2023年高考数学必刷压轴题专题16数列（选填压轴题）含解析

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 专题16 数列（选填压轴题）
1．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）若实数满足：对每个满足的不为常数的数列，存在，使得，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】令，则.
故.
下证：当时满足条件.
①存在，已经成立；
②存在，则，成立；
③存在，则，成立.
假设存在，使得对每个，设.
则.
令，则，矛盾.
故总存在，满足①，②，③其中之一.
故选：C
2．（2022·北京八中高三阶段练习）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②；③，.定义：同时满足性质①和②的数列为“数列”，同时满足性质①和③的数列为“数列”，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则为“数列”
B．若，则为“数列”
C．若为“数列”，则为“数列”
D．若为“数列”，则为“数列”
【答案】A
【详解】若，则，满足①，
，，
因为，所以，满足②，
故A正确；
若，则，满足①，
，令，
若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，
若为偶数，此时，则此时不存在，使得，
综上：B选项错误；
设，此时满足，
也满足，，
即，
但不满足③，，
因为，
综上C选项错误；
不妨设，满足，
且，，
当为奇数时，取，使得，
当为偶数时，取，使得，
故为“数列”，
但此时不满足，不妨取，
则，而，
则不是“数列”，D选项错误.
故选：A.
3．（2022·上海市洋泾中学高三开学考试）已知表示大于的最小整数，例如，，下列命题中正确的是（    ）
①函数的值域是；
②若是等差数列，则也是等差数列；
③若是等比数列，则也是等比数列；
④若，则方程有2022个解.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】当时，，，
当时，令，，，则，
，因此的值域是，
是等差数列，但，，不成等差数列；
是等比数列，但，，不成等比数列；
由前分析可得当时，；
当，，，时，，
所以，即是周期为的函数，
由指数函数的性质，可得函数过，在上单调递减，
当时，，，去交点；
当时，，，必有一个交点；
则后面每个周期都有一个交点，
所以，则方程由个根.①④正确，
故选：D.
4．（2022·河南信阳·高二期末（理））二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（    ）
A．1910 B．1990 C．12252 D．12523
【答案】D
【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28．
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为
故选：D．
5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知数列{}满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，，所以，又，
所以数列是递增数列且，，所以，
所以，
所以， .当，得，由得，
则，
同上由累加法得，
所以，所以，则.
故选：C.
6．（2022·江苏南京·高二期末）将等比数列按原顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到新数列：，，，，，，，，，，…，新数列的前项和为．若，，，则S200= （    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由已知得，，，等比数列的公比．
令，则，，
所以数列的前200项中含有数列的前7项，含有数列的前193项，
故
．
故选：A．
7．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（    ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】C
【详解】设函数，则为奇函数，且，所以在R上递减，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以， .
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
9．（2022·全国·高三专题练习）各项都不为0的数列的前项和满足其中数列的前项和为若恒成立，则的最小值为（    ）
A．8 B．9 C．10 D．20
【答案】D
【详解】数列的前项和满足
则时，，则
又数列的各项都不为0，则
又由，可得
则数列的奇数项是以1为首项公差为2的等差数列，
数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列，
则数列的通项公式为
则
则数列的前项和
又，即恒成立，则恒成立
又当时的最大值为20，则
故选：D
10．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得
则得，即，
令得，即①，即得.
因为首项，公差，则得，即.
又因为，所以，代入①得.
当时，由得
即，所以
即
因此当或11时，的最小值为.
故选：C
11．（2022·浙江·模拟预测）记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（    ）
A．若满足，则
B．若满足，则对任意正整数
C．若满足，则对任意正整数
D．若满足，且，则
【答案】D
【详解】因为，
所以，A错，
取，，
则，，所以，B错，
因为，，
所以.
因此，，C错，
若是的子集，则.
若是的子集，则.
若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
所以D对，
故选：D.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，给出下列三个结论：①不存在a，使得数列单调递减；②对任意的a，不等式对所有的恒成立；③当时，存在常数C，使得对所有的都成立．其中正确的是（    ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【详解】由，可得，则，，则，都有数列单调递增，故①正确；
由可得，又数列单调递增，则，
则，即，②正确；
由可得，则，，
，，将以上等式相加得，
又，单调递增，则，又由可得，
又，则，即，则，设，
，易得，当时，，
则，，故不存在常数C，使得对所有的都成立，故③错误.
故选：A.
13．（2022·全国·高三专题练习）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．

设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．均构成等比数列 D．
【答案】B
【详解】据题意知：，
∴，A错误；
，
当时，，D错误；
∴，
由也满足上式，则，
所以不构成等比数列，C错误；
由上，，则，B正确.
故选：B．
14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知数列中，，，记，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，则，故，依次类推有，
令，则，，
又因为在上递增，故，即，
所以数列是公比为2的等比数列，
故有，即，亦即，
则，
又因为


，
故选：B.
15．（2022·浙江金华·三模）已知数列，满足，，，则下列选项错误的是（      ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，故A正确；
由题意得：，
当且仅当时，取等号；
所以，即
所以
，
又，，所以，，故B正确；
又
所以
所以
所以，故C正确；

所以
即
所以，故D错误.
故选：D.
16．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ）
A．249 B．499 C．749 D．999
【答案】A
【详解】由，得，又，所以数列是以3为首项，4为公比的等比数列，则①；
由得，，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立可得；
因为，所以
即：  所以，
故，所以，则．
故选：A
17．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知三角形数表：

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为．若，则的最小值是_____．
【答案】95
【详解】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．
设第组的项数为，则组的项数和为，
因为，令得
即出现在第13组之后，第组的和为，
组总共的和为，
若，
则项的和应与 互为相反数，
    设项总共有项，则其前项和为
所以
解得
当时，，
则的最小值为.
故答案为：95.
18．（2022·浙江·高二期末）已知数列满足，对于每一个，，，构成公差为2的等差数列，，，构成公比为的等比数列，若，不等式恒成立，则正整数的最小值为______.
【答案】5
【详解】，，，，∴，
∴是以为首项，公比为的等比数列，∴，∴，
则，，，
则，不等式恒成立，等价于或，即或，故正整数的最小值为5.
故答案为：5
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，各项均不相等的数列满足，，数列和的前项和分别为和，给出下列两个命题：
①若，则；
②存在等差数列，使得成立．关于上述两个命题，
以上说法正确的是______．（填写序号）
【答案】①②
【详解】解： ，
当 时，，
， ，，
，，
由于当时，，
单调递增，
故可得，
，

，
，所以①正确；
由知 ，所以，
要使得 成立，只需 即可，
所以只需，即，
又 ，不妨取，
，满足，
，所以存在这样等差数列，所以②正确．
故答案为：①②.
20．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设正整数，其中，记，当时，___________（用含的代数式表示）.
【答案】
【详解】
，
又，所以，
同理，，所以，
，所以，
，所以.，
所以，
又，
所以.
故答案为：
21．（2022·全国·高三专题练习）已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”.例如数列，，满足，则其序数列为1，3，2.若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则___________.
【答案】
【详解】解：的序数列单调递减，数列单调递增，
，，
而，，，
，①
的序数列单调递增，数列单调递减，
同理可得，，②
由①②可得，
∴


.
故答案为：.
22．（2022·全国·高三专题练习）某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源.这个特别密码与如图数表有关.数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推，每年的特别密码是由该年年份及数表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数.如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字.按此规则，2022年的特别密码是___________.

【答案】20228
【详解】解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第行的公差是，
记第行第个数为，
则，
则，，
故数列是以首项为，公差为的等差数列，
故，
故，
故第2022行的第一个数为，
的个位数是2，的个位数是4，的个位数是8，的个位数是6，的个位数是2，，
的个位数以4为周期循环，而，故的个位数是6，
又，
故第2022行的第一个数的个位数为，
故2022年的特别密码是20228.
故答案为：20228．
23．（2022·全国·模拟预测（文））已知等差数列的前项和为，且，若存在常数使得恒成立，则常数的值为___________.
【答案】2或4
【详解】由题意，
化简得，
故，
由，得或，
当时，显然；当时，，满足条件，所以或4.
故答案为：2或4
24．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）

【答案】9
【详解】由图形变化规律可得，，则有，所以最小正整数的值为9.
故答案为：9.
25．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为___________
【答案】
【详解】由题，，累加可得，故，显然，故要存在正整数n，使成立，即，即或，故存在正整数n，使或，故或，即或，故直接分析的最小值即可.又，当为奇数时，；当为偶数时，，当且仅当时取得等号，综上有，故或.
故答案为：
26．（2022·北京·北师大实验中学高二期中）设正整数，其中，记.例如，那么.则下列说法正确的有_______.
①；②；③；④.
【答案】①②④
【详解】由，那么，①正确；
由
则
所以，②正确；
由
所以，
故，③不正确；
由

所以，
故，④正确．
故答案为：①②④
27．（2022·上海市七宝中学高二期中）已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为_________．
【答案】
【详解】由知：或；
当时，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，解得：（舍）；
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则，解得：（舍）；
数列应是等差与等比的交叉数列，又，或；
若要最小，则，，，
，
，
的最小值为.
故答案为：.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【详解】当时，，因为定义在上的函数满足，
，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，
，令，则，，有
，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，
，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有
故答案为：
29．（2022·新疆昌吉·二模（理））已知函数，则下列结论正确的有___________.
①，
②，恒成立
③关于的方程有三个不同的实根，则
④关于的方程的所有根之和为
【答案】①③
【详解】由，故A对.
由A可知，要使，恒成立，只需要满足，成立即可.即，即成立，令，则，得，当时，有最大值，故B不正确.
作出的图像，

由图可知，要使方程有三个不同的实根，则，即，故C对.
由可知，函数在上的图像可以由上的图像向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为的两根之和为，故所有根之和为，故D错.
故选：①③
30．（2022·全国·高三专题练习）已知数列和正项数列，其中，且满足，数列的前n项和为，记，满足．对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③若，则数列单调递增；④若，则数列从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______．
【答案】①②③
【详解】由，可知，则，又
则，解之得.则①判断正确；
由，可得，则，则
又由，可知，则
则由，则或（舍）
则或（舍）. 则②判断正确；
由，可知，则
若，则，
又，则，则，则
由，可得，则
又，则数列单调递增. 则③判断正确；
由，可得
由，，

则当时，，
即数列的第三项小于第二项.
则数列从第二项起单调递增的说法判断错误.
故答案为：①②③