湖南省百所学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

湖南省百所学校2021-2022学年高一下学期期中考试

数学试卷

注意事项:

1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

4. 本试卷主要考试内容: 人教 A 版必修第一册 (20%), 必修第二册第六章至第八章(80%)。

一、选择题: 本题共 小题, 每小题 分, 共 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符题目要求的.

1. 设集合 , 则

A.              B.             

C.              D.

2. 若 , 则

                          C.              D.

3. 已知复数 , 则 “ ” 是 “ ” 的

A. 充分不必要条件             B. 充要条件            

C. 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件

4. 一个实心小铜球的半径为 , 密度为 , 则该铜球的质量约

                       D.

5. 函数 的部分图象大致为

6. 已知向量 的夹角为 , 且 , 则 与 的夹角为

A.              B.              C.              D.

7. 设 , 则

A.              B.             

C.              D.

8. 现只有一把长为 的尺子, 为了求得某小区草坪坛边缘 两点的距离 大于, 在草坪坛边缘找到点 与 , 已知 , 且. , 测得 , 则

A.              B.              C.              D.

二、选择题: 本题共 小题,每小题 分, 共 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 分, 部分选对的得 分, 有选错的得 分.

9. 关于棱柱和棱雉有下面四个结论, 其中正确的有

A. 四面体是四棱柱            

B. 五棱柱有十五条棱            

C. 七棱柱与八棱雉都有九个面            

D. 对于任意一个三棱锥, 其每个顶点都可以在同一个球的球面上

10. 为了得到函数 的图象, 只需把余弦曲线

A. 所有点的横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变, 再将其向右平移 个单位长度             B. 向左平移 个单位长度, 再将所有点的横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变             C. 所有点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 再将其向右平移 个单位长度             D. 向右平移 个单位长度, 再将所有点的横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变

11. 若复数 在复平面内对应的点位于第一象限, 则

A. 可能为实数               B. 在复平面内对应的点可能位于第一象限             C. 可能为纯虚数             D. 在复平面内对应的点可能位于第二象限

12. 在 中, , 则

A.              B.             

C.               D. 的面积为

三、填空题: 本题共 小题, 每小题 分, 共 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知复数 , 则 的虚部为      ▲      , 的共轭复数为      ▲      ,. (本题第一空 分, 第二空 分)

14. 已知向量 , 且 , 则    ▲    .      

15. 在钝角 中, 内角 的对边分别为 , 且 , 则 的一个值可以为   ▲    .

16. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图 所示, 该窗有两个正方形, 将这两个正方形 (它们有共同的对称中心与对称轴) 单独拿出来放置于同一平面, 如图 所示. 已知 分米, 分米, 点 在正方形 的四条边上运动, 当 取得最大值时, 与 夹角的余弦值为   ▲    .

四、解答题: 本题共 小题,共 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分)

在 中, 内角 的对边分别为 .

(1) 若 , 求 ;

(2) 若 , 求 的周长.

18. (12 分)

已知向量 满足 , 且 .

(1) 求 ;

(2) 记向量 与向量 的夹角为 , 求 .

19. (12 分)

在四棱台 中, 底面 是正方形, 且侧棱 垂直于底面 ,

分别是 与 的中点.

(1) 证明: 平面 .

(2) 求三棱锥 的侧面积.

20. (12 分)

如图, 在平行四边形 中, 为 的中点, 与 交于点 .

(1)用 表示 .

(2) 若 , 四边形 的面积为 , 试问 是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由。

21. (12 分)

在某片海域上,一艘海上护卫舰位于点 处, 一艘货轮在点 东偏北 方向的点 处行驶着, 通过雷达监测, 发现在点 北偏东 方向且距离点 海里处的点 处出现一艘海盗船, 此时海盗船与货轮相距 海里, 且护卫舰距离货轮比距离海盗船更近.

(1)求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离;

(2)护卫舰为确保货轮的安全, 护卫舰开始以 海里/小时的速度追击海盗船, 与此同时,海盗船开始以 海里/小时的速度沿着北偏西 方向逃窜, 求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向.

22. (12 分)

如图, 在四棱锥 中, 是 的中点, 是等边三角形, 底面 为菱形,.

(1)若 , 证明: 平面 平面 .

(2)若异面直线 与 所成的角为 , 求四棱锥 的体积.