)由(1)及余弦定理得

故，得……..…………..（8分）

所以的面积………………..………..…（10分）

18．解：(1)因为是方程的根，所以 ……………．（1分）

又是方程的根．所以…………………………..（2分）

因为是递增的等差数列，所以 …………………………………（3分）

解得……………………………………………………………………（4分）

所以等差数列的公差，得出…………………….……（5分）

所以数列的通项公式为：…………………….……….…（6分）(2)因为………………….………………………………..（7分）

设数列前n项和为，由得

，①…………………（8分）

，②……………（9分）①-②得:，……………（10分）

整理得：. …………………………………………………..（12分）

19．证明：(1)设,连结AG，

三棱柱的侧面是平行四边形，是的中点，

是等腰三角形，…………………………………………....（2分）

,又

…………………………………………………….…………………....（4分）

又,………….…………………....................（5分）

又………………………………..（6分）

(2)由(l)知,,四边形是菱形，

,, ……………（7分）

在中，，

………………（8分）

在中，…（9分）

设点B1到平面的距离为h，

由等体积法得,即………………（10分）

得…………………………….……………（11分）

即点B1到平面的距离为…………………………….……………（11分）

20．解：(l)依题意得，随机变量X服从超几何分布，

随机变量X表示其中女生的人数，X可能取的值为0，l，2，3．

由得

…….…．（2分）

所以X的分布列为：

由分布列可知至少选3名女生，即……．（4分）

因为每胜l局得2分，平l局得1分，负l局得0分，甲胜的概率为,平的概率为，负的概率为且每局比赛之间的胜负相互独立，所以甲依次参加三局比赛后，总共有以下有27种情况：

     ………………………………………………………………………………………．（8分）

随机变量Y表示甲依次参加三局比赛后所得的积分,Y可能取的值为0,l,2,3,4,5,6.

,

,，

……………………………………………（9分）

所以Y的分布列为：

所以所得积分的数学期望

E (Y)

…………………………………………………………………………………………（12分）

21．解：(1)设,由题意得

结合………………………………．（2分）

联立解得，………………………………………………………．（3分）

所以椭圆，抛物线……………………………………（4分）

(2)设,

①当直线l存在斜率时，

设直线l的方程为，与椭圆M的方程联立

，得(1+

…………………………………………………．（5分）

…………．（6分）

直线l的方程为

与抛物线N的方程联立,得

……………………………………………．（7分）

………………………………．（8分）

….（9分）

当,即时， ……………（10分）

②当直线l不存在斜率时，方程为结合题意得,，，

，所以.

当时，…………….…．（11分）

故存在，使为常数……………………………….…．（12分）

22．解：(1)因为函数

所以当a=l时，

…………………………………………………………．．（2分）

令则

当时，所以的单调递增区间为(0，1)；

当时，单调递减区间为…………………………（4分）

(2)当时，函数

，易知在单调递增………………………………...（6分）

又在上存在一个零点

使得： ………………………………………………………（8分）

即：，且……………………………………………………（9分）

当，有，单调递减；

当，有，单调递增，

 所以当时恒成立……………………………………………………（12分）