2023届江西省鹰潭市高三二模数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省鹰潭市高三二模数学（文）试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届江西省鹰潭市高三二模数学（文）试题

一、单选题
1．设集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次不等式与对数不等式分别求解集合，再求交集即可.
【详解】，
，
故.
故选：B
2．已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则是直线与直线平行的（    ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由复数的除法及纯虚数的概念求出，再由直线平行的充要条件判断即可得解.
【详解】是纯虚数，
且，
解得，
此时与直线平行，
当时，且，解得.
所以是直线与直线平行的充要条件，
故选：A
3．在区间上随机取值作为x，则的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，根据此函数在区间内导数大于0，得出此函数在为增函数结论，根据的条件，可以得到符合条件x的取值范围为，得到符合条件的区间长度与给定区间长度的比值就是所求的概率．
【详解】令，，
，即函数在上为增函数，
题中所给等价于，
又因为，故在上符合要求的x的取值范围为，
区间长度为4，区间长度为3，
故在区间上随机取值作为x，
由几何概型的概率公式得的概率为．
故选：C．
4．下列说法中正确的是（    ）
A．“”是“”成立的充分不必要条件
B．命题，，则，
C．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1
D．已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为
【答案】D
【分析】对于A，利用特殊值进行排除；对于B，根据命题的否定定义进行判断；对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1；对于D，求出剔除两个样本点和得到新的样本的平均数，再进行求解.
【详解】对于A，满足，但，所以“”不是“”成立的充分条件，故A错误；
对于B，命题，，则，，故B错误；
对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1，当负相关时，相关系数r越接近于，相关关系越强，故C错误；
对于D，已知回归直线方程，且，则，剔除两个样本点和，得到新的回归直线的斜率为3，新样本平均数，，则新的回归方程为.故D正确.
故选：D.
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，则（    ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得、，利用余弦定理化简计算即可求解.
【详解】由，得，
由成等差数列，得，
由余弦定理，得，
即，
整理，得，由得，
由得.
则，，
所以，
故选：B.
6．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（    ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【分析】由题意，，，成等比数列，可得，即可求出，代入，再结合对勾函数性质可求出答案.
【详解】由于，，成等比数列，所以，
，
∴，
解得（负值舍去），
∴，∴，
所以，
由对勾函数性质知在上单调递增，
所以当时，在时取得最小值为：，
又，所以在上的最小值为4，
所以的最小值为.
故选：B.
7．已知函数对任意，都有，以下关于的命题，正确的是（    ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．点是函数图像的一个对称中心
D．将函数图像向右平移个单位，可得到的图像
【答案】C
【分析】先求，然后结合选项逐一验证，对称轴、对称中心也可以代入检验.
【详解】因为
可得，
对于选项A，令得，
令，可得在上单调递增，
同理可求在上单调递减，A不正确；
对于选项B，当时，，所以直线不是函数图像的对称轴，B不正确；
对于选项C，当时，，所以点是函数图像的一个对称中心，C正确；
对于选项D，将函数图像向右平移个单位，可得到的图像，D不正确.
故选：C.
8．已知定义在上的函数满足，若，则（    ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】依题意可得，从而得到，即可得到是以为周期的周期函数，根据周期性及所给条件计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
又，所以.
故选：D
9．已知双曲线的两焦点分别是，，双曲线在第一象限部分有一点P，满足，若圆与三边都相切，则圆的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先证明△为直角三角形，，结合双曲线的定义即可求出内切圆的半径和圆心，从而可得答案
【详解】由双曲线的两焦点分别是，，双曲线在第一象限部分有一点，
，，
，
，，
，
，且，
，，
△为直角三角形，，
设内切圆的圆心为的坐标为，半径为，
，
解得，，

所以，
故圆的标准方程为，
故选：A．

【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单性质和三角形的内切圆的性质，考查的圆的标准方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
10．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A，B（其中A在x轴上方），A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若，，则（    ）
A． B．2 C．3 D．4.
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出.
【详解】如图，

由题意知，，，则,
由轴，可知，则，
，，，
.
故选：A.
11．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则下列说法正确的个数是（    ）

①正四棱台的体积为；②平面平面；③平面；④正四棱台的外接球的表面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】对于①直接用棱台体积公式计算即可判定；对于②先证BD⊥平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；对于③取的中点F，连接AF，EF，，连接AG，先证四边形是平行四边形，易得GA平面，EF平面，根据面面平行判定定理可证平面平面，再根据面面平行的性质即可证明AE平面；对于④：分球心在正四棱台内、外两种情况讨论，且球心必在上或的延长线上，再利用勾股定理列出关于球半径的方程即可求解.
【详解】依题意，
对于①，正四棱台的体积为，故①错误；

对于②，易知BD⊥AC，BD⊥，又，
平面，平面，
则BD⊥平面，又BD平面，
所以平面⊥平面，故②正确；
对于③，取的中点F，连接AF，EF，
，连接AG，

所以EF，又因为E是的中点，
所以，所以G是的中点，
因为,所以，
又，所以，又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，又GA⊄平面，⊂平面，
所以GA平面，因为BD，所以EFBD，
EF⊄平面，BD⊂平面，所以EF平面，
因为EF∩AG＝G，所以平面平面，
因为AE⊂平面AEF，所以AE平面，
故③正确；
对于④，连接AC、BD相交于，连接，相交于，

如果外接球的球心O在正四棱台的内部，
则O在上，，
因为上下底面边长分别为4，6，
所以，，
设外接球O的半径为R，
所以，
即，无解，
所以外接球的球心O在正四棱台的外部，如图：

则O在延长线上，，
因为上下底面边长分别为4，6，
所以，，
设外接球O的半径为R，所以，
即，解得＝26，
所以正四棱台的外接球的表面积为4π＝104π，故④正确；
故选：C．
【点睛】方法点睛：证明线面、面面的平行垂直关系时，关键是转化为线与线的平行垂直关系，常用的方法有：平行四边形的性质、三角形中位线、对角线、勾股定理以及向量法等；外接球问题，根据几何图形的对称性确定球心是关键，熟悉常见外接球的模型可以提升解题速度.
12．已知f(x)=，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为
A． B．（） C． D．（0，）
【答案】B
【分析】由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；从而可得方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；再分析函数f（x）的单调性及大致图像即可．
【详解】解方程得，
f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；
解f（x）＝1得x＝0，
故方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；
当x≥1时，
f（x），f′（x）；
故f（x）在（1，e上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
f（1）＝0，f（e），且x>1时，；
当x＜1时，
f（x）＝在（﹣∞，1）上是减函数；故f（x）的大致图像如下：

故若使方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根，
则0＜-m﹣1；
即m＜-1；所以实数的取值范围为（），
故选B．
【点睛】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性及最值，研究函数零点的分布情况，考查了数形结合思想，函数与方程转化的思想，属于中档题．

二、填空题
13．已知非零向量，满足，且，则，的夹角为______．
【答案】
【分析】先根据求出，利用数量积夹角公式可得答案.
【详解】设向量，的夹角为，
∵，且，
∴，∴，又，∴.
故答案为：
14．已知函数，则在处的切线方程为________.
【答案】
【分析】先对函数求导，然后令，求出的值，代入原函数和导函数中，再计算出的值，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】解：由，得，
令，则，解得，
所以，，
所以 ，
所以所求的切线方程为，即
故答案为：
【点睛】此题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属于基础题.
15．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．

【答案】
【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.
【详解】接下来的一个扇形半径为，故围成的圆锥母线长为，
因为扇形的圆心角为90°，所以其弧长为，也即底面圆周长，
所以底面圆半径为，则圆锥的高为，
所以圆锥的体积为

故答案为：+
16．已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和________.
【答案】
【分析】根据题意求出，再由与的关系求通项公式，再由错位相减法求即可得解.
【详解】因为，，所以，
所以，
因为，所以，
两式相减可得，，即，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故，
令，
，
，
两式相减得：



.
故答案为：

三、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，.
(1)求；
(2)若D是AC边上的中点，，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数，化简由同角三角函数基本关系得解；
（2）由余弦定理求出，再由，利用三角形面积公式得解.
【详解】（1），，
，
由正弦定理得，
又，，.
A为锐角， .
（2）设，
在中，，，
，又D为AC的中点，，
在中，，
即
解得  所以 ，
由，得 ，
解得 .
18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价（单位：元/件）
4
5
6
7
8
9
月销售量（万件）
89
83
82
79
74
67
(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
(2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值.
【答案】(1)甲，理由见解析
(2)时，商品的月销售额预报值最大，最大值为万元

【分析】（1）首先由数据可得，负相关，排除乙，再计算样本中心点，代入方程检验即可；
（2）由题意知，根据二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）根据数据知，负相关，故排除乙，
又，，
由，可得过点，
由，可得不过点，
所以甲满足，丙不满足，故甲计算正确.
（2）根据题意
，
当时有最大值，
故当时，商品的月销售额预报值最大，最大值为万元.
19．如图（1）所示，已知四边形SBCD是由和直角梯形ABCD拼接而成的，其中.且点A为线段SD的中点，，.现将沿AB进行翻折，使得二面角的大小为，得到图形如图（2）所示，连接SC，点E，F分别在线段SB，SC上.

(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点E到平面ABCD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据二面角的大小为，得到，再由，得到平面ABCD，进而得到，易证，然后利用线面垂直的判定定理证明；
（2）设点E到平面ABCD的距离为h，由且求解.
【详解】（1）证明：因为梯形ABCD为直角梯形，且，
所以为二面角的平面角，
又二面角的大小为，
所以，即，
又，且，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，
所以；
在直角梯形ABCD中，，，，
所以，
所以，又，
所以，即；
又，平面SAC，平面SAC，
所以平面SAC， 又平面SAC，
所以；
（2）设点E到平面ABCD的距离为h，因为且 ，
故，
，
所以E点到平面ABCD的距离为.
20．已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线恒过定点，定点坐标为

【分析】(1)根据题意椭圆过点P2、、，代入椭圆方程列出方程组，解之即可求解；
(2)根据角、线段之间的数量关系可得，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量的坐标表示可得，求出m的值，即可得出直线恒过的定点.
【详解】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此解得
故C的方程为.
（2）在中，，，
所以，从而，
又为线段的中点，即，所以，
因此，从而，
根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，
联立消去得①，
，
根据韦达定理可得，，
所以

所以，
整理得，解得或
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，
该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，
所以直线恒过定点，定点坐标为.
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）先求出定义域，再求导，根据确定或，再对进行分类讨论，讨论求出函数的单调性；
（2）对求导，结合的极值点个数得到在上有两个不等实根，得到，，，表达出，只需证，构造，，研究其单调性，求出，由对勾函数的单调性证明出结论.
【详解】（1）定义域为，且
，
令得，或，
①当时，与，，单调递增，
，，单调递减，
②当时，，在单调递增，
③当时，与，，单调递增，
，，单调递减，
综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减；
（2）由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
又，，
所以
，
要证，即证，
只需证，
令，，
则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，
即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵由对勾函数知在上单调递增，
∴，
∴，即，得证．
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.
【答案】（1）点M的极坐标为或（2）
【解析】（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.
（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，
由，得，
∵
∴或，
所以点M的极坐标为或
（2）由题意可设，.
由，得，.



故时，的最大值为.
【点睛】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.
23．已知正实数满足.
（1）解关于的不等式；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意，把，转化为，即可求解；
（2）根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，且，由，
可得，即，即，
解得，所以不等式的解集为.
（2）因为，且，
所以
.
当且仅当时，等号成立.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.