计数原理与概率统计-浙江省嘉兴市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

计数原理与概率统计-浙江省嘉兴市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题

1．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知正九边形，从中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·浙江嘉兴·统考二模）的展开式中的系数为（    ）

A．-60 B．240 C．-360 D．720

3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数的各个数位上的数字之和为8，则我们称是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（    ）

A．34个 B．35个 C．36个 D．37个

4．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球.现从中任取2个球，记取到的红球的个数为，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知一组样本数据，现有一组新的数据，，则与原样本数据相比，新的样本数据（    ）

A．平均数不变 B．中位数不变

C．极差变小 D．方差变小

三、填空题

6．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）的展开式中含项的系数为______.

7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.

8．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有______种不同的排队方法.（用数字作答）

9．（2021·浙江嘉兴·统考二模）设，则______， ______．

10．（2021·浙江嘉兴·统考二模）为满足北京环球度假区游客绿色出行需求，国网北京电力在该度假区停车楼建成了目前国内规模最大的集中式智慧有序充电站，充电站共建设901个充电桩，其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有、、、、、六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电，若要求、两车不能同时在上午充电，而车只能在下午充电，且车不能在甲充电桩充电，则不同的充电方案一共有______种．（用数字作答）

四、双空题

11．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为，每人各投1次，记为三人投中的总次数，则_________；________．

12．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知多项式，则_______，________．

13．（2022·浙江嘉兴·统考二模）已知多项式，则___________，___________.

14．（2022·浙江嘉兴·统考二模）袋中有大小相同､质地均匀的1个红球､1个绿球和n个黄球.现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，若，则___________，___________.

15．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知多项式，则 ______，______.

16．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，若每一次投掷时出现“1点”或“2点”正面朝上，则称该次实验成功，3次投掷中成功次数记为，则___________；记第次正面朝上的点数为，发生“”的事件为A，则___________.

17．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）中国北宋数学家贾宪早于西方600多年发现了贾宪三角(如图所示)，二项式展开式中的系数恰好对应于贾宪三角的第八行，则该展开式中的系数为___________，所有项的系数和为___________.

18．（2021·浙江嘉兴·统考二模）已知袋中装有大小相同的（）个红球和2个白球． 从中任取2个球，记取出的白球个数为，若，则______，______．

19．（2021·浙江嘉兴·统考二模）在的展开式中，所有项的系数和为______，常数项为______．

五、解答题

20．（2023·浙江嘉兴·统考二模）为了解市某疾病的发病情况与年龄的关系，从市疾控中心得到以下数据：

(1)若将每个区间的中点数据记为，对应的发病率记为，根据这些数据可以建立发病率（‰）关于年龄（岁）的经验回归方程，求；

附：

(2)医学研究表明，化验结果有可能出现差错.现有市某位居民，年龄在表示事件“该居民化验结果呈阳性”，表示事件“该居民患有某疾病”.已知，，求（结果精确到0.001）.

21．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：

(1)从400个糟蛋中任取一个，记事件表示取到的糟蛋是优等品，事件表示取到的糟蛋来自于工厂甲.求；

(2)依据小概率值的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生产的糟蛋质量有差异？

附：参考公式：，其中.

独立性检验临界值表：

参考答案：

1．A

【分析】根据数量积的定义，列出基本事件求概率即可.

【详解】

可以和向量构成数量积有 一共8个向量，

其中数量积为的正数的向量有： 一共4个，

由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为：.

故选：A

2．D

【分析】将看成6个因式，分3步分析的取法，由分步计数原理以及多项式乘法分析即可得答案.

【详解】展开式中的项可以看成6个因式中，

其中3个取，剩下的3个因式中2个取，最后一个取，

即得到.

所以展开式中项的系数为.

故选：D.

3．C

【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.

【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，

其中三个数不同且都不为0可排出个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出个“叔同数”， 008只能排出一个“叔同数”，

所以它们排出的“叔同数”的个数共有，

故选：C

4．D

【分析】根据题意，直接写出分布列，套公式求出数学期望.

【详解】的所有可能取值：0,1,2.

;;

.

所以.

故选：D

5．ACD

【分析】由平均数、中位数、极差及方差的概念计算即可.

【详解】对于A项，新数据的总数为：，与原数据总数一样，且数据数量不变都是，故平均数不变，A正确；

对于B项，不妨设原数据为：，则新数据为：，显然中位数变了，故B错误；

对于C项，原数据极差为：，新数据极差为：，，极差变小了，故C正确；

对于D项，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，故方差变小，即D项正确.

故选：ACD.

6．

【分析】分项求解，当第一个因式取时，第二个因式取含的项；第一个因式取时，第二个因式取含的项，进而得解.

【详解】的展开式通项，

令，得；令，得，

故的展开式中含项的系数为.

故答案为：.

7．350

【分析】根据频率分布直方图及平均值计算出，再根据由频率分步直方图求百分位数的方法求解.

【详解】由题意可得，解得，

由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.

故答案为：350

8．240

【分析】丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，由此可得结论．

【详解】丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，方法数为．

故答案为：240．

9．     64     15

【分析】根据式子的特点，选用特殊值代入法，令 ，可得.

以及可得.

【详解】由，

令 ，可得.

又，

所以 .

故答案为：64；15.

【点睛】熟悉这类题目的特点，选用合适的特殊值达到解题目的.

10．168

【分析】先确定一个切入口，先排车，分车在上午充电和车在下午充电两种方案，进行讨论再结合排列组合，即可得解.

【详解】先排车，

第一种方案，车在上午充电，有种可能，

此时再排，车在下午充电，有种可能，

再排、，又分、同在下午和一个上午一个下午两种情况，

有可能，

第二种方案，车在下午充电，有种可能，

此时再排，车在下午充电，有种可能，

再排、，只能一个上午一个下午，

有可能，

最后再排剩下的两辆车，有种可能，

最后共有.

故答案为：168.

【点睛】本题考查了排列组合，考查了特殊位置法求方案数，同时考查了分类讨论思想和逻辑思维能力，属于中档题.本题的关键有：

（1）确定讨论点，找到正确的切入口是解决问题的关键；

（2）精确做到分类计数和分步计数，不重不漏是关键.

11．     /     /

【分析】结合独立事件的概率乘法公式以及概率的加法公式即可求出对应的概率，进而根据期望的公式即可求出结果.

【详解】，

，

，

故，

故答案为：

12．         

【分析】第一空：利用赋值处理，令代入计算；第二空：的项系数为，的项系数差，借助二项展开式通项计算处理．

【详解】令，即

的项系数为，的项系数差，

即，

故答案为：；．

13．     ±1     -47

【分析】根据多项式的展开式，由常数项为0求a，再利用通项公式分别求得即可.

【详解】解：因为多项式，

所以，

即，解得，

又，，

所以，

故答案为： ±1，-47

14．          /1.5

【分析】由题意，随机变量时，有两种情况：第一次取到红球和第一次取到绿球，第二次取到红球，得到，求得，进而得到允许取的值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】由题意，此过程中取到黄球的个数为，

可得表示取到红球后（停止取球），还没有取到黄球，有以下两种情况：

第一次取到红球，概率为；

第一次取到绿球，第二次取到红球，概率为，

所以，解得，

所以随机变量允许取的值为，

可得，，

，

，

所以随机变量的分布列为：

所以期望为.

故答案为：； .

15．         

【分析】设，利用赋值法可得出，求得，利用赋值法可得出的值.

【详解】设，则，

因为，

所以，，

因此，.

故答案为：；.

16．         

【分析】由题设易知3次投掷中成功次数服从，根据二项分布的期望公式即可求，发生“”的事件下，讨论为1到6时对应、的值的可能情况数加总，除以任意3次投掷的可能情况总数，即为所求事件A的概率.

【详解】由题意知：3次投掷中成功次数，且每次成功的概率为，

∴服从分布，则.

当时，；共有.

当时，，则可能有；，则可能有；共有.

当时，，则可能有；，则可能有；，则可能有；共有.

…

由上可知：当时，共有.

∴发生“”的事件为A的可能情况共有种，而所有可能情况有种，

∴.

故答案为：，.

【点睛】关键点点睛：分析判断所服从二项分布，应用二项分布期望公式求期望，根据发生“”的事件，讨论不同值下所有可能情况，再应用古典概型的概率求法求概率.

17．         

【分析】由二项式定理知的系数为，利用赋值法可知，即为所求.

【详解】由题设知，二项式的通项为，

∴的系数为，

又，令，有.

故答案为：，.

18．     3    

【分析】根据题中求出；写出的分布列，利用期望公式求解.

【详解】由题意可知， ，即 ，

即 ，得 （舍）

故袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，

，，

所以 的分布列为：

故的数学期望为 .

故答案为：3；.

【点睛】理解题意，会写随机变量的分布列，以及准确运用期望公式.

19．     0     70

【分析】先赋值，即可求得所有项的系数和，根据通项，当，以及含有常数项，分别求出相加即可得解.

【详解】可设，可得求所有系数之和为，

由，

，

当时，，

当时，，常数项为，

当时，，常数项为

相加可得常数项为：.

故答案为：；.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据表格中的数据，结合公式求得，进而求得的值；

（2）根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：由表格中的数据，可得，

则

所以.

（2）解：由题意，可得，

，

所以.

21．(1)

(2)认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异

【分析】（1）根据条件概率的知识求得.

（2）先绘制列联表，然后计算的值，从而作出判断.

【详解】（1）.

（2）列联表：

零假设为：两家工厂生产的糟蛋质量没有差异.

，

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异.