2023年广东省深圳市福田区中考数学模拟试卷（含答案解析）

2023年广东省深圳市福田区中考数学模拟试卷

1.  函数中自变量x的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者.其中数据3510000用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列所给方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是(    )

A. 5 B. 10 C. 12 D. 15

6.  在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，则菱形ABCD的高(    )

A.
B.
C. 5
D.

8.  如图，MN是的直径，，，B点是弧AN的中点，P是直径MN上的动点，则的最小值为(    )

A.
B.
C. 1
D. 2

9.  若二次函数的图象如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图象为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，反比例函数图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，，则k的值为(    )

A. 3
B.
C.
D.

11.  分解因式：______.

12.  二次函数的图象的顶点坐标为______.

13.  已知是方程的一个解，那么______ .

14.  如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高，测得，则建筑物CD的高是______

15.  如图，在中，，，以AB为直径的交AC于点D，弧AD沿直线AD翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为______ .

16.  计算：

17.  “双减”政策下，将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，推动提升课后服务质量，助力学生全面健康成长.某校确立了A：科技：B：运动；C：艺术；D：项目化研究四大课程领域每人限报一个、若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程领域.
小陆选择项目化研究课程领域的概率是______ .
用画树状图或列表的方法，求小陆和小明选择同一个课程领域的概率.

18.  如图，在小山的东侧A处有一热气球，由于受风力影响，它以的速度沿着与水平线成角的方向飞行，后到达C处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P及小山西侧的B处在一条直线上，同时测得B处的俯角为在A处测得山顶P的仰角为，求A与B间的距离及山高结果保留根号

19.  某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱.试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱.已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元.
若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？

20.  如图，PA为的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C交于点B，延长BO与交于点D，与PA的延长线交于点
求证：PB为的切线；
若，求

21.  抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，抛物线的对称轴为，直线AD交抛物线于点
求抛物线和直线AD的解析式；
如图1，点Q是线段AB上一动点，过点Q作，交BD于点E，连接DQ，若点Q的坐标为，求的面积S与m的函数表达式，并写出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接写出此时点E的坐标；
如图2，直线AD交y轴于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标.
 

22.  综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处.

如图①，若，求的度数；
如图②，当，且时，求EF的长；
如图③，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，请直接写出的值.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：根据题意得：，
解得：
故选：
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的范围，掌握当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

2.【答案】C 

【解析】解：根据俯视图的定义，从上往下看，C符合题意．
故选：
根据三视图的定义解决此题．
本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
 

3.【答案】B 

【解析】解：，
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

4.【答案】D 

【解析】解：，，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B.，，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C.，，所以方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D.，，方程没有实数根，所以D选项符合题意；
故选：
求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
【解答】
解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：，
解得，
袋子中红球的个数最有可能是5个，
故选：  

6.【答案】A 

【解析】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，即
故选：
根据图象的平移规律，可得答案．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

7.【答案】B 

【解析】解：在菱形ABCD中，，
，，
，，
在中，，
，
菱形ABCD的面积，
即，
解得，
故选：
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】B 

【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是，
则弧BN的度数是，
根据垂径定理得弧CN的度数是，
则，
又，
则
故选：
首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
此题主要考查了轴对称最短路径问题，找到A的对称点，确定点P的位置，利用垂径定理是关键步骤．
 

9.【答案】A 

【解析】

【分析】
根据二次函数的图形判断出a，b，c的符号，可得结论．
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，关键是掌握二次函数图象与系数的关系和一次函数图象与系数的关系．
【解答】
解：二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴的交点在y轴正半轴，
，，，
，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：  

10.【答案】B 

【解析】解：过B作轴于H，过A作轴于M，于N，交y值于E，
四边形OABC是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
同理，≌，
，，
轴，
，
，
，
，
，正方形OABC的面积为12，
，
，
，
，
反比例函数图象经过正方形OABC的顶点A，
，
故选：
过B作轴于H，过A作轴于M，于N，交y值于E，通过证得≌，≌，得出，，由，根据平行线分线段成比例定理求得CE：：：：3，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得A的坐标，进而求得k的值．
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
直接提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为
故答案为
直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．
 

13.【答案】0 

【解析】解：把代入方程，得
，

知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．
解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程．
 

14.【答案】20 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
解得，，
即建筑物CD的高是
故答案为：
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：设点是的中点，连接，，OD，AD与交于E，
弧AD沿直线AD翻折后经过点O，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，，
阴影部分的面积的面积-扇形，
故答案为：
设点是的中点，连接，，OD，AD与交于E，根据折叠的性质得到，，推出四边形是菱形，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，折叠的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：

 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】 

【解析】解：小陆选择项目化研究课程领域的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小丽和小宁选同一个课程的结果有4种，
小陆和小明选同一个课程的概率为
直接根据概率公式求解即可；
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小丽和小宁选同一个课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，过点A作于D，过点P作于E，
由题意得：，，
则，
，
，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
答：A与B间的距离为，山高为 

【解析】过点A作于D，过点P作于E，根据正弦的定义求出AD，再根据含角的直角三角形的性质求出AB，设，用x表示出BE、AE，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：，元，
若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，y的最大值为6400元；
若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为6250元；
综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元． 

【解析】根据已知列式计算即可；
分两种情况：若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，可得：，若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，有，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出函数关系式．
 

20.【答案】证明：于点C，
，
，
，
，
，
为的切线，A为切点，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
解：，
，
，
，
设，，，则，
，
，
，
，
，
，
，
将代入，得，
整理得，
 

【解析】根据垂径定理证明OP垂直平分AB，则，所以，而，则，即可证明PB为的切线；
由，得，则，所以，设，，，则，，由，得，则，所以，于是得，整理得，则
此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得，，解得：，
抛物线的解析式为；
，对称轴为，
，
在抛物线的解析式上，
，
设直线AD的解析式为，
，
解得，
直线AD的解析式为；

如图1，作轴，设，

，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
面积的最大值是3，
此时E点坐标是；
如图2，由可知直线AD的解析式为：，
当时，，
点F的坐标为，
过点F作关于x轴的对称点，即，连接交对称轴于M，x轴于N，
由条件可知，点C，D是关于对称轴对称，则四边形CFNM的周长最小，
此时直线的解析式为：，
当时，，即，
，
当时，，

存在点N的坐标为，点M的坐标为 

【解析】由待定系数法得到抛物线的解析式为：；直线AD的解析式为；
作轴，设，根据相似三角形的性质得到，求得，根据二次函数的性质即可得到结论；
点F的坐标为，过点F作关于x轴的对称点，即，连接交对称轴于M，x轴于N，由条件可知点C，D是关于对称轴对称，则四边形CFNM的周长最小，可求出直线的解析式，则可得出答案．
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，轴对称的性质等知识．解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法．
 

22.【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
，，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
；

将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
，，
又矩形ABCD中，，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
，
；

过点N作于点G，

，
，
，
，
，，
∽，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得

 

【解析】由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，可求出，求出，由勾股定理求出，则可求出AF，即可求出BC的长；
过点N作于点G，证明∽，，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．