通用版2023届高考数学二轮复习运算求解能力作业含答案

这是一份通用版2023届高考数学二轮复习运算求解能力作业含答案，共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
运算求解能力一、单选题1.  如图，在复平面内，已知复数、、，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知则(    )
 A.  B.  C.  D. 2.  年，意大利数学家卡尔丹在其所著重要的艺术一书中提出“将实数分成两部分，使其积为”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和若，则复数(    )A.  B.  C.  D. 3.  年月日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶，它每年的衰减率约为专家估计，当锶含量减少至初始含量的约倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续参考数据：，(    )A. 年 B. 年 C. 年 D. 年4.  已知，且，，则的值为A.  B.  C.  D. 5.  已知，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆：，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，则的最小值为(    )

 A.  B.  C.  D. 7.  已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若，的平分线分别交轴于点，，且，则椭圆的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  图是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”又称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图所示，若，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，则的面积为．(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知角，，是非直角三角形的三个内角，，且，，则(    )A.  B.  C.  D. 10.  地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，，则(    )A.  B.
C.  D. 11.  (    )A.  B.  C.  D. 12.  如图，正四面体的棱长为，的中心为，过点的平面与棱，，，，所在的直线分别交于，，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 13.  已知函数，且，则当时，的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 14.  如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是(    )
 A.  B.  C.  D. 15.  如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，(    )
 A.  B.  C.  D. 16.  在平面直角坐标系上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程，则的取值范围是  (    )A.  B.
C.  D. 17.  如图，已知在中，，，，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为(    )
A.  B.  C.  D. 18.  对于向量，，定义为向量，的向量积，其运算结果为一个向量，且规定的模其中为向量与的夹角，的方向与向量，的方向都垂直，且使得，，依次构成右手系．如图，在平行六面体中，，，则(    )
 A.  B.  C.  D. 19.  以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成的二面角若，，其中，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题20.  在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是(    )
 A. ， B. 当点为中点时，
C. 的最大值为 D. 满足的点有且只有一个21.  如图，已知矩形中，，，该矩形所在的平面内一点满足，记，，，则(    )A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 对任意的点，有 D. 对任意的点，有三、填空题22.  在中，，，，在边上，延长到，使得，若为常数，则的长度是________．四、23.  本小题分中，角，，的对边分别为，，，．求的大小；若，且，是边的中线，求长度． 24.  本小题分在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上并作答．问题：在中，内角，，的对边分别为，，，已知，__________，的面积为．求角的大小和的值；设点是的边上一点，且满足，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 25.  本小题分已知为等差数列，为等比数列，，，．求和的通项公式；对任意的正整数，设求；求． 26.  本小题分如图，在中，，点在边上，，．若的面积为，求的值；若，求的大小．
答案和解析 1. 【解析】【分析】本题考查复数的几何意义、共轭复数的概念、模、四则运算，考查计算能力，属基础题．
结合图形，写出复数、、，再计算化简，求出其共轭复数，最后根据模的定义求模即可得到答案．【解答】解：依题意，，，，
所以，
则
所以，
故选A．  2. 【解析】【分析】本题考查复数的除法运算，属于基础题．
解题思路是利用复数的运算法则计算即可．【解答】解：由题意知，
故选C．  3. 【解析】【分析】本题考查指数、对数的实际应用，属于中档题．
设初始含量为，根据题意列出方程，两边取对数，利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：设初始含量为，则，即，
两边取对数得．
故本题选C．  4. 【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式．
化简已知式子为，，再求出， ，利用，即可求出结果．【解答】解：因为，
所以，即，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
，
所以

．
故选A．
   5. 【解析】【分析】本题主要考查二倍角正余弦公式和同角三角函数关系，属于中档题．【解答】解：由，，
可得对上述式子分子分母同除以得，故选A．  6. 【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系及基本不等式的应用，考查转化思想，属于较难题．
设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，求得，根据基本不等式，即可求得答案．【解答】解：设抛物线的方程：，焦点为，
则，则，
抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，
圆：的圆心为，半径为，
由直线过圆的圆心即抛物线的焦点，
可设直线的方程为：，设、坐标分别为，
由 联立，得 ，
恒成立，
由韦达定理得：，，
，，
，
则
．
当且仅当时等号成立，
故选C．  7. 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的离心率的求法，余弦定理，考查计算能力，属于中档题．
根据题意得到，结合向量数量积的运算，进而得到，即可求出离心率．【解答】解：如下图所示：因为，
所以由余弦定理得，
又，所以．因为，分别为，的角平分线，所以，所以．由题意可知，点，，，
则，．由，可得，即，
在等式的两边同时除以，
可得，因为，解得．
故选C．  8. 【解析】【分析】本题考查余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题．
求得，在中，设，根据三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，得到，则，运用余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得到答案．【解答】解：，
在中，设，则，
因为三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，
故，解得，负值舍去，即，
在中，，，，
则由余弦定理可得：，
故，即正三角形的边长为，
所以．
故选D．  9. 【解析】【分析】本题主要考查向量的应用，三角形中正切的表示，属于难度比较大的题目．
利用已知条件求出是三角形的重心，取的中点，以为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，表示出，，再由两角和的正切公式求出，代入计算即可得出答案【解答】解：取的中点，因为．
所以点是的重心，所以．
以为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，
因为，所以，
故G在以为直径的圆上，所以可设，则
可得 ，
则．
因为，
所以．
故选C．  10. 【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，写出各个点的坐标，设，由向量的坐标运算可得结果．【解答】解：如图，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，．

设，
则
解得
所以，
即，
故答案选：．  11. 【解析】【分析】本题考查了三角函数的化简求值，三角恒等变换，也考查了同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于较难题．
根据同角三角函数的基本关系、诱导公式及两角和与差的三角函数公式化简即可．【解答】解：
．
故本题选C．  12. 【解析】【分析】本题主要考查了空间向量的运算及空间向量共面定理，属于较难题．
由题意，设，，，所以，因为，，，四点共面，由空间向量共面定理即可求解．【解答】解：因为为的中心，
所以，
设，，，
所以，
因为，，，四点共面，
所以，
即，
．
故选A．  13. 【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．属于较难题判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论． 【解答】解：函数为奇函数，又，
所以函数在其定义域内单调递增，则，
即，化简得，
当时表示的区域为上半圆及其内部，
如图所示

令，其几何意义为过点与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点，
此时，斜率最大时直线刚好与半圆相切，设直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
故选A．  14. 【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积，向量的坐标运算，三角函数的性质，涉及余弦定理，辅助角公式，属于中档题．
由已知条件推出，则以为原点，、线段所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，写出，，，的坐标，求出圆的半径，设，求得，，利用数量积的坐标表示出来求解即可．【解答】解：由已知得，在中，，，，
由余弦定理得，
所以，则，
所以建立如图所示的直角坐标系，则，，，，

，，由圆与相切，利用等面积法求得半径为，
设，，所以，
所以，
其中是锐角，且，当且仅当时，取等号．
所以的最大值为．
故选：．  15. 【解析】【分析】利用平面向量基本定理将向量用向量表示，然后求解，向量的模和夹角均已知，利用数量积的定义进行求解即可．
本题考查了空间向量的应用，主要考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是将要求解的向量转化为已知的向量表示，属于拔高题．【解答】解：因为，所以为的中点，
则，
同理，
因为，，
所以
，
故
，
因为，，，
所以上式，
所以．
故选：．  16. 【解析】【分析】 本题考查直线的斜率公式、与圆有关的范围问题．属中档题．
，作出两圆的图像，由图可知的大小介于两圆两条内公切线的斜率大小之间．
 【解答】解：点的坐标满足方程，
点在圆上．
点的坐标满足方程，
点在圆上，则．
作出两圆的图像如图所示，设两圆内公切线为与，
由图可知设两圆内公切线方程为，
则得．
圆心在内公切线两侧，，
可得．，化简得，
解得，即，．
则的取值范围．
故选B．  17. 【解析】【分析】本题主要考查二面角的相关计算，线面垂直的判定与性质，一元二次函数的图象与性质，属于较难题．
过作交于，连接，结合已知条件有二面角的平面角为，而，设且，则，即可求，，应用函数与方程思想，构造且在上有解求参数的范围，即可得二面角正切的最大值．【解答】解：过作交于，连接，
在平面内的射影恰好落在线段上，即面，
又，
，又，，，
所以面，

又面，则，
二面角的平面角为，
在中，，若令，则，又，
，且，
故，则，
即方程在上有解时，的最大值即为所求，
而开口向上且，即，对称轴
当时，，显然成立；
当时，当对称轴在上，恒成立；
当对称轴在上，，即，
综上，有，即，故二面角的正切的最大值为，
故选C．  18. 【解析】【分析】本题是新定义题目，需要抓住新定义中的本质找到解题的关键点，即的方向，考查分析问题和解决问题的能力，属于较难题．
根据题意判断出向量垂直平面，由题意作于，过作于，连，可得，在直角三角形求出夹角的余弦值即可求解．【解答】解：据定义知，向量垂直平面，且方向向上，
设与所成角为．
依题，，
根据对称性易知点在底面上的射影在直线上．
作于，则面，

，
过作于，连，
底面，在底面内，
，
又、为平面内两条相交直线，
则平面，
在平面内，故EJ．
，，
，．
又，，
．
，，
．
，，
故
，
故选D．  19. 【解析】【分析】本题考查二面角，考查线面垂直的判定定理，考查利用余弦定理解三角形，综合性较强，属于较难题．
根据二面角的平面角的定义得是和折成的二面角的平面角，解三角形求得，，由，得点在平面内，则的最小值为点到平面的距离，设点到平面的距离为，运用等体积法可求得答案．【解答】解：由已知得，所以是和折成的二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，因为，其中，所以点在平面内，
则的最小值为点到平面的距离，设点到平面的距离为，因为，，平面，
所以平面，
所以是点到平面的距离，所以，又中，，所以，所以，则，
所以，解得，所以的最小值为．故选C．  20. 【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算及应用，属于中档题．
建立直角坐标系，求出个点坐标，再利用题干构建方程，依次判断即可．【解答】解：如图，建立直角坐标系，其中

设点，则，
由，
，A正确，
对于，当点为中点时，，，B正确；
对于，，
，当时，取得最大值为，C正确
对于，由令，
满足条件的点不只有一个，D错误．

   21. 【解析】【分析】本题主要考查了向量在几何中的应用，建立坐标系是关键，属于较难题．
以为原点，，所在的直线为轴，轴建立坐标系，再可设，，根据向量数量积的坐标公式计算出，再作差比较，根据三角函数的性质即可判断．【解答】解：以为原点，，所在的直线为轴，轴建立如图所示的坐标系，

则，，，，
，，，
，且在矩形所在平面内，
可设，，
，
，
，
，
，即，故A错误；
，
其中，
则，故B错误，D正确；
，
则，故C正确；
故选CD．  22.或 【解析】【分析】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，属于较难题．
以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，求得与的坐标，再把的坐标用表示．由列式求得值，然后分类求得的坐标，则的长度可求．【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，

则，，
由，
得，
整理得：
．
由，得，
解得或．
当时，，此时与重合，；
当时，直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程可得
即
．
的长度是或．
故答案为：或．  23.解：因为，
由正弦定理得：，，
所以由余弦定理得：，
因为，故；
法一：中线公式：由，
故，又，则，
故，故．
 法二：由，故，
又，则由余弦定理得：，
故，，又，则，由余弦定理得：，即，
故． 【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的运用，考查了分析和运算能力，属于中档题．
由，结合正弦定理得到，再由余弦定理求出，即可求出的大小；
法一：先结合求出，再根据，则有，展开代入数据计算即可求解．
法二：先结合求出，然后由余弦定理求出，则，再根据，结合余弦定理建立关于的方程求解即可．
 24.解：选
由，得．
因为，所以．
因为，所以，由，得．
因为的面积，所以，
由余弦定理得，得．
选
由，得，所以，得．
因为的面积，所以，
由余弦定理，得，得．
选
因为，所以．
因为，
即，
所以．
因为，
所以，即．
由，得因为的面积，所以，
由余弦定理，得，得．
由知，，
因为，所以是等边三角形，
所以，，从而． 【解析】本题考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
选择条件，利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式及余弦定理即可求解．
根据的结果，可知是等边三角形，可得，即可求解．
 25.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，，可得，则；
由，
又，可得，解得，则；
当为奇数时，，
对任意的正整数，有；
当为偶数时，，
 
由得 
由得，
由于，
从而得． 【解析】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；
当为奇数时，，由裂项相消即可求和；
当为偶数时，，由错位相减法即可求和．
 26.解：在中，，，，
若的面积为，则，
所以，所以，
则，
所以
在中，，可设，则，
又，由正弦定理，得，所以，
在中，，，
由正弦定理，得，
即，化简得，
于是，因为，
所以，，所以或，
解得或，
即角的大小为或． 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用，属于中档题．
根据三角形面积公式可得，再利用余弦定理可得，从而得到，
在中，设，，根据正弦定理可得，再在中用正弦定理可得，进而根据诱导公式，结合正弦函数的取值求解即可．