2023届四川省大数据精准教学联盟高三第一次统一监测数学（文）试题含解析

2023届四川省大数据精准教学联盟高三第一次统一监测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定义求得结果．

【详解】由等价于，即，

则，解得，故，

所以.

故选：C.

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法可求答案.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

3．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成，，，，五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是（    ）

A．56 B．80 C．144 D．184

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图确定每周的课外活动时间不少于14h的频率，再根据频率、频数、总数的关系能求出结果．

【详解】每周的课外活动时间不少于14h的频率为，

故所求人数，

故选：C．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将已知等式两边平方，结合同角的三角函数关系以及二倍角的正弦公式，即可求得答案.

【详解】由可得，，

即，

故选：B

5．“”是“直线 与圆相切”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据直线和圆相切可得，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．

【详解】因为直线与圆相切，所以，.

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．

6．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出切点坐标，求得导数，可求得切线斜率，根据导数的几何意义即可求得答案.

【详解】由题意可知时，，即切点为，

又，则，

故曲线在处的切线斜率为，

故切线方程为，即，

故选：D

7．已知函数的图象如图所示，则的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由图象的对称性可知，函数为偶函数，B，D中函数为奇函数，故排除B，D；A，C中函数为偶函数，又对于C，，不符合题意，故排除C，从而得出答案.

【详解】由图象的对称性可知，函数为偶函数.

对于A，，为偶函数；

对于B，，为奇函数，不符合题意；

对于C，，为偶函数；又，不符合题意；

对于D，，为奇函数，不符合题意，

故选：A．

8．在长方体中，已知异面直线与，与AB所成角的大小分别为和，则直线和平面所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，结合题意可求得，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合空间向量夹角公式可得答案.

【详解】设，则，

由于，所以异面直线与所成角为，从而，

由于，所以异面直线与所成角为，从而，

所以，

以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，

则，取

所以，直线和平面所成的角的正弦值为，

从而直线和平面所成的角的余弦值为．

故选：A．

9．已知函数的图象如图所示，图象与x轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意的周期可得，由图象与x轴的交点为可得 ，从而，所以与轴的交点，由解得.

【详解】若的周期为，由题意有，所以，所以，

图象与x轴的交点为，则，因为，所以，即，所以与轴的交点，

由，则，解得或 (舍)．

故选：B.

10．抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，则的面积为（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【分析】联立直线与抛物线方程求得的坐标，得到，计算点到直线的距离，即可得到的面积．

【详解】联立直线与抛物线方程，解得或，

不妨设在第一象限，得，，

而，点到直线的距离为，

则的面积为．

故选：B.

11．已知，（为自然对数的底数），则a，b，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设函数，利用导数可知在上单调递增，又，则，从而得解.

【详解】设函数，则，

所以，当时，恒成立，故函数在上单调递增．

又，

所以，故．

故选：D.

12．四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．8

【答案】C

【分析】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，则，四棱锥的体积为，设，利用导数研究函数的单调性可求得答案．

【详解】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，

则，且正方形ABCD的面积为，

四棱锥的体积为，

设，，则，

于是时，，单调递增；时，，单调递减，

从而，于是．

故选：C.

二、填空题

13．已知向量，，则与的夹角为______．

【答案】

【分析】利用向量夹角公式的坐标表示计算即可.

【详解】设向量与的夹角为，则，

又，所以．

故答案为：．

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是E上一点，直线与E的另一个交点为B，则的周长为______．

【答案】10

【分析】根据双曲线的定义，，，从而，又，得，故，即可得的周长.

【详解】由题意，点在双曲线的右支上，点在双曲线的左支上，

根据双曲线的定义，，，

从而，又，，，

，故，

所以的周长，

故答案为：10．

15．四叶草也被称为幸运草、幸福图，其形状被广泛用于窗户、壁纸、地板等装修材料的图案中．如图所示，正方形地板上的四叶草图边界所在的半圆都以正方形的边长为直径．随机抛掷一粒小豆在这块正方形地板上，则小豆落在四叶草图（图中阴影部分）上的概率为______．

【答案】

【分析】求出图中阴影部分的面积，利用几何概型公式求解即可．

【详解】不妨设正方形的边长为2个单位，则图中阴影部分的面积为两个圆（半径为1）的面积减去一个正方形（边长为2）的面积，即，

根据几何概型，小豆落在四叶草图（图中阴影部分）上的概率为．

故答案为：．

16．若的面积是外接圆面积的，则______．

【答案】##

【分析】由正弦定理表示外接圆的面积，由的面积是外接圆面积的得出，又，化简即可得出结果.

【详解】由正弦定理得，则，

又的面积是外接圆面积的，

所以，即.

.

故答案为：.

三、解答题

17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某学校对学生是否经常锻炼的情况进行了调查．从本校学生中随机选取了800名学生进行调查了解，并将调查结果（“经常”或“不经常”）制成下表所示的列联表：

(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有关？

(2)将频率视作概率．若该学校有4000名学生，估计该校经常锻炼的学生人数．

附表及公式：

其中，．

【答案】(1)有

(2)2250

【分析】（1）计算的值，与附表中的值比较，可得结论；

（2）求出样本数据中经常锻炼的学生的频率，将频率视为概率，即可求得该校经常锻炼的学生人数的估计值．

【详解】（1）由题，有，

因此，有99%的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系.

（2）由图表可知，样本数据中，经常锻炼的学生人数为450，频率为，

将频率视为概率，则在该校随机抽取一名学生，抽取到经常锻炼的学生的概率为，

则该校4000名学生中，经常锻炼的学生人数的估计值为．

18．已知等差数列与正项等比数列满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小．

【答案】(1),.

(2).

【分析】（1）由题意列方程，求得公差和公比，即可求得数列和的通项公式；

（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式，求得与，比较可得二者大小关系.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为,

由，,

得,

解得，

所以，数列的通项公式为，

数列的通项公式为．

（2）由（1）得，，

所以.

19．如图，四棱台中，底面ABCD是菱形，点M，N分别为棱BC，CD的中点，，，，．

(1)证明：平面平面ABCD；

(2)当时，求多面体的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，，得，又，所以面ACGE，从而．取点为线段AB的中点，可得，由得，即，证得面ABCD，从而得结论；

（2）利用勾股定理可得，菱形ABCD是边长为2的正方形，由面ABCD可知四棱台的高为1，求得即可得出答案.

【详解】（1）因为底面ABCD是菱形，所以四边形ABCD的对角线．

因为M，N是BC，AD中点，所以，故．

又因为，且多面体是四棱台，所以A，C，G，E共面，

又，面ACGE，

所以面ACGE，又因为面ACGE，所以．

又因为多面体是四棱台，所以四边形AEFB是梯形．

取点为线段AB的中点，连接FK．

因为，所以四边形AKFE是平行四边形，故．

在中，，故，即，

因为MN与AB是相交直线，面ABCD，所以面ABCD，

甴面ABFE，所以面面ABCD.

（2）当MN＝时，，则，所以，

故，菱形ABCD是边长为2的正方形.

由（1）知，面ABCD，所以四棱台的高为1，

．

又因为，

所以多面体的体积为.

20．已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为．

(1)证明：点M在一条定直线上；

(2)设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点．

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析.

【分析】（1）设，根据可列出方程，化简即可证明结论；

（2）利用题意求得椭圆方程，设设，表示直线方程，联立椭圆方程，求得的坐标，取点，利用向量共线证明，即可证明结论.

【详解】（1）证明：设,由题意可知，则，,

因为，所以,即，即，

故点M在直线上，即点M在一条定直线上.

（2）由题意知：，

故椭圆方程为 ，

由（1）知点M在直线上，设，

则的方程为，代入，

得，，

所以，即，

同理可得，

取点，则，，

又因为，

所以，则三点共线，即直线过定点.

【点睛】关键点睛：第二问中，证明直线过定点，可根据题意求得点的坐标，如果要表示出直线方程，计算量将会比较大，且运算复杂，因此可以结合题意合理猜测定点坐标，然后证明直线过该点.

21．已知函数．

(1)若单调递减，求a的取值范围；

(2)若有两个极值点，且，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1），因为单调递减，所以在时恒成立，即，令，问题转化为求的最值，利用导数求解即可；

（2）由题意可知，且，要证明，只需证明．由得，所以．令，，则需证明．令，则，令，可求得，从而在时单调递减，所以，原不等式即可得证．

【详解】（1）由得，

因为单调递减，所以在时恒成立，

即，令，则，

可知时，，单调递增；时，，单调递减，

则时取最大值，所以，

所以，的取值范围是．

（2）由（1）知，当时，单调递减，不合题意；

因为函数有两个极值点，则有两个零点，

令，，

当时，，单调递增，不合题意，

可知，且，

要证明，只需证明．

由得则，

所以，.

令，则，要证明，需证明．

令，且，则，

令，且，则，

则在时单调递增，故，

故，则在时单调递减，

所以，，即，则有，

所以，即原不等式成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数的单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．

22．在直角坐标系中，点，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．

(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设点M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断l与是否有公共点．

【答案】(1)，：

(2)，（为参数），直线l与圆没有公共点。

【分析】（1）根据消参法可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可得直线的直角坐标方程.

（2）设，设，根据，即可求得P的轨迹的参数方程，表示圆，计算圆心到直线的距离，即可判断断l与是否有公共点．

【详解】（1）因为曲线C的参数方程为(为参数)，

所以，

即曲线C的普通方程为：，

因为，由，

可得l的方程为：.

（2）设，设，

因为 ，

所以，

则，（为参数），

故P的轨迹的参数方程为，（为参数），

所以曲线为以为圆心，半径为4的圆，

而圆心到直线l的距离为，

因为，所以直线l与圆相离，

故直线l与圆没有公共点.

23．设函数．

(1)解不等式；

(2)令的最小值为T，正数满足，证明：．

【答案】(1).

(2)证明见解析.

【分析】（1）分类讨论x的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；

（2）分类讨论x的取值，求出的最小值为T，将展开，利用基本不等式证明，即可证明结论.

【详解】（1）当时，即，解得，故；

当时， 即，则；

当时，即，解得，故，

综上所述，原不等式的解集为.

（2）若，则；

若，则：

若，则,

所以函数的最小值，故,

又为正数，

则

,

当且仅当,时等号成立,

所以.