2023届新疆于田县第一高级中学高三第一次模拟数学试题含解析

2023届新疆于田县第一高级中学高三第一次模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数的单调性解不等式，即可得到集合B，进而根据交集的定义就出.

【详解】解：，

，即，

，

故选：D.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先解绝对值不等式和一元二次不等式，再根据充分、必要条件的知识求得正确答案.

【详解】；

，解得，

所以“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解.

【详解】对于A，为增函数，不符合题意；对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，，故为奇函数，当时，在上单调递减，当时，在单调递减，故C符合题意；对于D，为偶函数，且在定义域内不单调.

故选：C

4．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．为函数的零点 B．为函数的极大值点

C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值

【答案】C

【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由的图象可得，当时，，当时，，

当时，，当时，

所以在和上单调递增，在和上单调递减，

所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；

是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；

是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.

故选：C

5．该函数的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据辅助角公式化简结合三角函数的性质即得.

【详解】因为，又，

所以函数的最大值是2.

故选：C.

6．在中，，，，则角B为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理求得正确答案.

【详解】由正弦定理得，即，解得

由于，所以为锐角，所以.

故选：B

7．已知，且∥，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得，又因为∥，则有，列出方程组求解即可.

【详解】解：，且∥，

则，

因为∥，

，

即，

解得.

故选：B.

8．已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】C

【分析】设出公差，根据前项和基本量计算出公差，从而求出.

【详解】设的公差为，由得：

，解得：，

故.

故选：C

9．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ）

A．4 B．－4 C． D．

【答案】C

【分析】已知，，由等比数列的通项求出与，再由等比中项的定义代入即可得出答案.

【详解】由题意得，，

∴与的等比中项为．

故选：C.

10．若在处取得最小值，则（    ）

A．1 B．3 C． D．4

【答案】B

【分析】结合基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，

，

当且仅当时等号成立.

故选：B

11．若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，代入后利用复数的定义求得关系，然后由复数模的定义计算求得，从而得结论．

【详解】设，则，

因为为纯虚数，所以所以，，因为，所以，

解得，则，即z的虚部为.

故选：A.

12．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）

A． B． C．8 D．

【答案】A

【分析】先根据定义求出点的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点的纵坐标，进而求出面积.

【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为，

由抛物线焦半径公式知，

将代入，可得，

所以的面积为，

故选：A．

二、填空题

13．设函数是上的减函数，则的取值范围是______________.

【答案】

【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以，解得,

所以的取值范围为.

故答案为：.

14．函数在区间上的最大值为______

【答案】3

【分析】先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为，然后求出的范围，最后求出函数的最大值.

【详解】由题意，,而，则，所以函数的最大值为.

故答案为：3.

15．已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，的平均数是________．

【答案】

【分析】根据平均数计算方式计算即可.

【详解】

平均数

故答案为:

16．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是________．

【答案】

【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率

【详解】设数学题没被解出来为事件A，则.

故则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列满足，，数列等差数列，且，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等比数列的定义，直接写出，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得，即可求得；

（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式，直接求解即可.

【详解】（1）由题意可知：数列是以首项为，公比的等比数列，

故，

等差数列的公差为，则，解得，

故.

（2）由题意可得：

，

故

18．如图2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间．上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长（单位：小时），随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求该校学生学习的周均时长的众数和平均数的估计值；（用每小组的组中值代替本组数值）

(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率．

【答案】(1)25；平均数：

(2)0.3

【分析】对于（1），由频率分布直方图可估计学生学习周均时长的众数和平均数.

对于（2），可利用频率估计概率.

【详解】（1）众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，

由图可得众数为25.

由图，平均数的估计值

（2）由图，学生学习的周均时长不少于30小时的频率为：.则该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率估计值也为0.3

19．如图，在三棱柱中，平面为线段的中点．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角大小．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，正方形对角线互相垂直，线面垂直判定定理得线面垂直，再由线面垂直性质定理得线线垂直即可；（2）根据空间向量法求线面角即可.

【详解】（1）因为平面，平面，

所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以．

因为在三棱柱中，，

所以．

又因为，

所以四边形为正方形．连结，则．

又因为平面，

所以平面．

因为平面，

所以；

（2）因为两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系，

可得．

因为为线段上的中点，所以，

所以，

设平面的法向量为，则

，

令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

因为，所以，

所以直线与平面所成角的大小为．

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)设椭圆方程，将点代入求；

(2)将直线方程与椭圆方程联立得，将用两点间距离公式化为 ，用直线将转化为，代入韦达定理计算得定值.

【详解】（1）因为C的焦点在x轴上且长轴为4，则，

故可设椭圆C的方程为，

因为点在椭圆C上，所以，

解得，所以椭圆C的方程为．

（2）设，因为直线l方向向量，所以直线l的方程设为，

由得(*)

设，，则、是方程(*)的两个根，

所以有，，

所以

(定值)．

所以为定值．

21．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；

（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.

【详解】（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

（2）若有两个零点，即有两个解，

从方程可知，不成立，即有两个解，

令，则有，

令，解得，令，解得或，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

而时，，当时，，

所以当有两个解时，有，

所以满足条件的的取值范围是：.

【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.

22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若直线的极坐标方程为．

(1)把的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)已知为椭圆上一点，求到的距离的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两角和差余弦公式展开极坐标方程，利用极坐标与直角坐标互化原则可得直角坐标方程；

（2）设，利用点到直线距离公式和辅助角公式化简所求距离，由正弦型函数的最值可求得结果.

【详解】（1）由得：，

直线的直角坐标方程为：，即.

（2）设，

点到的距离，

当时，.

23．已知．

(1)求不等式的解集；

(2)若方程有实数解，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分段讨论，化简绝对值，再解不等式即可.

（2）方程有实数解转化为函数有交点，利用三角不等式求出函数的最小值，即可求得m的取值范围

【详解】（1）解：不等式，即，

①当时，不等式化为，

解得，故；

②当时，不等式化为成立，故；

③当时，不等式化为，

解得，故，

综上所述，不等式解集为.

（2）解：由三角不等式可得，，

所以，

要使方程有实数解，

则函数的图像与函数的图像有交点，需，

故m的取值范围是.