安徽省庐江巢湖七校2022-2023学年高一下学期第一次集中练习数学试卷（含答案）

安徽省庐江巢湖七校2022-2023学年高一下学期第一次集中练习数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知向量，，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2、已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为(   )

A. B. C. D.

3、在等腰三角形ABC中，，，若P为边BC上的动点，则(   )

A.2 B.4 C.8 D.0

4、如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则(   )

A. B. C. D.

5、已知在中，，则等于(   )

A. B. C. D.

6、已知向量，，，则取最小值时，实数的值为(   )

A. B. C. D.

7、已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的(   )

(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)

A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心

8、已知非零向量与满足且，则为(   )

A.等边三角形  B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形

二、多项选择题

9、设两个非零向量与不共线，如果和共线，那么k的可能取值是(   )

A.1 B.-1 C.3 D.-3

10、如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是(   )

A.

B.A、D之间的距离为海里

C.A、B两处岛屿间的距离为海里

D.B、D之间的距离为海里

11、我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图.赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为，则下列说法正确的是(   )

A.  B.

C. D.

12、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的是(   )

A.若，则一定是钝角三角形

B.若，则一定是直角三角形

C.若，则一定是锐角三角形

D.若，则一定是锐角三角形

三、填空题

13、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的外接圆的半径为___________.

14、，是夹角为的两个单位向量，，，则与的夹角为_____________.

15、如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC中点，若，则__________.

16、在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，则P，Q，R三点共线的充要条件是：存在实数t，使.试利用该定理解答下列问题：如图，在中，E为边AB的中点，点F在边AC上，且，交CE于点M，设，则_________.

四、解答题

17、已知，.

(1)求；

(2)设与的夹角为，求的值；

(3)若向量与互相垂直，求k的值.

18、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.

(1)求角A的大小.

(2)若，求的周长l.

19、已知，，且向量与不共线.

(1)若与的夹角为，求的值；

(2)若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.

20、海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东方向，求：

（1）A处与D处的距离；

（2）灯塔C与D处的距离.

21、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S.现在有下列三个条件：

①；

②；

③.

请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解.

已知向量，，函数，在中，，且________，求的取值范围.

22、已知向量和，，且.

(1)若与的夹角为，求k的值；

(2)记，是否存在实数x，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数x的取值范围；若不存在，试说明理由.

参考答案

1、答案：B

解析：，推不出，

“”是“”的必要不充分条件，故选：B.

2、答案：D

解析：解：已知，，与的夹角为，

因为在上的投影为，

所以在上的投影向量为.故选D.

3、答案：C

解析：解：设AD是等腰三角形ABC的高，则，

故.故答案选：C.

4、答案：A

解析：解：依题意在平行四边形ABCD中，，

又M是AB的中点，DM与AC交于点N，所以，所以，所以，所以.故本题选A.

5、答案：A

解析：解：由正弦定理知，，可化为，可设，，，，

由余弦定理得，，故选A.

6、答案：B

解析：解：由题可知，

，

当取最小值时，.

7、答案：C

解析：解：因为，所以O到定点A，B，C的距离相等，所以O为的外心：由，则，取AB的中点E，如图所示：

则，所以，

所以N是的重心；

由，得，即，

所以，同理，所以点P为的垂心，故选C.

8、答案：A

解析：解：因为非零向量与满足，

所以的平分线与BC垂直，则为等腰三角形，且，

，且，

，，所以为等边三角形.故选A.

9、答案：AB

解析：解：两个非零向量与不共线，，

与共线，，则，

非零向量、不共线，且，解得.故选AB.

10、答案：BC

解析：由题意可知：，，，

，，所以，

在中，由正弦定理可得：，解得(海里)，

在中，因为，，

所以(海里)，

在中，由余弦定理得：

海里).故选BC.

11、答案：ACD

解析：解：可设中，，则，，，

则，即，故A正确；

，故C正确；

，可得，

则

，故D正确；

，

，

则，

故，故B错误.故选ACD.

12、答案：ABD

解析：解：对于A，因为，所以由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，因为，所以C为钝角，所以一定是钝角三角形，所以A正确；

对于B，因为，所以由余弦定理得，所以，所以，

所以一定是直角三角形，所以B正确；

对于C，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，

因为，所以，

所以一定是直角三角形，所以C错误：

对于D，因为，

所以，

因为，所以，因为中不可能有两个钝角，所以，，，所以A，B，C都为锐角，所以一定是锐角三角形，所以D正确.故选：ABD.

13、答案：

解析：解：在中，，由正弦定理得，则，即，故，，，，，，，，

设外接圆的半径为R，由正弦定理得，.故答案为.

14、答案：

解析：由，是夹角为的两个单位向量，可得，

又，

，

，

则与的夹角余弦为：.可得.故答案为：.

15、答案：-3

解析：解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，

，，E为BC中点，

，，，

设，，，

，，解得，，

E为BC中点，，即为，

，，

.故答案为：-3.

16、答案：

解析：解：如图，E，M，C三点共线，

存在实数，使，

，，

，又；

，①；

同样，B，M，F三点共线，所以存在实数，使，

E为AB边的中点，，

，又；

，②；

联立①②可得：，，.故答案为.

17、答案：(1)

(2)

(3)

解析：(1)；

故.

(2)；

(3)因为向量与互相垂直，

所以，即，

因为，，

所以.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为，，

由正弦定理，得，，

由余弦定理，得，

所以，所以，

，又，；

(2)由正弦定理可知，

，，

周长，

，，，，

.

19、答案：(1)

(2)实数k的取值范围是

解析：(1)与的夹角为，

，

；

(2)向量与的夹角为钝角，

，且不能反向共线，故，

，解得.

实数k的取值范围是.

20、

（1）答案：A处与D处之间的距离为24nmile

解析：在中，

由已知得，，则，

由正弦定理得.

所以A处与D处之间的距离为24nmile；

（2）答案：灯塔C与D处之间的距离为nmile

解析：在中，

由余弦定理得，

解得.

灯塔C与D处之间的距离为nmile.

21、答案：的取值范围为

解析：

，

，

①若，

则由正弦定理可得：，

即，

因为C为三角形内角，，可得，

因为，可得.

②若，

由正弦定理可得：，

由余弦定理可得，

因为，可得.

③若，

则，

所以，可得，

因为，可得.

由正弦定理可得，

所以，，

因为，所以，

所以，

因为，所以，，

所以，

即的取值范围为.

22、答案：(1)

(2)不存在实数x使之成立，理由见解析

解析：(1)，与的夹角为，

则，

由，

两边平方可得，

，，

即有，

解得；

(2)由(1)得，，

即，

即可得，

，

，

因为对于任意恒成立，，

所以，

即对于任意恒成立，

构造函数，

从而，

由此可知不存在实数x使之成立.