2023届重庆市普高三模拟调研（三）数学试题含解析

2023届重庆市普高三模拟调研（三）数学试题

一、单选题

1．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，利用条件列方程求出，进而可得.

【详解】设，

则

，，

.

故选：B.

2．若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用题给条件判断出r与p的逻辑关系，进而得到正确选项.

【详解】p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则有

则，又由，可得,

则r是p的充分不必要条件.

故选：A

3．设全集，集合A，B是U的非空子集，且，则下面一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过举例判断ABD，通过并集和补集概念来判断C.

【详解】对于A：当，时，满足，A错误；

对于B：当，时，满足，B错误；

对于C：，，，C正确；

对于D：当，时，满足，D错误；

4．某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将分数按照从小到大顺序排列，根据百分位数的求法直接求解即可.

【详解】将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：，

，该组数据的第百分位数为.

故选：D.

5．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）

A．63 B．92 C．117 D．145

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，然后再求即可.

【详解】设等差数列的公差为，

由已知得，

解得，

.

故选：B.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求得的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD，最后利用特值法排除选项B，进而得到正确选项A.

【详解】由，可得，则定义域为，

则，

，

则为偶函数，其图像关于y轴轴对称，排除选项CD；

又，则排除选项B，正确选项为A.

故选：A

7．已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可.

【详解】由可得，

圆心，半径，

过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，

连接，如图，

由知，，又，

所以，

由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，

即圆心到直线的距离，

解得，

故选：C

8．在直三棱柱中，，，点在线段上运动，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（    ）

A．平面 B．当为中点时，AP与BC成角最大

C．当为中点时，AP与成角最小 D．存在点，使得

【答案】C

【分析】举特例否定选项A；求得AP与BC成角最大时点位置判断选项B；求得AP与成角最小时点位置判断选项C；求得时点位置判断选项D.

【详解】由题意得，两两垂直，不妨令

以C为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

则

选项A：当点P与点B重合时，由为梯形的两个腰，

可得相交，则直线平面位置关系为相交.判断错误；

选项B：设AP与BC成角为，,

由，可得

当时，即两点重合时，，AP与BC成角为.判断错误；

选项C：设AP与成角为，由，可得

又，在单调递减，

则当即为中点时，AP与成角最小.判断正确；

选项D：,

由，解得（舍），

则不存在点，使得.判断错误.

故选：C

二、多选题

9．已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（    ）

A．在区间上是增函数

B．的一条对称轴为

C．的一个对称中心为

D．在区间上只有2个极值点

【答案】BD

【分析】先利用平移变换求出，再利用正弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】将函数的图象向右平移个单位得到函数，

对于A：当时，，在上不是单调函数，故在区间上不是单调函数，A错误；

对于BC：，是的一条对称轴，B正确，C错误；

对于D：当时，，在上有两个极值点，故在区间上只有2个极值点，D正确.

故选：BD.

10．已知点，，曲线C上存在M点，满足，则曲线C可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】先求得线段的垂直平分线的方程，再将该直线分别与椭圆，双曲线，抛物线的方程联立，利用判别式判断二者的位置关系，有公共点则满足要求，进而判断选项ABC；利用直线与圆的位置关系判断选项D，有公共点则满足要求.

【详解】由，，可得,中点坐标为，

又由，可得M点在直线上.

选项A：由整理得，

则，

则直线与椭圆有公共点，

则椭圆上存在M点满足.判断正确；

选项B：由整理得，

则，

则直线与双曲线没有公共点，

则双曲线上不存在M点满足.判断错误；

选项C：由整理得，

则，

则直线与抛物线有公共点，

则抛物线上存在M点满足.判断正确；

选项D：圆的圆心坐标为，半径为2，

由，

可得直线与圆相交，

则圆上存在M点满足.判断正确.

故选：ACD

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为

B．在上的值域为

C．若在上单调递减，则

D．若，则在定义域上单调递增

【答案】AC

【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D.

【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确；

选项B：，

由，可得，则，

当时，，则在上的值域为；

当时，，，

即在上的值域为；

当时，，，

即在上的值域为.

综上，当时，在上的值域为；

当时，在上的值域为；

当时，在上的值域为.判断错误；

选项C：，

若在上单调递减，则，解之得.判断正确；

选项D：，

则时，在和上单调递增.判断错误.

故选：AC

12．若实数，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用基本不等式，分，，讨论，可得的范围，再利用的范围求出的范围.

【详解】,

当时，，当且仅当或时等号成立，得，

当时，，当且仅当或时等号成立，得，

当时，由可得或

综合可得，故C正确，D错误；

，

当时，，故A错误，B正确；

故选：BC.

三、填空题

13．一个不透明的袋子中有10个大小、材质一样的小球，其中有个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第2次摸得红球的概率为，则________．

【答案】

【分析】根据题意得到袋子中有个红球，个黑球，利用相互独立事件的概率公式，分别求得第1次摸出的是红球和第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率，结合题意列出方程，即可求解.

【详解】由题意，不透明的袋子中有个红球，个黑球，

当第1次摸出的是红球时，第2次莫得红球的概率为；

当第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率为，

因为第2次摸得红球的概率为，即，

解得.

故答案为：.

14．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________．

【答案】

【分析】先利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，进而可对函数求导，然后根据条件列方程求.

【详解】由曲线得，，

曲线在点处的切线斜率为，

曲线得，

由已知可得，

解得.

故答案为：.

15．已知，，则________．

【答案】

【分析】先通过条件确定角的范围，进而可求出，再利用，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.

【详解】，，

，

，

若，则，与矛盾，

故，

，

故答案为：.

16．已知为所在平面上一点，若，，则________．

【答案】

【分析】利用向量的线性运算对向量进行分解合并，然后可得的值.

【详解】

.

故答案为：.

四、解答题

17．设正项数列的前项和为，已知．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用整理化简可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式可得答案；

（2）先分离常数，然后利用裂项相消法求和.

【详解】（1）①，

当时，②，

①-②得，

整理得

数列为正项数列，

，

，

又当时，，解得，

数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

；

（2）由（2）得，

数列的前项和为

.

18．风力发电是指把风的动能转为电能．2021年前11个月，我国新能源发电量首次突破1万亿千瓦时大关，其中风力发电达到5866.7亿千瓦时．某校物理课题小组通过查阅国家统计局网站，得到2012年至2020年风力发电量数据，如下表：

下图为2012年至2020年风力发电量散点图：

(1)根据散点图分析与之间的相关关系；

(2)根据相应数据计算得，，，求关于的线性回归方程（精确到0.1）．

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】(1)与呈线性正相关关系

(2)

【分析】（1）根据散点图进行结合相关关系进行分析即可；

（2）利用最小二乘法代入公式分别计算出即可求得关于的线性回归方程．

【详解】（1）根据散点图分析，随着的增大而增大，与之间存在正相关关系，且近似于一条直线．

（2），

，

，

，

，

，

关于的线性回归方程为.

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．

(1)求；

(2)若，边上的高线长，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积的坐标运算，利用三角恒等变形的公式化简整理得的值，然后通过平方可得的值；

（2）先利用（1）的结果得到的值，综合得到的值，再利用三角形的面积公式以及正弦定理边化角可得的值.

【详解】（1）由已知得

；

（2），

，

，

，

，

，

，

，

，又，

，

，

，

，

.

20．已知函数，．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若时，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率，点斜式求出切线方程；

（2）转化为，对分类讨论，利用导数确定单调性求解即可.

【详解】（1）当时，，

，

所以，又，

所以在处的切线方程为，

即.

（2）令，则在上恒成立，

则，，，

当时，，

因为在上单调递增，

故存在，当时，，即在上单调递减，

所以时，，与题设矛盾，舍去.

当时，由可得，

故在上单调递增，

所以，满足题意.

综上，的取值范围为.

21．如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．

(1)证明：平面平面；

(2)设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）依题意可得平面，再由面面平行及，可得平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可得到平面，再证明平面，即可得证；

（2）设点，其中，利用空间向量法得到方程，求出的值，即可得解.

【详解】（1）因为为正方形，所以，又，，平面，

所以平面，所以为二面角的平面角，即，

又平面平面，，

所以平面，即为二面角的平面角，即，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，即，所以，

因为平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面，

因为，平面，

所以平面平面.

（2）由点在上，设点，其中，点，

所以，平面的法向量可以为，

设与平面所成角为，

则，

即，化简得，

解得或（舍去），

所以存在点满足条件，且点到平面的距离为.

22．已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，直线被椭圆截得的弦长为4．

(1)求椭圆的方程；

(2)设M，N，P，Q为椭圆上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，联立方程，求出交点坐标，再根据弦长即可得解；

（2）设，菱形的中心为，利用点差法可得菱形的中心为原点，再分直线的斜率都存在，和直线中有一条直线的斜率不存在，两种情况讨论，根据求出即可得出答案.

【详解】（1）由题意可得，则椭圆：，

联立，解得或，

所以弦长，解得，所以，

所以椭圆的方程为，即；

（2）因为四边形MNPQ为菱形，所以垂直且平分，

设，

则，

两式相减得，

即，

设菱形的中心为，

若直线的斜率都存在，设直线的斜率分别为，

由，得，

所以，即，

同理，

所以，

由得，所以，即菱形的中心为原点，

则直线的方程为，直线的方程为，

联立，解得，

所以，

同理，

因为，

所以

，

所以点在圆上；

若直线中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，

四点分别为椭圆的顶点，不妨设为右顶点，为上顶点，

则，

同理可得，

点任在圆上，

综上所述，H的轨迹方程为.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．