2023年四川省达州市中考一模数学试卷(含答案)

这是一份2023年四川省达州市中考一模数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省达州市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）﹣的倒数的绝对值是（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．（4分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（　　）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．2x2﹣x2＝1 C．x2•x3＝x6 D．x6÷x3＝x3
5．（4分）如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（4分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．1或﹣4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或4
7．（4分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨）
4
5
6
9
户数
3
4
2
1
则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（　　）
A．中位数是5吨 B．众数是5吨
C．极差是3吨 D．平均数是5.3吨
8．（4分）抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（　　）
A．b＝2，c＝﹣6 B．b＝2，c＝0 C．b＝﹣6，c＝8 D．b＝﹣6，c＝2
9．（4分）如图，已知点A1、A2、…A2024在函数y＝2x2位于第二象限的图象上，点B1、B2、…、B2024在函数y＝2x2位于第一象限的图象上，点C1、C2、…C2024在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2、…C2023A2024B2024B2024都是正方形，则正方形C2023A2024C2024B2024的边长为（　　）
A．1012 B． C． D．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；
其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）
11．（4分）已知a2+3a＝1，则代数式2a2+6a﹣1的值为　 　．
12．（4分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有　 　个绿色小球．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则△ACE的周长为　 　．

14．（4分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为　 　．

15．（4分）如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是　 　．（把所有正确的结论的序号都填上）

三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）（1）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
17．（7分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有　 　人；表中m＝　 　，n＝　 　；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．

18．（7分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．

19．（10分）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点△ABC，
（1）求出△ABC的边长，并判断△ABC是否为直角三角形；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的图形△A2B2C2；
（4）△A1B1C1可能由△A2B2C2怎样变换得到？　 　（写出你认为正确的一种即可）．

20．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，且AB∥DE，
（1）试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝AD＝DC，EC＝BE，
①求∠B的度数；
②当DC＝4cm时，求四边形ABED的面积．（结果精确到0.01cm2）

21．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

22．（10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG2＝AB•AF．

23．（8分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
24．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

25．（12分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　 　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　 　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．


2023年四川省达州市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）﹣的倒数的绝对值是（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
【解答】解：∵的倒数是﹣2023，
∴﹣的倒数的绝对值是|﹣2023|＝2023．
故选：A．
2．（4分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；
D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选：C．
3．（4分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（　　）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
【解答】解：将0.000000076用科学记数法表示为7.6×10﹣8，
故选：B．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．2x2﹣x2＝1 C．x2•x3＝x6 D．x6÷x3＝x3
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；
B、2x2﹣x2＝x2，原式计算错误，故本选项正确；
C、x2•x3＝x5，原式计算错误，故本选项错误；
D、x6÷x3＝x3，原式计算正确，故本选项正确；
故选：D．
5．（4分）如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a＝4，b＝6，
则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，
故6＜中点三角形周长＜10．
故选：B．
6．（4分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．1或﹣4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或4
【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，
∴（﹣2）2+a×（﹣2）﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，
整理，得（a+4）（a﹣1）＝0，
解得 a1＝﹣4，a2＝1．
即a的值是1或﹣4．
故选：A．
7．（4分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨）
4
5
6
9
户数
3
4
2
1
则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（　　）
A．中位数是5吨 B．众数是5吨
C．极差是3吨 D．平均数是5.3吨
【解答】解：∵这10个数据是：4，4，4，5，5，5，5，6，6，9；
∴中位数是：（5+5）÷2＝5吨，故A正确；
∴众数是：5吨，故B正确；
∴极差是：9﹣4＝5吨，故C错误；
∴平均数是：（3×4+4×5+2×6+9）÷10＝5.3吨，故D正确．
故选：C．
8．（4分）抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（　　）
A．b＝2，c＝﹣6 B．b＝2，c＝0 C．b＝﹣6，c＝8 D．b＝﹣6，c＝2
【解答】解：函数y＝（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），
∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2＝﹣1，﹣4+3＝﹣1，
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移前的抛物线为y＝（x+1）2﹣1，
即y＝x2+2x，
∴b＝2，c＝0．
故选：B．
9．（4分）如图，已知点A1、A2、…A2024在函数y＝2x2位于第二象限的图象上，点B1、B2、…、B2024在函数y＝2x2位于第一象限的图象上，点C1、C2、…C2024在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2、…C2023A2024B2024B2024都是正方形，则正方形C2023A2024C2024B2024的边长为（　　）
A．1012 B． C． D．
【解答】解：∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y＝x，
联立方程组得：，
解得 ，．
∴B点的坐标是：（，），
∴OB1＝＝＝1×；
同理可得：正方形C1A2C2B2的边长C1B2＝2×；
…
依此类推，正方形C2023A2024C2024B2024的边长是为2024×＝1012．
故选：B．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；
其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：由二次函数的图象开口向下可得a＜0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，
把x＝1代入y＝ax2+bx+c，得：y＝a+b+c，由函数图象可以看出x＝1时二次函数的值为正，∵对称轴为x＝1，a，b异号，∴b＞0，
∴abc＜0；故①abc＞0，此选项错误；
②∵当x＝﹣1时，ax2+bx+c＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣（a﹣b+c）＞0，
∴b﹣a＞c；故此选项正确；
③当x＝2时，ax2+bx+c＞0，
∴4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正确．
②③④⑤正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）
11．（4分）已知a2+3a＝1，则代数式2a2+6a﹣1的值为　1　．
【解答】解：∵a2+3a＝1，
∴原式＝2（a2+3a）﹣1＝2﹣1＝1，
故答案为：1
12．（4分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有　20　个绿色小球．
【解答】解：设袋子里有x个绿色小球，
根据题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
故答案为：20．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则△ACE的周长为　　．

【解答】解：过A点作AF⊥BC，垂足为F，

∵∠B＝∠C＝30°，
∴AB＝AC＝2AF，
∵BC＝，
∴BF＝CF＝，
∵AC2＝AF2+CF2，
∴AC2＝（AC）2+（）2，
解得AC＝2，
∴AF＝1，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长为AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝．
故答案为．
14．（4分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为　　．

【解答】解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故答案为：．

15．（4分）如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是　①②③　．（把所有正确的结论的序号都填上）

【解答】解：连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如图，
∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，
∴∠AOD＝∠COF＝30°，
∴∠ACD＝∠AOD＝15°，∠FDC＝∠COF＝15°，
∴∠DQN＝∠QCD+∠QDC＝15°+15°＝30°，所以①正确；
同理可得∠AMN＝30°，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，
∴弧DE＝弧DF，
∴弧AE+弧AD＝弧DC+弧CF，
而弧AD＝弧CF，
∴弧AE＝弧DC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴ND＝NA，
在△DNQ和△ANM中
，
∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正确；
∵∠ACD＝15°，∠FDC＝15°，
∴QD＝QC，
而ND＝NA，
∴ND+QD+NQ＝NA+QC+NQ＝AC，
即△DNQ的周长等于AC的长，所以③正确；
∵△DEF为等边三角形，
∴∠NDQ＝60°，
而∠DQN＝30°，
∴∠DNQ＝90°，
∴QD＞NQ，
∵QD＝QC，
∴QC＞NQ，所以④错误．
故答案为①②③．

三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）（1）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
（2）已知方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
【解答】解：（1）（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1
＝1+﹣2×+4
＝1+﹣+4
＝5；
（2）当m2＝0，即m＝0时，方程变为x+1＝0，有实数根；
当m2≠0，即m≠0时，原方程要有实数根，则Δ≥0，即Δ＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1≥0，解得m≥﹣，
则m的范围是m≥﹣且m≠0．
综上所述，m的取值范围为m≥﹣．
17．（7分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有　50　人；表中m＝　10　，n＝　15　；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．

【解答】解：（1）∵第一组有4人，所占百分比为8%，
∴学生总数为：4÷8%＝50；
∴n＝50×30%＝15，
m＝50﹣4﹣15﹣21＝10．
故答案为50，10，15；

（2）＝＝74.4；

（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中A和B的结果有2种，其概率为＝＝．
18．（7分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．

【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，
∴BE：EA＝12：5，
设BE＝12x，则EA＝5x，
由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，
解得，x＝2，
则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，
答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；
（2）作FH⊥AD于H，
则tan∠FAH＝，
∴AH＝≈18，
∴BF＝18﹣10＝8，
答：BF至少是8米．

19．（10分）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点△ABC，
（1）求出△ABC的边长，并判断△ABC是否为直角三角形；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的图形△A2B2C2；
（4）△A1B1C1可能由△A2B2C2怎样变换得到？　先将△A2B2C2绕A2点按顺时针方向旋转90°，再将所得图形向右平移6个单位即得到△A1B1C1　（写出你认为正确的一种即可）．

【解答】解：（1）AB＝，AC＝，BC＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）、（3）所画图形如下所示：

（4）先将△A2B2C2绕A2点按顺时针方向旋转90°，再将所得图形向右平移6个单位即得到△A1B1C1（变换可以不同，只要正确即可）．
故答案为：先将△A2B2C2绕A2点按顺时针方向旋转90°，再将所得图形向右平移6个单位即得到△A1B1C1．
20．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，且AB∥DE，
（1）试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝AD＝DC，EC＝BE，
①求∠B的度数；
②当DC＝4cm时，求四边形ABED的面积．（结果精确到0.01cm2）

【解答】解：（1）∵AD∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形；

（2）①∵四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，AB＝DE，
∵AB＝AD＝DC，EC＝BE
∴DE＝CD＝EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠B＝∠C＝60°，
②∵DC＝4cm
∴BE＝EC＝DC＝4cm，
作DF⊥BC于点F，则，
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得：，
∴四边形ABED的面积＝．

21．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；

（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
对称轴x＝20，在对称轴的左侧W随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．

（3）由150＝﹣2x2+80x﹣600，
解得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
22．（10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG2＝AB•AF．

【解答】（1）解：直线PA与⊙O的位置关系：直线PA与⊙O相切，理由：
连接CD，OC，如图，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠DAC＝90°．
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠D＝∠PAC．
∴∠PAC+∠DAC＝90°，
∴∠DAP＝90°，
∴OA⊥PA，
∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切；
（2）证明：连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴，
∴∠ABG＝∠AGC，
∵∠GAF＝∠BAG，
∴△AFG∽△AGB，
∴，
∴AG2＝AB•AF．

23．（8分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【解答】解：（1）当m＝0时，该函数的零点为和；

（2）令y＝0，得△＝（﹣2m）2﹣4[﹣2（m+3）]＝4（m+1）2+20＞0
∴无论m取何值，方程x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有x1+x2＝2m，x1x2＝﹣2（m+3）
由，
解得m＝1．
∴函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8．
令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4
∴A（﹣2，0），B（4，0）
作点B关于直线y＝x﹣10的对称点B′，连接AB′，
则AB′与直线y＝x﹣10的交点就是满足条件的M点．
易求得直线y＝x﹣10与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，﹣10）．
连接CB′，则∠BCD＝45°
∴BC＝CB’＝6，∠B′CD＝∠BCD＝45°
∴∠BCB′＝90°
即B′（10，﹣6）
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，则，
解得：k＝﹣，b＝﹣1；
∴直线AB′的解析式为，
即AM的解析式为．

24．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），
∴b＝0，c＝﹣2；
∵y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0＝a+0﹣2，a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣2．
当y＝0时，2x2﹣2＝0，
解得x＝±1，
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）．
∵∠PDB＝∠BOC＝90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则＝，
即＝，
解得n＝．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，），
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，）
②若△OCB∽△DPB，则＝，
即＝，
解得n＝2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴点P的坐标为（m，2m﹣2）
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m﹣2）．

（3）
方法一：
假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD＝90°，∠QPE+∠BPD＝90°，
∴∠DBP＝∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD＝PE，DP＝EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m﹣1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．

方法二：
若在第一象限内存在点Q，
①∵B（1，0），P（m，），
点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，
将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m，），
将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（，m﹣1），
将点P′平移回P（m，），则点Q′平移后即为点Q，
∴Q（，），
将点Q代入抛物线得：m2﹣m＝0，
∴m1＝1，m2＝0，
∴Q1（1，0），Q2（0，﹣）（均不合题意舍去），
②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），
同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），
将点Q代入抛物线得：3m﹣3＝2（2﹣m）2﹣2，
∴2m2﹣11m+9＝0，
∴m1＝1，m2＝，
∴Q1（1，0），Q2（﹣，）（均不合题意舍去）
综上所述，不存在满足条件的点Q．

25．（12分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　4　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）①如图2中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC，
故答案为．

②如图3中，

∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝BC＝4，
故答案为4．

（2）结论：AD＝BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M

∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC＝AM，
∴AD＝BC．

（3）存在．
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．
连接DF交PC于O．

∵∠ADC＝150°，
∴∠MDC＝30°，
在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，
∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，
∴EM＝BM＝7，
∴DE＝EM﹣DM＝3，
∵AD＝6，
∴AE＝DE，∵BE⊥AD，
∴PA＝PD，PB＝PC，
在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，
∴tan∠CDF＝，
∴∠CDF＝60°
∴∠ADF＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝∠CFD，
∵∠CBE＝∠PCF，
∴∠CFD＝∠PCF，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，
∴∠CPF＝∠CDF＝60°，
易证△FCP≌△CFD，
∴CD＝PF，∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠APD＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，
∴∠BPC＝120°，
∴∠APD+∠BPC＝180°，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝，
∴PN＝＝＝．
（也可利用旋补中线长＝AB，求出AB即可）