2023年高考考前押题密卷-数学（全国乙卷理）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷（全国乙卷理）

数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解可得，，所以.

又，所以.

所以.

故选：B.

2．若复数，则（    ）

A．25 B．20 C．10 D．5

【答案】D

【详解】因为，所以，

故选:D.

3．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】因为，所以，所以的周期为6，

又为奇函数，所以，所以，

令，得，所以,

所以，

故选：C.

4．从甲，乙等五名同学中随机选3人参加社区服务工作，则甲，乙中至少有一人入选的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】从甲，乙等五名同学中随机选3人的方法数为，甲乙两人都没入选只有一种方法，概率为，

因此甲、乙中至少有一人入选的概率为．

故选：B．

5．党的二十大报告提出了要全面推进乡村振兴，其中人才振兴是乡村振兴的关键．如图反映了某县2017-2022这六年间引入高科技人才数量的占比情况．已知2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量逐年成递增的等差数列，且这四年引入高科技人才的数量占六年引入高科技人才的数量和的一半，2018年与2019年引入人才的数量相同，2019、2021、2022这三年引入高科技人才的数量成公比为2的等比数列，则2022年引入高科技人才的数量占比为（    ）．

A．30％ B．35％ C．40％ D．45％

【答案】C

【详解】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，

则2019年引入高科技人才的数量占比为，2022年引入高科技人才的数量占比为，

依题意有，且，

解得，

所以2022年引入高科技人才的数量占比为．

故选：C.

6．若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，

令，

得，∴函数在，单调递增，

由题知在上单调递增，∵，

∴，解得.

故选：B.

7．在△ABC中，，，D是AC边的中点，点E满足，则与的夹角为（    ）

A．60° B．75° C．90° D．120°

【答案】C

【详解】在中，，，，如图，

则，又，

则，

所以，

即，所以与的夹角为.

故选：C.

8．在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】B

【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，

，

又，，，

，

两式相加得：，即，

，即，

又，，.

故选：B.

9．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），

则，，，

所以，

故圆台部分的侧面积为，

圆柱部分的侧面积为，

故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.

故选：B.

10．已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】D

【详解】

设与渐近线交于，则，，，

所以，，

由分别是与的中点，知且，即，

由得，所以，

故选：D

11．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由圆的方程知：圆心，半径；

由得：，恒过定点；

由得：，恒过定点；

由直线方程可知：，，即，

设，则，，

，整理可得：，

即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

又直线斜率存在，点轨迹不包含；

若点为弦的中点，则，位置关系如图：

连接，

由知：，

则，

（当在处取等号），

即的最小值为.

故选：A.

12．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】设，求导，所以当时，，单调递增，

故，即，所以；

设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故.

故选：C

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.

【答案】8

【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，

由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.

故答案为：8

14．已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．

【答案】

【详解】，，，

，即，

由，，则，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：

15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则______.

【答案】

【详解】由题意可知，，直线的方程为.

设，由，得.

所以，所以.

由，得.

如图所示，作轴于点，则.

因为，故，

，又，故.

又，得四边形为平行四边形.

所以其面积为，解得.

故答案为：

16．如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，三棱锥的体积的最大值为________.

【答案】/

【详解】因为直线三条直线两两垂直，

如图，将图形还原为长方体，

因为，所以即为直线与所成的角的平面角，

则，

因为平面，平面，所以，

在中，由，得，

所以，

，

当且仅当时，取等号，

所以三棱锥的体积的最大值为.

故答案为：.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．已知数列满足

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设，求的前项和

【详解】（1）因为，

所以，又，

所以，

∴数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）知，，∴，

∵，∴，

∴

令

两式相减，

所以

所以，

又，

∴

18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且平面底面

(1)求证：；

(2)若，且直线与平面所成角的正弦值为.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：在四棱锥中，，

又平面底面，且平面底面底面

所以平面，

因为平面，所以，

又，且底面底面，

所以底面，

因为平面，

所以.

（2）不妨令，设，

作，垂足为，因为，所以，

又，所以，

由（1）知底面，所以，

分别以直线为轴，轴，轴建系如图，

则，

，

设平面的一个法向量为，

则即令，则，

可得平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

则，

，

解得，

所以平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则即令，则1，

可得平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角为，

则

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

19．甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x个红球、y个黄球和z个蓝球，.现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.

(1)当，，时，求乙胜的概率；

(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最大值，并求此时x，y，z的值.

【详解】（1）记“甲取红球”为事件，“甲取黄球”为事件，“甲取蓝球”为事件，“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件，

则由已知可得，，，，，，.

由已知，乙胜可以用事件来表示，

根据独立事件以及互斥事件可知，.

（2）由题意知，，，.

用随机变量来表示乙得分，则可取,

则，，，

所以.

所以.

因为，所以，且，，，

所以，

当且仅当，，时，等号成立.

所以，乙得分均值的最大值为，此时，，.

20．已知椭圆过点和，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值．

【详解】（1）由题意可知：

所以椭圆C的方程为.

（2）直线的方程为，设，，

直线与椭圆方程联立可得：，消去可得：，

则.

直线的方程为：，令可得，

直线的方程为：，令可得.

，

法一：易知与异号

法二：

21．设函数．

(1)若在点处的切线斜率为，求a的值；

(2)当时，求的单调区间；

(3)若，求证：在时，．

【详解】（1）解：函数，则，

因为在点处的切线斜率为，

所以，解得.

（2）由（1）知：，

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（3），

令，则，

因为，所以，

则在上单调递增，又，所以恒成立，即；

令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，

所以，得证.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l的普通方程为．

(1)将C的极坐标方程化为参数方程；

(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系．

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

整理得，

曲线C的直角坐标方程为，

所以其中为参数．

则对应的参数方程为其中为参数．

（2）由（1）参数方程可设，

则由，

得其中为参数．

对应的直角坐标方程为，

圆心到l距离，则与l相离．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知

(1)求不等式的解集；

(2)若，且，恒成立，求m的最大值．

【详解】（1），

当时，，得，故；

当时，，得，故；

当时，由，得，此时无解.

综上所述：原不等式的解集是．

（2），故，，，则，

，

，故，，

，故m的最大值为2．