2023年高考考前押题密卷-数学（新高考Ⅱ卷）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷

数学·全解全析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．【改编】设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题设可得，故，故选：B.

2．已知，为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，则.故选：C.

3．将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则（    ）

A．0 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】根据题意可知．故选：D

4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，）

A． B．  C． D．

【答案】A

【解析】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），

则，，，

所以，

故圆台部分的侧面积为，

圆柱部分的侧面积为，

故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.故选：A.

5．某病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A，

则，

记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B,

则，故选：D

6．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

即，所以，

所以，解得或，

因为，所以，

所以

.故选：A

7．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设，求导，所以当时，，单调递增，

故，即，所以；

设，求导，

所以当时，，单调递增，

，所以，故.故选：C

8．已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（    ）

A．0 B．1 C．4 D．3

【答案】B

【解析】由关于原点对称，则关于轴对称，且，

所以关于对称，关于对称，且，

又，即，则关于对称，

综上，，，则，

所以，而，故，

又，则关于对称，即，

所以，则，

所以.故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一

B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个

C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元

D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元

【答案】ABD

【解析】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；

若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；

平均数为（元），

故C错误；

中位数为（元），故D正确．故选：ABD．

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为 B．

C．的面积为 D．

【答案】AB

【解析】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即.

又，所以，所以，双曲线的方程为.

对于A项，双曲线的的渐近线方程为，故A项正确；

对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，

整理可得，，解得或（舍去负值），

所以，代入可得，.

设，又，所以，故B项正确；

对于C项，易知，故C项错误；

对于D项，因为，

所以，由余弦定理可得，，故D项错误.

故选：AB.

11．如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ）

A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为

C．的最小值为 D．当平面CEP时，

【答案】BC

【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

，则点，

对于A，，，，而，

显然，即是平面的一个法向量，

而，因此不平行于平面，

即直线与平面不平行，A错误；

对于B，，

则，

因此当时，取得最小值，B正确；

对于C，，

于是，

当且仅当时取号，C正确；

对于D，取的中点，连接，如图，

因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，

连接，连接，连接，显然平面平面，

因此，平面，平面，则平面，

即有，而，所以，D错误.故选：BC

12．记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（    ）

A．函数与存在唯一“点”

B．函数与存在两个“点”

C．函数与不存在“点”

D．若函数与存在“点”，则

【答案】ACD

【解析】令.

对于A选项，，则，

由可得，由可得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，所以，，

此时，函数与存在唯一“点”，A对；

对于B选项，，则，

函数的定义域为，令可得，且，

所以，函数与不存在“点”，B错；

对于C选项，，则，

令可得，解得或，但，，

此时，函数与不存在“点”，C对；

对于D选项，，其中，则，

若函数与存在“点”，记为，

则，解得，D对.故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【改编】在的展开式中x的系数为______．

【答案】

【解析】的展开式中x的项为

，

所以展开式中的系数为．

故答案为：.

14．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【解析】因为，

所以，

所以切线方程为：，即：.

故答案为：.

15．已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】由，即在上运动，而为圆上任意一点，

要使圆上存在一点使，

即过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为即可，

所以，只需为射线与圆交点时，

使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，

如上图，上述两条垂线刚好与圆相切为满足要求的临界情况，

所以，只需，为圆半径，即，

又，故，可得.

故答案为：

16．已知椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A，B，点P是椭圆G上异于A，B的动点，过F作直线AP的垂线交直线BP于点，若，则椭圆G的离心率为__________．

【答案】/0.5

【解析】不妨设直线AP的斜率大于0，设为k，

则直线AP的方程为，直线FM的方程为，

所以，则，

由，则，

又，即，

所以，

所以且，解得(负值舍去)．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知为等差数列，且．

（1）求的首项和公差；

（2）数列满足，其中、，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设等差数列的公差为，则，

由可得，即，

所以，，解得，.

（2）因为，则，

所以

；

；

.

因此，

.

18．（12分）

如图，在中，D，E在BC上，，，．

（1）求的值；

（2）求面积的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，，，

所以，

，

故，即，

则在中，根据正弦定理可得，；

（2）设，则，由解得，

在中，，

则，

，

由，得，则，

故面积的取值范围为．

19．（12分）

2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.

（1）若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；

（2）学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.

参考数据：，，，，.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，，元

【解析】（1）由折线图可知：，

，

所以，，

所以.

（2）由题意可知的可能取值为10，20，30，40，

则，，

，，

，，

所以的分布列为

，

故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.

20．（12分）

如图所示，在三棱柱中，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，，四边形为矩形，平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）如图,连接,取的中点,连接.

因为,

所以,且.

所以四边形是平行四边形.所以.

因为平面面，所以平面,

易得点为的中点,因为点为的中点,所以.

因为.所以.

又,所以且,

所以四边形为平行四边形.所以,所以.

因为平面平面.所以平面.

因为,所以平面面.

因为平面,所以平面,

（2）因为四边形为矩形,所以.

因为平面平面,平面平面,所以平面，

因为平面,所以，

因为,所以.

因为平面， 平面，所以平面.

又平面,所以.

以为原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则,

所以，

设平面的法向量为,

则令,得.

所以平面的一个法向量为.

设平面的法向量为,

则令,得.

所以平面的一个法向量为.

设平面与平面所成的锐二面角为,

则,

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21．（12分）

已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．

（1）证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；

（2）已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析

【解析】（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线互相垂直，

所以其中一条渐近线的斜率为，则，则．

所以双曲线C的方程为．

设点M的坐标为，则，即．

双曲线的两条渐近线，的方程分别为，

则点M到两条渐近线的距离分别为，

则．

所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．

（2）存在．

①当时，，又N是的中点，

所以，所以，此时．

②当时．

ⅰ）当M在x轴上方时，由，可得，

所以直线的直线方程为，

把代入得．

所以，则．

由二倍角公式可得．

因为直线的斜率及，

所以，则．

因为，所以．

ⅱ）当M在x轴下方时，同理可得．

故存在，使得．

22．（12分）

已知函数，.

（1）当时，，求实数的取值范围；

（2）已知，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）令，则，

当时，，则函数在上单调递增，

当时，，则函数在上单调递减，

所以，，即，

所以，当时，，即，

当时，取，

由于，而，得，

故，不合乎题意.

综上所述，.

（2）证明：当时，由（1）可得，则，

可得，即，即，

令，所以，，所以，，即，

所以，，，

令，则，且不恒为零，

所以，函数在上单调递增，故，则，

所以，，，

所以，

.