2023届山东省潍坊市安丘市高三下学期3月份过程检测数学试题含解析

2023届山东省潍坊市安丘市高三下学期3月份过程检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A．M=N B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数定义域求法及指数不等式的解法化简集合，再判断各选项的对错.

【详解】因为，，

所以且，所以A错，B错，

，C错，

，D对，

故选：D.

2．设i为虚数单位，且，则的虚部为（    ）

A． B．2 C．2i D．

【答案】B

【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出，即可求出的虚部.

【详解】由可得：，

则，所以的虚部为2.

故选：B.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】先对求导，再代入即可求得.

【详解】因为，

所以，

故，即，

所以.

故选：B.

4．已知函数，则下列论述正确的是（    ）

A．且，使

B．，当时，有恒成立

C．使有意义的必要不充分条件为

D．使成立的充要条件为

【答案】B

【分析】根据余弦函数的性质，结合充分性、必要性的定义，结合对数型复合函数的单调性逐一判断即可.

【详解】在中，

对于A，∵，

∴若，当且仅当时，，A错；

对于B，

当时，为增函数，而，

在上为增函数，

由复合函数单调性知，当时，函数单调递增，B正确；

对于C，

∵有意义，∴，

而为的真子集，

是的充分不必要条件，C错；

对于D，

令，则，

故，

而为的真子集，

故是成立的充分不必要条件，D错误.

故选：B.

5．在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（    ）

A．12π B．24π C．48π D．96π

【答案】C

【分析】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，根据三棱柱的体积得，根据直三棱柱外接球半径的求法可求出，然后构造函数，求导得到的最小值，即可得到该三棱柱外接球表面积的最小值

【详解】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，

则，所以，则，

外接圆的半径为，

所以棱柱外接球的半径为，

令，则，则，

在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

则该三棱柱外接球表面积最小值为.

故选：C.

6．如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设是第n次挖去的小正三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小正三角形面积，是第2次挖去的三个小正三角形面积之和），则（    ）

A．

B．是等差数列

C．

D．前n次挖去的所有小正三角形面积之和为

【答案】D

【分析】根据图形可知：每次挖去的小三角形面积之和构成一个以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式和求和公式对选项一一判断即可得出答案.

【详解】原正三角形的面积为，由题意可知：第次挖去个小正三角形，

且每次挖去的小三角形面积之和构成一个以为首项，以为公比的等比数列，

所以，故C不正确；，故A不正确；

是等比数列，故B不正确；

由等比数列的求和公式可得前n次挖去的所有小正三角形面积之和为:

，故D正确.

故选：D.

7．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）

A．两两不互斥 B．

C．与B是相互独立事件 D．

【答案】B

【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解

【详解】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，

所以，，两两互斥，所以A不正确；

对于B，由题意可得，

所以，所以B正确；

对于C，因为，，，

所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；

对于D，由C选项可知D是错误的.

故选：B.

8．函数，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，结合对数函数的单调性、基本不等式进行求解即可.

【详解】，

因为，

所以，

因为，

所以，

因此有，

，

所以函数是实数集上的增函数，

因为，

所以，

故选：A

【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性，结合基本不等式、对数函数的单调性是解题的关键.

二、多选题

9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据函数的奇偶性的定义可判断奇偶性，由导数即可判断单调性.

【详解】对于A, ,故为奇函数， ，故为定义域内的单调递增函数，故A正确，

对于B，，故为非奇非偶函数，故B错误，

对于C，在定义域内不是单调增函数，故C错误，

对于D，，，所以 定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确，

故选：AD

10．已知函数是其中一个对称中心，且的最大值是2，则（    ）

A．的最小正周期为

B．将图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称

C．在区间上单调递减

D．在区间上有且仅有5个极大值点

【答案】AD

【分析】由题意求出，由图象的对称性求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质对选项一一判断即可得出答案.

【详解】，而的最大值是2，所以，

所以是其中一个对称中心，则，

所以，因为，所以，

所以，

对于A，的最小正周期为，故A正确；

对于B，图象向左平移个单位长度得到，

得到的图象不关于原点对称，故B不正确；

对于C，，所以在区间上单调有增有减，所以C不正确；

对于D，，，在区间上有5个周期，

所以在区间上有且仅有5个极大值点，故D正确.

故选：AD.

11．已知、分别为双曲线的左右焦点，过C右支上一点作直线l交y轴于，交x轴于点M，则（    ）

A．C的离心率 B．点M的坐标为

C．l与C相切 D．四边形面积的最小值为4

【答案】ACD

【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；设直线l的方程为，与双曲线联立可得，判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.

【详解】对于A，由已知可得，，，所以C的离心率为，

故A项正确；

对于B，设，则，整理可得，

又，所以，所以有，

所以点，故B项错误；

对于C，设直线l的方程为，与双曲线联立，

则，

①，

又因为，所以代入①化简可得：，

所以l与C相切，所以C项正确；

对于D，，

当且仅当，即时，等号成立.

所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.

故选：ACD.

12．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（    ）

A．不存在某个位置，使

B．存在某个位置，使

C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为

D．当时，的最小值为

【答案】BD

【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可判断AB，由三棱锥体积取得最大值时知面面垂直，得出线面垂直，即可求出线面角判断C，再由侧面展开图及余弦定理可判断D.

【详解】当平面与平面垂直时，

，平面与平面的交线为，平面,

平面，又平面，

，，故A错误，B正确；

对于C，当三棱锥体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，

即平面与平面垂直时，

由上面可知，平面，故AD与平面ABC成角为，    

因为，所以，，，

则，

，

即AD与平面ABC成角的正弦值为，故C错误；

对于D，当时，因为为的中点，

所以，则，

又因为的中点，所以，

又，所以，

所以，

如图将沿旋转，使其与在同一平面内，

则当三点共线时，最小，

即的最小值为，

在中，，

则，

所以，

所以的最小值为，故D正确.

故选：BD.

【点睛】思路点睛：计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状.

三、填空题

13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.

【答案】

【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.

【详解】由题可知，

所以

.

故答案为：

14．的展开式中项的系数为______.

【答案】

【分析】令的通项公式为，令的通项公式为，由和的范围可得答案.

【详解】的通项公式为，

显然，展开式中要出现，必有，

令的通项公式为，

由，由，，所以，或，

所以的系数为.

故答案为：.

15．已知抛物线，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，定点A的坐标是，当取最小值时，则弦PQ的长是______.

【答案】

【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，由图可知当三点共线时，取最小值，

由此可得点的坐标，从而可得直线的方程，联立方程求出点的坐标，即可得解.

【详解】抛物线的焦点，准线为，

如图，过点作准线的垂线，垂足为，

则，

所以，当且仅当三点共线时取等号，

所以当取最小值时，点的横坐标为，

当时，，即，

所以，

所以直线的方程为，

联立，消得，解得或，

当时，，即，

所以.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.

【答案】         

【分析】由题意可知，即可根据此关系求出，因为，则，利用倒序相加法求和即可，

【详解】解：已知，

则，

，

所以，

则，

已知数列，

，，

数列的前2023项的和，

且，

两式相加，得，

故答案为：；

五、解答题

17．如图，为半圆（为直径）上一动点，，，，记.

(1)当时，求的长；

(2)当周长最大时，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出的长；

（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.

【详解】（1）在中，，，，

∴，，且在以为直径的圆上，

∴，

在中，，，

由正弦定理，，解得.

（2）在中，，，

由余弦定理，

即，

∴，∴，

当且仅当时取等号，

∴，∴，

即当时，周长最大，此时

∴.

18．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例如：，.

(1)求，，；

(2)若数列满足，且，求数列的通项公式和前n项和.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】(1) 欧拉函数的函数值定义计算即可；

(2)先构造等差数列，再根据错位相减法计算可得.

【详解】（1），，.

（2）∵，∴

∵，∴数列是以1为首项，以为公差的等差数列.

∴，∴，

，

，

∴

∴.

19．如图，在三棱柱中，D为AC的中点，AB=BC=2，.

(1)证明：；

(2)若，且满足：三棱柱的体积为，二面角的大小为60°，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

（2）由三棱柱的体积为可求出，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）在三棱柱中，由题意可得，，，

∴，

又∵AD=DC，∴，

同时在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，

∴，∵，，平面，

∴平面，

又∵平面，∴

（2）∵且，∴平面ABC，

∵平面ABC，∴，又∵，

∴为二面角的平面角，即

，，取BC的中点O，则，

∴，

又∵三棱柱的体积为，∴

如图所示，建立空间直角坐标系，

设平面的一个法向量为，且，，

则，令，则，，

故，

设平面的一个法向量为，

且，，则，

令，则b=0，，故，

，故二面角的正弦值为.

20．2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.

(1)令，则，且，求，并证明：；

(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为p的值，解决下列问题.

（i）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X，求X的分布列；

（ii）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）?若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：，则，，.

【答案】(1)，证明见解析

(2)（i）分布列见解析；（ii）能，

【分析】（1）由正态分布的对称性求解即可；

（2）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时的值，（i）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.（ii）1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，29>28，即可得出结论.

【详解】（1），又，

所以.

因为，根据正态曲线对称性，

又因为，所以.

（2），

.

令，得.

当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数.

所以的最大值点.从而

（i）X的可能取值为3，2，1，0.

，，

，

∴X的分布列为

（ii）若X=3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，

则11轮过后的总积分是28分，29>28，所以，1班如果第10轮积3分，

则可提前一轮夺得冠军，其概率为.

21．已知椭圆的焦距为2，离心率为如图，在矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别为矩形四条边的中点，过E做直线交x轴的正半轴于R点，交椭圆于M点，连接GM交CF于点T

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的焦距和离心率，即可求出椭圆的标准方程；

（2）设出直线和直线的解析式，联立得出交点的坐标，代入椭圆方程，求出出，的比例关系，和的比例关系，即可证明结论.

【详解】（1）由题意，

在椭圆中，椭圆的焦距为2，离心率为

∴，，

∴a=2

由，得：，

∴椭圆的方程为

（2）由题意及（1）得，

在椭圆中，，，

由已知，直线的斜率大于零，直线的斜率小于零，

故设直线，直线，

∵直线与直线相交于点，

由得：.

又∵点M在椭圆上

∴，整理得：

∵直线交轴的正半轴于点

令得：，

故

又∵F（2，0），

∴，

∴

∵直线交于点，

令得：，

故

又∵，

∴，

∴

又∵，

∴

∴

∴.

22．已知函数.

(1)当时，讨论f（x）的单调性.

(2)设，当时，有，求a的取值范围.

【答案】(1)f（x）在上单调递增，在上单调递减

(2)

【分析】(1)先求导函数 ,因为在上递增，因为,则在上单调递增，在上单调递减；

(2)移项构造函数 ，分情况讨论证明最大值小于等于0即可.

【详解】（1）当时，，，

设，

因为，得h（x）在上递增，

即在上递增，因为，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）由得，，整理得，

设，

则

1°当时，即，t（x）在单调递增，单调递减，

则，得，不存在；

2°当时，即，在单调递减，单调递增，单调递减，t（0）=0，只要即可，得，即；

3°当，即，在（0，2）单调递减，单调递增，单调递减，

此时由2°得，所以成立；

综上所述，符合题意.