2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题汇编21含解析

这是一份2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题汇编21含解析，共74页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
 2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十一）
一、单选题
1．（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）已知函数，若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
所以在区间递增；在区间递减.
，，
当且时，，
，所以在区间递减；
在区间递增.
当时，；当时，，
，，由此画出的大致图象如下图所示，
方程①，
即，所以或，
由于方程①有个不同的实数根，，
所以或
所以或，
所以的取值范围是.
故选：A

2．（四川省攀枝花市2023届高三1月份第四次统考数学（理）试题）已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，均为偶函数，
故函数为偶函数，
，令
，
，，
，故单调递增，即单调递增，
又，∴在恒成立，
故在函数递增，且，
故函数在递减，在递增，
且函数恒成立，
，，成等比数列，
当，均为正数时，
由均值不等式有：，①，
当，均为负数时，
由均值不等式有：，②，
由①②有：，
又，，互不相等，故，
故，
，
故选：D．
3．（备战2023高考数学黄金30题系列之压轴题（新课标版））如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，当直线与面所成角等于面ABCD与面所成角时顶点到平面的距离最大，取截图，如下图所示：

作，，，
∵，，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选:B.

【押题点】二面角大小；点面距最值问题
4．（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试题）四面体的各个顶点都在球的表面上，两两垂直，且是线段上一点，且，过作四面体外接球的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设所得截面圆的面积为，半径为，由两两垂直可将四面体放入长方体中，
如图所示，易得外接球半径，
过作球的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面，；
所得截面圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.
在内，，所以，
所以，
所以，即，所以.
故选A.

5．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可得，
所以令，则，
令，则，
所以在上单调递减，，所以恒成立，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，所以，即.
故选：A.
6．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）已知是方程的两根，有以下四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：.
如果其中只有一个假命题，则该命题是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】因为是方程的两根，所以，
则甲：；
丙：.
若乙､丁都是真命题，
则，所以，，
两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，
假设丁是假命题，由丙和甲得，所以，
即，所以，与乙不符，假设不成立；
假设乙是假命题，由丙和甲得，又，所以，
即与丙相符，假设成立；故假命题是乙，
故选：．
7．（湖北省武汉市零校联盟2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）如图，菱形的边上有一点，边上有一点（，不与顶点重合）且，若是边长为的等边三角形，则的范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：过作于，于，则，

是等边三角形，，则，故，
则，，设，，，
根据余弦定理：，
，设，则，，，
故，即，
，函数在上单调递减，
故，即，即，解得.
故选：C
8．（湖北省武汉市零校联盟2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）若函数与的图象有且仅有一个交点，则的值不可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，与关于对称，
图象有且仅有一个交点，即与相切，
设切点为，则，，且，
故，，，故，A正确；
当时，设，则，
设，，恒成立，函数单调递增，
，故恒成立，单调递增，
，，故函数有唯一零点，B正确；
当时，设，则，
，故函数至少有2个零点，C错误.
当时，画出函数图像，如图所示：

根据图像知有一个交点，D正确.
故选：C
9．（湖北省十堰市2022-2023学年高三上学期元月调考数学试题）已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
得或，
画出的大致图象.
设，由图可知，
当或时，有且仅有1个实根;
当或时，有2个实根;
当时，有3个实根.
则恰有4个不同的零点等价于
或或或
解得或.
故选：C.

10．（陕西省西安市高新第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题）在区间，上，函数与在处取得相同的最小值，那么在区间，上的最大值是（    ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】因为，由对勾函数的性质得：
当时，取得最小值7，
所以在处取得最小值7，
所以，，
所以当时，取得最大值11，
故选：B
11．（广东省汕头市2023届高三上学期期末数学试题）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（    ）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．
【答案】A
【解析】在区间上单调递增，由题意只需
，
这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．
所以的取值范围是.
故选：A
12．（福建省厦门第一中学2023届高三上学期12月月考数学试题）数列满足，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，即，则，故，
又，，所以，
所以是以首项为的常数列，则，
又，，所以是以首项为，公差为的等差数列，
故，则，
所以.
故选：A.
13．（2022-2023学年福建省四地六校高三下学期第一次联考）已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵方程恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴，设切点为，∴切线方程为，
而切线过原点，∴∴直线的斜率为，又∵直线与y=x+1平行，
∴直线的斜率为，∴实数a的取值范围是

考点：分段函数的应用
14．（浙江省嘉兴市海宁市2023届高三下学期1月适应性考试数学试题）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．

设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．均构成等比数列 D．
【答案】B
【解析】据题意知：，
∴，A错误；
，
当时，，D错误；
∴，
由也满足上式，则，
所以不构成等比数列，C错误；
由上，，则，B正确.
故选：B．
15．（江苏省南通市海门市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，

则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
16．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题）设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，，所以，
则当时，，所以单调递增，则，
所以，则；
又，且，
所以，故.
故选：C.
17．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题）如图，内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝10，BC＝6，平面ABC，E为AD的中点，且____________，则点A到平面BCE的距离为（    ）
①异面直线BE与AC所成角为60°；
②三棱锥D−BEC的体积为
注：从以上两个条件中任选一个，补充在横线上并作答．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选①:AB为圆O的直径，且AB＝10，BC＝6，
为直角三角形，AC=8，
如图建立空间坐标系，,设，
则，

,
，
,
且,
E为AD的中点，，
,
;
.
选②：AB为圆O的直径，且AB＝10，BC＝6，
为直角三角形，AC=8，
又平面ABC，,设CD=h,
E为AD的中点，且三棱锥D−BEC的体积为，
,
,
,,
中，,
,
面ACD,面ACD,
,
,
;
.
故选：C.
18．（河北省张家口市2023届高三上学期期末数学试题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，∴，
，，
设，则，时，，即在上递减，
，，
，所以，，即，
综上，．
故选：D．
19．（2023年1月浙江省绍兴市选考科目适应性考试数学试题）一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：随机变量的分布列如下图所示：

0
1
P


所以有,
，
随机变量的分布列如下图所示：

0
1
P


，
，
因为，所以，因此有，故本题选D.
20．（【市级联考】山东省德州市2023届高三第二次练习数学试题）已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得，设，
由，
可得，即，
则

，
当时，的最小值为．
故选D．

二、多选题
21．（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线与互为共轭双曲线，设的离心率为，的离心率为，则（    ）
A．若，则 B．的最小值为4
C．的最小值为4 D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则.
由共轭双曲线的定义可得：双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.
所以.
对于A：，即.所以，
所以.故A正确；
对于B：（当且仅当时等号成立），
所以的最小值为.故B错误；
对于C：（当且仅当时等号成立）.
所以的最小值为4.故C正确；
对于D：因为，，所以.
不妨设，则（当且仅当，即时等号成立）.故D正确.
故选：ACD
22．（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）在棱长为1正方体中，若点为棱上的一动点，则下列说法中正确的有 （    ）
A．的最小值为
B．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为
C．平面与平面所成夹角取最小值时，则线段
D．若点分别为棱的中点，点为线段上的动点，则直线与平面交点的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】建立如图所示坐标系，点为棱上的一动点，设，

选项A：因为，，
所以，，
所以，
即表示点到两定点，的距离之和，
如图所示在坐标系中关于轴的对称点为，

因为，
所以当在上时最小，最小值为，即的最小值为，A错误；
选项B：当为棱的中点时，，设球心为，正方形中心为，
因为平面，所以设，
又因为，由即解得，
所以四棱锥的外接球的半径，
所以表面积为，B正确；
选项C：由图可知平面与平面所成夹角为锐角，
因为，，设平面的法向量，
则，当时，解得，
设平面的法向量，
所以平面与平面所成夹角的余弦值，
对于二次函数，当时，最小，此时最大，最大值为，
当时解得，此时，
所以平面与平面所成夹角取最小值时，，C正确；
选项D：连接如图，

因为分别是棱的中点，所以，
则四点共面，
连接，设，连接，
则为直线与平面交点的轨迹，易得，
且，
所以，
因为 ，所以，又，
所以在中，由余弦定理可得，
所以，即直线与平面交点的轨迹长度为，D正确；
故选：BCD
23．（湖北省2023届高三下学期1月联考数学试题）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（    ）

A．
B．
C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则
D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为.
【答案】BCD
【解析】A：由且，则，即，故错误；
B：由，得，则，所以，故正确；
C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确；
D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确.
故选：BCD.
24．（山东省潍坊市2023届高三下学期1月模拟数学试题（二））过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（    ）
A．P1、P2两点的横坐标之积为定值
B．直线P1P2的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值
D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]
【答案】ABC
【解析】因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点，的横坐标分别为，且，
若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；
若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.
所以或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；
对于选项B，易知点，，
所以，直线的斜率为，选项B对；
对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，选项C对；
对于选项D，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，选项D错.
故选：ABC.
25．（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试题）如图，已知正三棱柱中，为的中点，直线与平面的交点为，则以下结论正确的是（    ）

A．
B．直线平面
C．在线段上不存在一点使得
D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
【答案】AB
【解析】如图，延长交于点，连接，因为，所以，又为的中点，所以，所以，故，所以，由，，所以，故正确；
连接交于点，因为四边形为矩形，所以是的中点，
连接，则为的中位线，所以，
又因为平面平面，所以直线平面，故B正确；
取的中点，连接，则，又由可得平面，故.过点作，垂足为，连接，
又，平面，所以平面，所以，故C不正确；
因为平面，所以所求交线即为平面内以为圆心，半径为的圆与侧面的交线，即图中圆弧，因为,，所以，所以，同理，所以圆弧所对的圆心角为，故交线长为，故D不正确.
故选：AB.

26．（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试题）若实数满足，则的值可以是（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】BC
【解析】，，设，则由题意得，即.因为，即，当且仅当，即时等号成立，解得，所以的取值范围是
故选：BC.
27．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（    ）
A．
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有
D．且
【答案】AC
【解析】由题可知且，
设代表第天甲小组募得捐款，且，
对于甲小组，，
所以，所以，
所以且，
所以，故选项B不正确；
设代表第天乙小组募得捐款，由题可知，，
所以
，
，故选项D错误；
因为，故该选项A正确；
选项C，令，所以，
而当时，，
所以数列为递增数列，因此，所以，故选项C正确.
故选：AC
28．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，且.抛物线的准线与轴交于点是以为圆心，为半径的圆上的一点（非原点），过点作抛物线的两条切线，切点分别为.则（    ）
A． B．直线的方程为
C． D．面积的最大值是
【答案】BCD
【解析】依题意可设，则,
因为，所以，故.
又，所以,故抛物线的方程为,所以选项不正确，；
不妨设在第一象限，在第四象限，


由可得，，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
化简为；同理求得的方程为，
因为点在直线，上，所以 ，
由此可知,的坐标都满足,由于两点确定一条直线，
故可得直线AB的方程为，所以B选项正确；
由A的分析可知抛物线的准线方程为，故,
所以以为圆心，为半径的圆的方程为 ，
由于为圆上动点（非原点），故，故C正确；
联立方程组，整理得，
,
则，
故，
点到直线的距离，
故的面积，
由题可知，，则圆的方程为，
故，因为，
所以，所以，
故面积的最大值为为，D正确；
故选：BCD
29．（湖北省武汉市零校联盟2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）如图，三棱锥中，，，，，则下列说法正确的是（    ）

A．时，；
B．存在一个定点，使恒成立；
C．无法使成立；
D．在的面积为（为常数）时，三棱锥的体积最大为
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以有.
假设，根据知，，
所以，此时在中，有，
显然不正确，故假设不成立，即，故A项错误；
对于B，因为，在上取点，使得，
则不论底面如何变化，始终满足，故B项正确；
对于C，假设，则.
设，则.在中，有.
此时令，则，此时满足题意，故假设成立，故C项错误；
对于D，设三棱锥的高为，则有，
当平面时，三棱锥的体积最大，
此时体积，故D项正确.
故选：BD.
30．（湖北省十堰市2022-2023学年高三上学期元月调考数学试题）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）
A．若直线OA，OB的斜率之积为，则直线过定点
B．若直线OA，OB的斜率之积为，则面积的最大值是
C．若，则的最大值是
D．若，则当取得最大值时，
【答案】AC
【解析】设直线：，，，联立整理得，则，.因为直线OA，OB的斜率之积为-2，所以.因为，，所以，所以，解得，即直线过定点，故A正确.
由A选项可知，当且仅当时，等号成立，则面积的最小值是，故B错误.
在中，由余弦定理可得.因为，所以，则.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确.
由C选项可知直线的斜率不存在，设直线：，则直线与轴的交点为，从而，.因为，所以，所以，即，整理得，解得或.当时，；当时，.综上，或，则D错误.
故选：AC．
31．（福建省泉州市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（    ）
A．椭圆的离心率为
B．存在，使为直角三角形
C．存在，使的周长最大
D．当时，四边形面积最大
【答案】BD
【解析】如图所示：
对于，由椭圆方程可得，，，则，椭圆的离心率为，故错误；
对于，当时，可以得出，
若取时，得，
根据椭圆的对称性，存在使为直角三角形，故正确；
对于，由椭圆的定义得，的周长
，
，，当过点时取等号，
，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，
此时直线的方程为，但是，
不存在，使的周长最大，故错误；
对于，一定，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，四边形面积最大，故正确．
故选：．

32．（福建省厦门第一中学2023届高三上学期12月月考数学试题）在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则下列结论中正确的是（    ）
A．存在某个位置，使得
B．不存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得平面平面
D．存在某个位置，使得
【答案】BC
【解析】取中点，连接；过作平面，
由正四面体的性质知：为等边的中心，即且，
以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设正四面体的棱长为，则，，，，
，，，；
设，又，，；
对于A，假设存在点，使得，
，，
，解得：（舍），
不存在点，使得，A错误；
对于B，假设存在点，使得，
，，
，
即，整理可得：，方程无解，
不存在点，使得，B正确；
对于C，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
假设存在点，使得平面平面，
则，解得：，符合题意；
存在点，使得平面平面，C正确；
对于D，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
假设存在点，使得，
则，
即，整理可得：，方程无解，
不存在点，使得，D错误.
故选：BC.
33．（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（    ）

A．当时，
B．当P是线段的中点时，，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】当时，，则在线段上，故，故A错
当是线段的中点时，
，故B对
为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故C对

如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：；
又；，；
由图形看出，当与重合时：；
此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正确
故选：BCD
34．（江苏省南通市通州区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在矩形中，，，E为DC的中点．将绕直线BE旋转至的位置，F为的中点，则（    ）
A．存在某个位置，使得
B．存在无数个位置，使得∥平面
C．当二面角为120°时，点F到平面的距离为
D．当四棱锥的体积最大时，以为直径的球面与被平面截得的交线长为
【答案】BC
【解析】如图所求：H为BE的中点，G为的中点，连接AH、CH、C1H、FG、EG，

对于A选项，由，H为BE的中点，∴，若存在某个位置，使得，则由平面，平面，，有平面，平面，有，而，显然不成立，∴A选项错误；
对于B选项，F为的中点，G为的中点，E为DC的中点，
，，∴，，四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，平面，满足条件的位置有无数个，B选项正确；
对于C选项，二面角为120°时，二面角为60°，即，，
则到平面的距离为，设点A到平面的距离为，由，有，，
解得，点F到平面的距离是点A到平面的距离的一半，所以点F到平面的距离为，C选项正确；
对于D选项，当四棱锥的体积最大时，平面平面，平面平面，
，，，有 平面，平面，
，，，，以为直径的球以为球心，半径.
球面与被平面截得的交线是过的圆，设圆心为，如图所示，

平面，点到平面的距离，F为的中点，∴球心F到平面的距离，
圆半径，小圆周长（即交线长）为，D选项错误；
故选：BC
35．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考（三）数学试题）已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】ABC
【解析】由题意，故A正确；
拋物线的准线，
，则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，
则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，故B正确；
拋物线的焦点为，
，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，消得，
当时，方程得解为，
此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.
故选：ABC.

36．（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（    ）
A．平面
B．三棱锥的外接球直径
C．在圆锥侧面上，点到的中点的最短距离必大于
D．记直线与过点的平面所成的角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为双曲线.
【答案】BC
【解析】对于：若平面，平面ABC，平面平面，
则，
因为为直径，为圆锥底面圆的圆心，是底面圆的内接正三角形
所以，
所以，故A错误；
对于：因为，则，
故，则，
同理，
且三棱锥是正三棱锥，
设其外接球半径为，则三棱锥的外接球可以转化为边长为的正方体的外接球，
∴，故B正确；
对于C：由于是边长为等边三角形，故点到中点的距离为，
故在圆锥侧面上，点到的中点的最短距离大于，故C正确；
对于D：∵与母线的夹角的余弦值为，则，即，所以平面与圆锥侧面的交线为椭圆，故D错误；
故选：BC.

37．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题）为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测．如果该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的．否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者．某地区发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为p（每个人受感染的概率），则（    ）
A．该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为人
B．随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为次
C．该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为人
D．该区采用“10合1混采检测”比一人一检大约少用份检测试剂
【答案】BD
【解析】感染率为，没有感染的概率为，则为阴性的人数为,则 ，
所以核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为，故A错误，
感染率为，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时，且，，
于是平均检测次数是，故B正确，
采用“10合1混采检测”，1管中需要重新采样的概率为，所以10万人中需要重新采集单管拭子的平均人数为人，故C错误，
采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：
，
即进行“10合1混采检测”方案，比“一人一检”方案少使用约份检测试剂,故D正确，
故选：BD
38．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题）已知O为坐标原点，a，b为实数，圆C：，点在圆C外，以线段CD为直径作圆M，与圆C相交于A，B两点，且，则（    ）
A．直线DA与圆C相切
B．D在圆上运动
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由于线段CD为圆M的直径，所以,所以直线DA与圆C相切，选项A正确；
设的交点为，可知,，则，
圆C：，则半径,由勾股定理可得 ,
设圆M的半径为，则，连接 ，则有,，解得，则，
故D在圆上运动，选项B正确；
圆M的半径为,如图，设圆C与轴的交点为两点，圆C的半径为,,且圆M必过点,
所以动点M的轨迹在圆C内，则有,选项C正确；
点的坐标为，因为D在圆上运动，
当 时，点的坐标为，所在的直线为 ，联立 ，消去 可得，解得，因为点在圆C外，所以此时点的坐标为，即，
，即存在一点的坐标为时，使得，选项D错误；
故选：ABC.

39．（河北省张家口市2023届高三上学期期末数学试题）已知，方程，在区间的根分别为，以下结论正确的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】已知两方程化为，，所以分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，
易知和的图象关于直线对称，
而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称，
，，
，A正确；
又，所以，，从而，B正确；
，当且仅当即时取等号，由于，而，因此，等号不成立，即，
C错误，
，
设，则，
，，所以，
所以，
时，是减函数，所以由得，
所以，D正确．
故选：ABD．

40．（广东省广州市2023届高三一模数学试题）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，当时，.
设，其中.
则，故在上单调递增.
又，，则，使.
即存在，，使.
但此时，.故A错误.
对于B选项，
.设，其中.则.
得在在上单调递增.
注意到.
则.又在上递增，
则有.故B正确.
对于C选项，由B选项可知，则由，
有.故C正确.
对于D选项，因，，
则.设，其中.
则.
设，其中.则，
得在上单调递增.
（1）若，注意到，，则，使.即，
则，设，则，
得在上单调递减，则.
（2）当，，注意到.
则，此时.
（3）当，注意到
则，又由（1）分析可知在上单调递增.
则.
综上，有.故D正确.
故选：BCD
41．（河北省2023届高三上学期阶段性检测（二）数学试题）已知函数，为的导函数，则（    ）
A．方程只有一个实根 B．的最小值为
C．函数的值域为 D．函数为偶函数
【答案】BC
【解析】对于A，方程，即，
显然是方程的一个根，
令，由于，，
根据零点存在定理可知，函数在上有一个零点，
因此方程不只有一个实根，A选项错误；
对于B，，则，
，令，即，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
因此的最小值为，B选项正确；
对于C，，
，
则，所以函数的值域为，C选项正确；
对于D，
而，
所以函数不是偶函数，D选项错误；
故选：BC.
三、填空题
42．（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）已知点在曲线上，该曲线过的切线交坐标轴于两点，若，则△面积的取值范围是____________________.（为坐标原点）
【答案】
【解析】设，则，得，，
切线方程为：，设切线交轴于，交轴于，故可得
，，则△面积为：，
又，，
令，，则，
所以，时，，单调递增，
时，，单调递减，故，
时，，
所以，，则△面积的取值范围是.
故答案为：
43．（广东省深圳市高级中学（集团）2023届高三上学期期末数学试题）已知抛物线，，过点P作斜率为正的直线l与抛物线交于点M，N，点M，N在y轴上的射影为，，若，则直线l的斜率为__________．
【答案】
【解析】设，，且，，
则，，
设直线，联立得，，
则，，由，
设，，
则，，
由，
即，解得，（舍去），故斜率，
故答案为：
44．（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试题）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别是，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，若点满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设半焦距为，延长交于点，由于是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且是的中点.
根据双曲线的定义可知，即，
由于是的中点，所以是的中位线，
所以，
又双曲线的离心率为，故，所以，又，所以，
所以双曲线的方程为，
根据题意，知所求的是双曲线右支上一点到直线的距离的最小值的平方.
设与直线平行双曲线的切线方程为，
联立，消去，可得，
所以，所以或1，
当时，切点坐标为与已知矛盾，当时，切点坐标为，所以，
所以切点到直线的距离为，所以的最小值为.
故答案为：.

45．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）三棱锥中，，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为___________.
【答案】
【解析】为边长为2的等边三角形，
为正三棱锥，
，又分别为中点，
，
，又
平面平面，
为正方体一部分，
故，即，
∵为三棱锥外接球上的动点，
∴当位于正方体的如图所示的顶点处，点到平面距离最大，设为，
∴可求得三棱锥的体积为：，
∴，
解得：


故答案为：
46．（湖北省十堰市2022-2023学年高三上学期元月调考数学试题）若对任意的，都有成立，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】等价于，即，
即，设，由题意可知在上单调递减，
因为，
则在上恒成立，则，故的最大值为.
故答案为：.
47．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.


48．（福建省厦门第一中学2023届高三上学期12月月考数学试题）已 知 数 列与满足，若，且对一切恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】，，代入，化简得，
，
又符合上式，故
故可化为．
令，则，
当，单调递减，当时，单调递增，
当时取得最大值，
．
实数的取值范围是.
故答案为：．
49．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____．
【答案】6
【解析】如图，连接，

因为的离心率为，所以，即，
所以，
因为，所以为等边三角形，
又，所以直线为线段的垂直平分线，
所以，，
则的周长为，
，
而，所以直线的方程为，
代入椭圆的方程，得，
设，，则，
所以，
故答案为：6.
50．（广东省2023届高三上学期11月新高考学科综合素养评价数学试题）设，，则________．
【答案】1
【解析】由，
，
，得，
所以，
故．
故答案为：1
51．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题）一个盒子中装有个小球，甲、乙两个同学轮流且不放回地抓球，每次最少抓1个球，最多抓2个球．约定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢．若乙有必赢的策略，则n＝______．
【答案】6或9
【解析】若，只要甲第一次抓1个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完, 则甲有必赢的策略；
若，只要甲第一次抓2个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，则甲有必赢的策略；
若，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余5个球，由乙先抓，结合可知，乙有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为剩余4个球，由乙先抓，结合可知，乙有必赢的策略，综上,若，则乙有必赢的策略；
若，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余6个球，由乙先抓，结合可知，甲有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为刺余5个球，由乙先抓，结合可知，乙有必赢的策略；
以此类推，当时乙有必赢的策略.
综上：若乙有必赢的策略则的取值为6或9.
故答案为：6或9.
52．（河北省衡水市第十三中学2023届高三上学期1月月考数学试题）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是_________．
【答案】
【解析】如图，因为圆分别是的内切圆，轴，所以
轴，因为双曲线，所以，，，
，将代入，得，即，
，可以得，，再由双曲线的定义可知，
由和全等可得两内切圆的半径相等，是的角平分线，
所以内切圆的圆心在轴上，设圆的半径为，圆的半径为，
由等面积法可得，即
，解得，
同理，即，
解得，则的面积为
，
故答案为：

53．（【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2023届高三上学期第三次月考数学（理）试题）三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，
如图所示，则，且的最大值是，
所以，所以的最小值是，即到的距离为，
所以，因为，在中可得，即可得,
取的外接圆圆心为，作，
所以，解得，所以,
取为的中点，所以，
由勾股定理得，
所以三棱锥的外接球的表面积是.

54．（河北省2023届高三上学期阶段性检测（二）数学试题）若数列满足且，则___________．
【答案】5
【解析】∵
∴
得
∴为等比数列，设公比为，
∴，
因为，
所以（舍去）
则．
故答案为:5.
四、双空题
55．（广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题）数学家康托（）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列表示第次操作后余下的区间段长度.
（1）_______________；
（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是________________.
【答案】     ；     .
【解析】由题意可知：，，，.
所以.
所以数列为首项，公比的等比数列，所以.
因为，都有恒成立，且，所以恒成立，只需
记，显然，.
所以.
令，即，即，解得：.
因为，所以，可以取包含以后的所有正整数，即以后递减.
而
，
所以.
综上所述：当时，最大.
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：；.
56．（湖北省武汉市零校联盟2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）《扫雷》是一款益智类的小游戏，游戏要求玩家在方格中点击若干次，排除所有无雷的格子即算成功.方格中的数字代表其周围8格的地雷数.现有如图所示的方格阵，有4个方格已经被点开，则图中地雷数的可能取值有______种；若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有______种.

【答案】         
【解析】记为第行，第列格子，，，






4

3







3

2






当中是地雷时，
若其余无公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为；
当中不是地雷时，
若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有五个公共地雷时，图中地雷数为；
若其余有且只有六个公共地雷时，图中地雷数为；
综上所述：图中地雷数可能取共个值.
若已知图中共有7个地雷，由以上分析可知，共分两类：
第一类：当中是地雷时，其余有且只有二个公共地雷，共有种；
第二类：当中不是地雷时，其余有且只有五个公共地雷，共有，
所以若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有种.
故答案为：；.
57．（湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期月考（九）数学试题）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左､右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________.
【答案】         
【解析】根据椭圆定义得：，
所以，因为的最大值为6，
因为，所以，即，解得，所以离心率为.
右焦点关于直线的对称点，设切点为，由椭圆的光学性质可得：
，，三点共线，所以，
即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离最小值，最大值，
所以点到直线的距离为：，
所以表示点到直线的距离的倍，
则，即.
故答案为：，.
58．（河北省张家口市2023届高三上学期期末数学试题）已知的三个内角所对的边分别为，且，则面积的最大值是________；若分别为的内切圆和外接圆半径，则的范围为_________________．
【答案】     ；     .
【解析】因在三角形中，则由三角形三边关系可得，又利用余弦定理有：
，又，
则.
得，当且仅当
，即时取等号.则面积的最大值是；
对于第二空，因，
则，
又，
则，因，
则.令，其中，因，
则在上单调递增，故，得.
故答案为：；.