新高考数学二轮复习专题2数列解答题专项提分计划（教师版）

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新高考复习
专题2 数列解答题专项提分计划
1．（2022·广东深圳·深圳市光明区高级中学校考模拟预测）已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义,利用以及,即可得到,即可证明.（2）根据分组求和和等比数列求和公式即可求解.
（1）
因为
所以，
因为所以   
所以
所以  
所以是首项和公比均为的等比数列.
（2）
由（1）易得：  
因为所以
所以


2．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列，的前n项和分别为，，，．
(1)求及数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先根据得到，再结合，求出数列，的通项公式；
（2）在第一问的基础上利用分组求和进行求解.
（1）
在中，
当n＝1时，b1﹣a1＝0，
当n⩾2时，，
显然b1﹣a1＝0适合上式，
所以，，
又，
所以两式相减得，两式相加得
且a1＝1，b1＝1；
（2）
因为，
结合（1）中所求，，
故

3．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)140

【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.
【详解】（1）
，
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可得

，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即，则，
∴的最小值为140.
4．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）已知等差数列中，，，且.
(1)求数列的通项公式及前2n项和；
(2)若，记数列的前n项和为，求.
【答案】(1)，数列的前2n项和为
(2)

【分析】（1）结合，求得等差数列的通项公式，即可得的通项公式，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可.
(1)
设等差数列的公差为d，则，
所以，从而．


.
(2)
∵，
∴，
，
相减得，，
，
即.
5．（2022·广东韶关·统考二模）已知数列前项和为，
(1)证明：
(2)设 求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据与前项和为的关系，即可证明结果；
（2）由（1），对分奇数和偶数两种情况讨论，可得，由此可得，再根据分组求和即可求出结果.
（1）
解：由题可知，
当时，解得，所以
又因为，
将其与两式相减得：，
因为，有.
当时，上式也成立，
综上，.
（2）
解：当n为大于1的奇数时，
有，，，…，
累加得
又满足上式，所以n为奇数时；
当n为大于2的偶数时，有，，，…，
累加得，满足上式，又，
综上可知



.
6．（2022·广东·统考模拟预测）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
【答案】(1)，，
(2)，证明见解析

【分析】(1)根据定义求出的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，由此归纳出，(2)由(1)化简，再由裂项相消法求其前项和，并完成证明.
【详解】（1）由题意得，
，
，
，



，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得，，
所以的通项公式．
（2）由于，
所以，
则，
因为，所以，所以，
又随n的增大而减小，
所以当时，取得最大值，故．
7．（2022·广东·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)或（其中），;
(2).

【分析】（1）设等差数列的公差为d，然后根据已知条件列方程可求出，从而可求出，利用可求出；
（2）由（1）可得，则，然后利用裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由得，
因为是与的等比中项，
所以．
化简得且，
解方程组得或．
故的通项公式为或（其中）；
因为，
所以，，
所以，
因为，满足上式，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以


，
易见随n的增大而增大，从而恒成立，
所以，故的最小值为.
8．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析

【分析】（1）已知求通项公式，先算再计算，作差公式为：；（2）将的表达式代入然后运用裂项相消法求和后可证.
【详解】（1）当时，可得.
当时，由题意可得，即，
所以，
又，
经检验，当时符合，所以，；
所以当时，，
经检验，当时符合，所以，；
（2）由（1）可得，所以
，命题得证.
9．（2022·广东广州·统考一模）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
依题意，，则
所以，解得，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得
，
所以.
10．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知数列满足：，对，都有．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用变形得到，从而证明出结论；（2）求出，分组进行求和.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，
化简得：．
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可得：，
所以，
所以
．
11．（2022·广东·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据，可得，从而可得数列是以3为等比的等比数列，即可得解；
（2）求出数列的通项，再利用错位相减法即可得出答案.
【详解】（1）解：因为，
所以，
又因，所以，
即，
所以数列是以3为等比的等比数列，
所以；
（2）解：，
则，
，
两式相减得

，
所以.
12．（2022·广东·统考模拟预测）已知数列中，且，
(1)求证：数列是等比数列；
(2)从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答．
求数列______的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)选①：；选②：

【分析】（1）根据递推公式使用构造法可得的通项公式，然后可得通项，再由等比数列定义可证；
（2）选①：由分组求和法可得；选②：使用错位相减法可得.
(1)
因为且，
所以当时，，
所以，即
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，
因为，时，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)
选①：因为，所以，
则


选②：因为，所以，则（i）
（ii）
（i）（ii）得

13．（2022·广东汕头·统考三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【答案】(1)，
(2)11522

【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．
(1)
由
得：
∵
是首项，公差为2的等差数列
∴
又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
(2)
依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
14．（2022·广东佛山·统考三模）设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．
(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；证明见解析；
(2)

【分析】（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；
（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和．
(1)
由题意可知，，且，解得：或（舍去）
又当时，，所以有
化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列
所以
(2)
由(1)可知
当时，
当时，
则，
①当是奇数时，

②当是偶数时，

综上所述：
15．（2022·广东茂名·统考模拟预测）设数列的首项，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)将构造为，即可证明数列为等比数列.
(2) 求出的通项公式，方法一：分当为奇数和偶数，即可求出；方法二：由错位相减法求出.
【详解】（1）证明：对任意的，，
则且，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，
故.
（2）解法一:

当为奇数时，



当为偶数时，




解法二:
,
所以①
上式两边乘以可得:
   ②
①-②得:
，



16．（2022·广东·统考三模）已知数列{}的前n项和，，，.
(1)计算的值，求{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）赋值即可求出，利用与的关系可求得的递推关系，进而求出（2）对分奇偶讨论，当n为偶数时，采用并项法求和，当n为奇数时，
（1）
当时，，解得
由题知   ①        
      ②
由②①得，
因为，所以
所以数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；
当n为奇数时，
当n为偶数时，所以的通项公式.
（2）
由（1）可得.
当n为偶数时，


当n为奇数时，
当时，
当时，

经检验，也满足上式，
所以当n为奇数时，
综上，数列的前n项和
17．（2022·广东广州·统考二模）问题：已知，数列的前n项和为，是否存在数列，满足，__________﹖若存在．求通项公式﹔若不存在，说明理由．
在①﹔②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①：；选②：；选③：
【分析】选①：利用与的关系得到关于的递推公式，再由递推公式求，然后可得通项；选②：利用与的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.
【详解】选①：


，即是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当时，
显然，时，上式不成立，所以.
选②：当时，，即
所以
整理得
又，
所以从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列
当时，，即
显然，时，上式成立，所以
选③：

又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
18．（2022·广东茂名·统考二模）已知数列满足，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由递推关系式可得，由等比数列定义可得结论；
（2）利用等比数列通项公式和累加法可求得，由此可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，利用裂项相消法和求得结果，综合两种情况可得.
【详解】（1）由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，
则，，，…，，
各式作和得：，
又，，
，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
19．（2022·广东韶关·校考模拟预测）数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或

【分析】（1）根据递推关系得，再验证满足条件即可求得答案；
（2）由（1）知，，再结合裂项求和与数列的单调性得，再解不等式即可.
【详解】（1）解：当，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也满足（*），所以，，
（2）解：由（1）知，，
故，
于是，
因为随n的增大而增大，
所以，解得或
所以实数m的取值范围是或.
20．（2022·广东梅州·统考二模）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)

【分析】（1）选①，分析可知数列、均为公差为的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式；
选②，求得的值，可得出数列的公差，即可求得，再由可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
（1）
解：选条件①：，，得，
所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
（2）
解：因为，
所以
.
21．（2022·广东佛山·统考二模）已知数列{}的前n项和为，且满足
(1)求、的值及数列{}的通项公式：
(2)设，求数列{}的前n项和
【答案】(1)；；
(2).

【分析】（1）利用给定条件建立方程组求解得、，再变形递推公式求出即可计算.
（2）由（1）的结论，对裂项，利用裂项相消法计算作答.
【详解】（1）因，取和得：，
即，解得，由得：，
数列是首项为，公差的等差数列，则，即，
当时，，而满足上式，因此，，
所以，数列{}的通项公式.
（2）由（1）知，当时，，
因此，，，
则，满足上式，
所以.
22．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用，整理可得数列是等比数列，求其通项公式即可；
（2）求出，然后分组求和.
【详解】（1）当时，，
整理得，
又，得
则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则，
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则

23．（2022·广东·统考一模）已知正项数列，其前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.
（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.
(1)
依题意，正项数列中，，即，当时，，即，
整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，因为是正项数列，即，
所以.
(2)
不存在，
当时，，又，即，都有，
则，
假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，
则，即，
两边同时平方，得，即，
整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在满足要求的连续三项.
24．（2022·广东肇庆·校考模拟预测）设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式
（2），利用裂项相消法即可求出数列的和.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，，
即，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）知，
，
所以
.
25．（2022·广东揭阳·普宁市华侨中学校考二模）已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)求的通项公式：
(2)若，求数列的前n项和
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）若选①，由已知得， ，当时，两式相减有，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
若选②，由已知得，，当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
若选③，由已知得，，
当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
（2）由（1）得，由等差数列的定义得数列是以0为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式可求得.
(1)
解：若选①，，则，
当时，，
当时，符合上式，
所以；
若选②，，
当时，
两式相减，得，即，
又，，所以，所以，
所以数列是首项为1，公比为等比数列，所以；
若选③，数列满足，
当时，，
两式相减，可得，所以，
当时，符合上式，
所以；
(2)
解：，
，又，
所以数列是以0为首项，为公差的等差数列，
所以.
26．（2022·广东茂名·统考二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用可得，转化为可得答案；
（2）求得，利用错位相减可得答案.
【详解】（1）由可得，
由得，
所以，即，
所以，，
所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.
（2）由（1），得，
所以，
，两式相减得
，
所以.
27．（2022·广东韶关·统考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)选①：，；选②：，；选③：，
(2)

【分析】（1）若选①，可得，再利用累加法求出数列的通项公式；若选②：由计算可得；若选③：由计算可得；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得；
（1）
解：若选①：由，则，
可得
将上述个式子相加，整理的

又因为，所以.
若选②：，当时，，
当时，
所以，所以.
综上，
若选③：，当时，，
当时，由可得，所以，所以.
经检验当时也成立，所以；
设等差数列的公差为，
由题有，即，解得
从而
（2）
解：由（1）可得，
令的前项和是，则，
，
两式相减得，
，
整理得；
28．（2022·广东佛山·校联考模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【分析】(1) 由条件可得从而可证明，再根据累加法可求出的通项公式.
(2) 由错位相减法求出的表达式，然后再解不等式从而得出答案.
（1）
由，得，
所以是等比数列.
所以
从而

所以，．
（2）
设
即，所以，，
于是，．
因为，且，
所以，使成立的最大正整数．
29．（2023·广东茂名·统考一模）已知为数列的前n项和，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，为数列的前n项和.求，并证明：.
【答案】(1)
(2)，证明见解析

【分析】（1）根据题设，利用的关系可推得，判断数列为等差数列，即可求得答案；
（2）由（1）求得的表达式，利用裂项求和求得，结合的的单调性，可证明结论.
【详解】（1）当时,，,则,
当时，，则,
两式相减得：
即
即
∵，∴,
∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴.
（2）由（1）得，，
，
∵，∴，∴
又∵，∴随着n的增大而减少，从而随着n的增大面增大，
∴，
综上所述，.
30．（2022·广东茂名·统考一模）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)，

【分析】（1）令，可求得，的值，再利用等比数列定义证明；
（2）由（1）知，代入可得，利用累加法可求解.
【详解】（1）∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.