2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测（六十四） 圆锥曲线中的定点、定值问题

课时跟踪检测（六十四） 圆锥曲线中的定点、定值问题

1．(2023·石嘴山模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(x0,4)在抛物线上，且|MF|＝x0.0

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若A，B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求证：直线AB过定点．

解：(1)由题意得，|MF|＝x0＋＝x0，解得x0＝2p.

因为点M(x0,4)在抛物线C上，所以42＝2px0＝4p2，解得p2＝4.

又p>0，所以p＝2，即拋物线C的标准方程为y2＝4x.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.

因为点A，B在抛物线C上，所以y＝4x1，y＝4x2，代入得＋y1y2＝0.

因为y1y2≠0，所以y1y2＝－16.

设直线AB的方程为x＝my＋n，联立得y2－4my－4n＝0，

则y1y2＝－4n，所以n＝4，

所以直线AB的方程为x＝my＋4，过定点(4,0)．

2.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右顶点，BC过中心O，且|BC|＝2|AB|，S△ABC＝3.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，C)，且满足∠PBC＝∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．

解：(1)∵|BC|＝2|AB|，∴S△OAB＝S△ABC＝，又△AOB是等腰三角形，∴B，把B点代入椭圆方程＋＝1，求得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.

(2)由题易得直线BP，BQ的斜率均存在，又∠PBC＝∠QBA，∴kBP＝－kBQ.证明：设直线BP：y－＝k(x－1)，代入椭圆方程＋＝1，化简得x2－8kx＋4k2－12k－3＝0，其一解为1，另一解为xP＝，则yP＝＋.将－k代入得xQ＝，yQ＝＋，∴kPQ＝＝为定值．

3．(2023·邢台高三开学考试)已知A1，A2为椭圆C：x2＋＝1的左、右顶点，直线x＝x0与C交于A，B两点，直线A1A和直线A2B交于点P.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)直线l与点P的轨迹交于M，N两点，直线NA1的斜率与直线MA2斜率之比为－.

求证：以MN为直径的圆一定过C的左顶点．

解：(1)由题意得A1(－1,0)，A2(1,0)，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)(y0≠0)，P(x，y)，则kPA1＝kAA1，kPA2＝kBA2，

即＝，＝，两式相乘得＝，又∵点(x0，y0)在C上，即x－1＝－，得＝3，∴x2－＝1(y≠0)．

(2)证明：∵kNA1＝－kMA2，设直线NA1的方程为x＝－3my－1(m≠0)，则MA2的方程为x＝my＋1，

联立得(27m2－1)y2＋18my＝0 (27m2－1≠0且Δ>0)，设N(xN，yN)，得xN＝－1，yN＝，

同理设M(xM，yM)，得xM＝＋1，

yM＝，

kMA1＝＝＝3m，

kNA1＝＝＝－，

∴kMA1·kNA1＝－1，即MA1⊥NA1，

∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点．

4．(2023·湖北高三开学考试)已知双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线，且过点A(2，－1)．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知D(2, 0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且·＝0，DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

解：(1)因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，所以设双曲线C的标准方程为x2－4y2＝λ，

代入点A坐标，解得λ＝4，所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.

(2)证明：①当直线EF斜率存在时，设EF：y＝kx＋m，E(x1, y1)，F(x2, y2)，联立y＝kx＋m与双曲线－y2＝1，化简得(4k2－1)x2＋8kmx＋4(m2＋1)＝0，Δ＝(8km)2－4(4m2＋4)(4k2－1)>0，即4k2－m2－1<0，则有

又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

因为·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，所以(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，

所以(k2＋1)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，化简得3m2＋16km＋20k2＝0，即(3m＋10k)(m＋2k)＝0，所以m＝－2k，m＝－k，且均满足4k2－m2－1<0，

当m＝－2k时，直线EF的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2, 0)，与已知矛盾，

当m＝－k时，直线EF的方程为y＝k，过定点M.

②当直线EF斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y＝x－2，

与双曲线C方程联立解得xE＝xF＝，此时EF也过点M，

综上，直线EF过定点M.

由于DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径，所以存在定点H，使|GH|为定值.

5．(2022·青岛二模)已知点P(1, 1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，△PF1F2的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：x2＋y2＝r2(0<r<1)相切，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.证明：

①k1k2＝1；

②直线AB过定点．

解：(1)由题意知，＋＝1，△PF1F2的面积等于|F1F2|＝c＝，

所以a2－b2＝c2＝，解得a2＝3，b2＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)证明：①设直线PA的方程为y＝k1x－k1＋1，直线PB的方程为y＝k2x－k2＋1，由题知＝r，

所以(1－k1)2＝r2(1＋k)，所以(1－r2)k－2k1＋1－r2＝0，

同理，(1－r2)k－2k2＋1－r2＝0，

所以k1，k2是方程(1－r2)k2－2k＋1－r2＝0的两根，所以k1k2＝1.

②设A(x1, y1)，B(x2, y2)，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

将y＝kx＋m代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－3＝0，

所以x1＋x2＝－，　x1x2＝，

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，

又因为k1k2＝×＝＝＝1，

化简得3k2＋4km＋m2＋2m－3＝0，

所以3k2＋4km＋(m＋3)(m－1)＝0，所以(m＋3k＋3)(m＋k－1)＝0，

若m＋k－1＝0，则直线AB：y＝kx＋1－k＝k(x－1)＋1，此时AB过点P，舍去．

若m＋3k＋3＝0，则直线AB：y＝kx－3－3k＝k(x－3)－3，此时AB恒过点(3, －3)，

所以直线AB过定点(3，－3)．