2023届陕西省汉中市高三下学期第二次教学质量检测数学（文）试题含解析

2023届陕西省汉中市高三下学期第二次教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用集合的交集运算求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：B

2．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数乘法运算计算出即可得出结果.

【详解】因为，可知复数在复平面内对应的点为，

所以在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D

3．已知向量，，且，则m的值为（    ）

A． B．1 C．或2 D．2

【答案】C

【分析】根据数量积的坐标表示，即可求解.

【详解】由条件可知，，

即，解得：或.

故选：C

4．若，且，则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，，

∴，

∴．选B．

5．如图所示，已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下：

其线性回归方程为，则（    ）．A． B．0.7 C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件求出样本的中心点，再代入回归直线方程计算作答.

【详解】依题意，，，将带入得：，解得，

所以.

故选：A

6．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.

【详解】若直线与直线平行，

则，解得或，

经检验或时两直线平行．

故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”

故选：A

7．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算.

【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，

设第段圆弧的半径为，则可得，

故数列是以首项，公差的等差数列，则，

则“蚊香”的长度为.

故选：D.

8．三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，根据长方体的性质求外接球的半径，即可得结果.

【详解】如图所示，根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可知该球的直径即为，

设球的半径为，可得，即，

故三棱锥的外接球的表面积.

故选：C.

9．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得关系，从而求得离心率．

【详解】根据题意，不妨取双曲线一条渐近线方程为，

因为圆的标准方程为，圆心是，半径是2，

所以圆心到渐近线的距离为，

所以由弦长公式得，则，即，即，故，

所以．

故选：D．

10．如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

，

则，

，

，

故选：C

11．已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】当时，可得，根据三角函数的图象和性质，可得，求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

又因为当 时，，

因为函数在区间上有且只有两个零点，

当时，的零点只能是，

所以，

解得，

所以的取值范围为是.

故选：B.

12．已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，结合条件与导数求得的单调性，从而得解.

【详解】令，则，

因为，而恒成立，所以，

所以在上单调递增，

又，所以，

因为，，，

所以，即.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的突破口是构造函数，熟练掌握与等抽象函数的导数是解决该类问题的关键.

二、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离为__________.

【答案】6

【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程即可计算作答.

【详解】由抛物线可得，且焦点在y轴正半轴上，

则焦点坐标为，准线为，

所以焦点到准线的距离为.

故答案为：6.

14．若三角形的内角所对的边分别为，且，，其面积，则边=________．

【答案】或

【分析】根据题意结合余弦定理、面积公式运算求解.

【详解】∵的面积，即，解得，

注意到，故或，

若，由余弦定理：，即；

若，由余弦定理：，即；

综上所述：或.

故答案为：或.

15．设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可.

【详解】解：∵定义域为，，在上是单调减函数，

∴恒成立；

∴，，

∵，，

，当且仅当时取等号.

∴，

∴，即：k的取值范围是．

故答案为：.

16．已知，，为平面内一动点（不与重合），且满足，则 的最小值为______．

【答案】

【分析】设，根据题意求点的轨迹方程，再根据数量积的坐标运算可得，结合点的轨迹方程分析运算.

【详解】设，

∵，则，整理得，即，

可得，

又∵，

则，

∵，可得当时，取到最小值.

故答案为：.

【点睛】方法定睛：求圆的方程有两类方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；

(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．

三、解答题

17．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求的值和这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）;

(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.

【答案】(1)0.035；41.5岁

(2)

【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数的计算公式运算求解；

（2）根据古典概型结合对立事件分析运算.

【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，

∴ ，

∴平均年龄为（岁）．

（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30 ，   

故根据分层抽样可得：第1组抽取人，设为，

第2组抽取人，设为，

∴从这5人中抽取2人有：，

共有10种等可能的结果，

若2人的年龄都在第2组的有，共3种等可能的结果，

即“至少1人的年龄在第1组中”为事件A，其概率为.

18．如图，多面体中，底面四边形为菱形，平面且

(1)求证：；

(2)求点A到平面的距离

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；

（2）利用解三角形的知识求的面积，再利用等体积转换求点到面的距离.

【详解】（1）连接，

∵平面，平面，

∴，

又∵四边形为菱形，且，

，平面平面，

∴平面，

且，故.

（2）∵平面，平面，

∴，

由，可得，

由四边形为菱形，，可得，

在中，由余弦定理，

故，

则的面积.

在中，由余弦定理，

可知为锐角，则，

则的面积.

设点A到平面的距离为，

∵，则，解得，

∴点A到平面的距离为.

19．已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，在①，；  ②，；③，；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且______，求数列的前n项和.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据，，成等比数列，由求解；

（2）选①，由，，得到时，求解；选②，由，，得到时，，两式相减求解；选③，由，，得到时，，两式相减求解.进而得到，再利用分组求和求解.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，

因为，，成等比数列，

所以，

解得或（舍去）.

 所以，.

（2）选①，由，，

当时，，当时等式也成立，

所以，   

选②，由，，①

当时，，②

②-①得，即，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，

当时等式也成立，

所以，

选③，由，，①

当时

当时，，②

②-①得 ，即，又 ，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，        

则，  

，

20．已知离心率为的椭圆，其焦距为.

(1)求此椭圆的方程；

(2)已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率为和焦距为，由求解；

（2）将代入椭圆方程，设，根据为直径的圆过点，由求解.

【详解】（1）解：由题知

解得  ，     

椭圆的方程为.

（2）将代入椭圆方程，得，

又直线与椭圆有两个交点，

，

解得.

设，

则.  

若以为直径的圆过点，则.

又，

.

而，

，

，

，

解得，满足，

故.

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；

（2）根据题意分析可得对任意实数，都有恒成立，构建，根据恒成立问题结合导数分析运算.

【详解】（1）∵，则，

若时，则，，

即切点坐标为，切线斜率，

∴切线方程为，即.

（2）∵，即，

整理得，

故原题意等价于对任意实数，都有恒成立，

构建，则，

注意到，则，

构建，则在上单调递增，且，

故在内存在唯一的零点，

可得当，则；当，则；

即当，则；当，则；

故在上单调递减，上单调递增，则，

又∵为的零点，则，可得且，

∴，

即在上的最小值为0，

故实数的取值范围.

【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

(2)函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．

22．在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为(为参数)， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设 ，直线与曲线交于两点，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)直接将参数方程中的t消去即可得出直线的普通方程，结合公式，计算即可得出曲线的直角坐标方程；

(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得关于t的一元二次方程，结合t的几何意义化简计算即可求解.

【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，

消去得， 直线的普通方程为；

由 得，，

将 代入得，

曲线 的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入曲线，

整理得 ，

，

记两点对应的参数分别为，

则 ， 故，

故 .

23．设，

(1)求的解集；

(2)设的最小值为，若求的最小值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据绝对值的几何意义解不等式；

（2）利用绝对值三角不等式求得，然后利用基本不等式求得最小值．

【详解】（1）由题知  ，

原不等式的解集；

（2）由，

所以 ， 即      

所以的最小值为3，此时