2022-2023学年内蒙古赤峰二中高一下学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年内蒙古赤峰二中高一下学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的运算得出集合或与或，再根据集合的交集与并集运算判断选项AB，根据集合间的包含关系判断选项CD.【详解】由，解得或，即或；由，解得或，即或.则或，故选项A错误；或，故选项B错误；根据集合间的包含关系，可知，故选项C正确，选项D错误.故选：C.2．设均为单位向量，则“”是“”的（   ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，则，即，可得，所以，即充分性成立；反之：由，则，可得且，所以，即必要性成立，综上可得，是的充分必要条件.故选：C.3．在中,已知,,,则角的度数为（    ）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据正弦定理求得,进而求得角即可.【详解】由题知,,,在中,由正弦定理可得:,解得,因为,,所以或.故选:C4．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】解：因为 ，，，所以，故选：A5．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（    ）．A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】利用转化即可【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，所以，所以．故选：B6．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足，则的最小值是（    ）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据题意得，得，再根据基本不等式解决即可.【详解】由题知，奇函数是定义在上的单调函数，正实数，满足，所以，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，故选：A7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.【详解】因为，由正弦定理可得，则，，，，，为内角，，则，，,故选：D.8．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，利用二次函数的性质结合其最小值为，得到，再结合，得到，然后利用余弦定理即得.【详解】因为，当时，取最小值，则，所以，又为锐角，故，因为，所以，所以，得，所以．故选：D 二、多选题9．有关平面向量的说法，下列错误的是（    ）A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则 D．恒成立【答案】ABC【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.10．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（　　）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.【详解】A选项有无穷多解，显然错误；B中，因为，C为锐角，所以，所以该三角形有一解，B正确；C中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有一解，C正确；D中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有两解，D错误.故选：BC11．在△ABC中，，，F是AC的中点，则下列说法正确的是（    ）A．若，点D在线段BC的延长线上，则B．若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则C．若，则的值是D．若E是线段AB上一动点，则为定值【答案】ABD【分析】以为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可．【详解】选项A：直角三角形中，若，则，则，故A正确．选项B：令 ，则 所以 ；令 ，则 .所以 即 ，故B正确；选项C：若，则，，，所以，故C错误；选项D：设，，则因为，所以所以（定值），故D正确．故选：ABD．12．设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（    ）A．的取值范围是B．在上有且仅有2个零点C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增【答案】AC【分析】根据正弦函数的最值列出不等关系，求得，判断A；结合正弦函数的零点判断B；根据三角函数的平移变换结合奇偶性可求得的值，判断C；根据三角函数的伸缩变化，可得的表达式，结合正弦函数的单调性即可判断D.【详解】由题意若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则，结合正弦函数图像，如图：由于，故，解得，即，A正确；结合以上分析可知，令时, ，由此可知时，函数一定有2个零点，当时，相应的x可能是函数的零点，也可能不是，即在上可能有2个零点，也可能有3或4个零点，B错误；的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，即平移后图象对应的函数为偶函数，则，即，只有当时，，C正确；将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则，，则，由于，故，而，故在上不一定单调递增，D错误，故选：AC【点睛】关键点睛：本题综合考查正弦型函数的性质，涉及到最值、零点、奇偶性以及平移变换等，综合性强，解答时要能熟练应用正弦函数的相关知识，难点在于要注意采用整体处理的方法，即将角一个整体来处理，另外就是计算较复杂，要十分细心. 三、填空题13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且，则__.【答案】##【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解.【详解】由，得，即.所以.故答案为: .14．已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.【答案】【分析】已知条件可转化为，且与不共线，利用平面向量数量积的坐标公式以及共线公式列不等式，解出的取值范围．【详解】因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，，，即，且，解得且故答案为：15．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_______海里.【答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A，20分钟后轮船位置为B，灯塔位置为C，如图所示由题意得，，，， 由余弦定理得 ，即 ，解得．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故答案为：4．16．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．【答案】【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因为，所以，可得，因为，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理得.故答案为：. 四、解答题17．已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，求与的夹角的余弦值．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得的值；（2）根据平面向量垂直列方程，求出的值，再结合坐标运算求与的夹角的余弦值即可．【详解】（1）因为，，，所以，            即，所以或．（2）因为，所以，即所以，所以，即，                      所以,，则，所以.18．已知的内角的对边分别为，且(1)求角；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；（2）先利用正弦定理找到边的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.【详解】（1）已知，由正弦定理得，，显然，所以有，得，因为角为内角，所以.（2）由正弦定理可知，由（1）可知，因为，由余弦定理可得，，所以有，，解得，.19．已知函数.(1)求函数的最小正周期和值域；(2)若，且，求的值.【答案】(1)最小正周期为，值域为(2) 【分析】（1）首先根据题意得到，再求周期和值域即可.（2）首先根据题意得到，再根据求解即可.【详解】（1），最小正周期，因为，所以，所以的值域为.（2），所以.因为，所以，所以，所以20．已知向量，函数.(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.【答案】(1)；(2) 【分析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出，即可求出其最大值以及相应自变量的取值；(2)结合(1)中的，求出，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果.【详解】（1）由题知，，所以当，即时，最大，且最大值为；（2）由(1)知，，则，解得或，所以中，，又，则，整理得，则，当且仅当时，等号成立，整理可得，又在中，所以，即的取值范围为.21．如图所示，为增加学生劳动技术实践活动区域，学校计划将一矩形试验田扩建成一个更大的矩形试验田，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点．已米，米，设（单位：米），记矩形试验田的面积为．(1)要使不小于64平方米，求的取值范围；(2)若（单位：米），求的最大值及此时的长度．【答案】(1)(2)的最大值为（平方米），此时的长度为米 【分析】（1）根据三角形相似，矩形的长和宽用表示出，即可得矩形面积是关于的方程，列不等式求解，即可得的取值范围；（2）根据函数，利用分式性质变形转化为二次函数复合结构，结合二次函数与反比例函数的性质，即可求得的取值范围，从而得最大值及此时的长度．【详解】（1）由题意可知，则，故，要使S不小于64平方米，则，且，解得或，即x的取值范围为.（2）因为，令，由于，所以，则，所以即当时，取到最大值，则的最大值为（平方米），此时的长度为米.22．已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)若，求的取值范围；(3)若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由正弦定理、三角形中的恒等关系及两角和的正弦公式，可得，根据三角形中角度的范围，即可求解出B；（2）若，可得，进而分析出，表示出，令，进而得到，分析函数单调性即可求出取值范围；（3）设，分别表示出，，，代入 ，令结合均值不等式即可求出答案.【详解】（1）解：已知，由正弦定理，得，又，所以，即，可得或，因为，，所以，则，即.（2）由（1）可知为直角三角形，若，则，所以，即，则，在中，，，，所以，令，又因为，所以，所以，令，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.（3）的外接圆的半径，设，则，，所以，而，，令，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用. 考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.