2022届重庆市育才中学高三上学期一诊模拟（三）数学试题含解析

2022届重庆市育才中学高三上学期一诊模拟（三）数学试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】图中阴影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素.

【详解】图中阴影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素，根据题意，，

故选：A

2．若复数为纯虚数，则（       ）

A． B．13 C．10 D．

【答案】A

【分析】因为复数为纯虚数故得到，再由复数模长公式计算得到结果.

【详解】复数为纯虚数，故需要

故选：A

3．已知双曲线的离心率为2,则双曲线的渐近线为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由离心率求出即可．

【详解】由题意，所以，．渐近线方程为．

故选：D.

【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程与离心率，掌握关系式是解题关键．

4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：

812，832，569，683，271，989，730，537，925，907

由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（       ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

【答案】A

【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.

【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，

故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.

故选：A.

5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的大致图象为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用排除法，先判断的奇偶性，再利用导数判函数的单调性即可

【详解】解：函数的定义域为，

因为，所以函数为偶函数，所以函数图像关于轴对称，所以排除A，

当时，，则，

因为，所以在上递增，

因为，

所以，使，

所以当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，且，

所以排除BC，

故选：D

6．如图所示，已知空间四边形，与所成角为，且，､分别为､的中点，则（       ）

A．1 B． C．1或 D．2或

【答案】C

【分析】取的中点，连结，，可知，，故与所成的角为或者的补角，分两种情况讨论，解三角形即可．

【详解】如图，取中点，连结，，

由题可知，，，，，

因为与所成的角为，或者，

当时，为等边三角形，，

当时，由余弦定理可知，

，

，

综上，或，

故选：C.

7．已知α为锐角，且，则α的值为（       ）

A．70° B．60° C．50° D．40°

【答案】D

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出即得解.

【详解】解：由可得，

即，

所以，

又为锐角，故.

故选：D.

8．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求a1，q，进而可求通项公式，当1≤n≤5时，an＜1，当n≥6，an＞1，从而可求答案．

【详解】由题意可得，，或

是正项等比数列

当时，当时， 则的最小值为

故选：D

二、多选题

9．某种产品的价格x(单位：元/)与需求量y(单位：)之间的对应数据如下表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（       ）A．相关系数

B．

C．若该产品价格为35元，则日需求量大约为

D．第四个样本点对应的残差为

【答案】BCD

【分析】先根据回归直线必过样本中心求出，从而判断选项A、B，再根据回归直线方程即可求出预测值及第四个样本点对应的残差.

【详解】解： 对A、B：由表中的数据，，，

将，代入得，所以A选项错误，B选项正确；

对C：由题意代入得，所以日需求量大约为，

所以C选项正确；

对D：第四个样本点对应的残差为，所以D选项正确；

故选：BCD.

10．下列选项中说法正确的是（       ）

A．若幂函数过点，则

B．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上

C．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于分的学生人数为

D．位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种

【答案】ABC

【分析】幂函数定义求出m，代入点求出，判断A选项；零点存在性定理判断B选项；根据正态分布的对称性进行求解，进而判断C选项，根据分步计数原理得到不同的报名方法，进而判断出D选项.

【详解】由幂函数定义得：，将代入，，，故，A正确；

由零点存在性定理，方程的根落在区间上，B正确；

由正态分布的对称性可知：，故，故估计该校此次检测成绩不低于分的学生人数为，C正确；

位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种，D错误.

故选：ABC

11．已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据条件构造，求函数导数，利用单调性比较大小及可.

【详解】令，

对于任意的，，

所以在上单调递增，

所以，A不对；

，B正确；

，C正确；

，D不对.

故选：BC.

12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（       ）

A．该半正多面体的体积为

B．该半正多面体过三点的截面面积为

C．该半正多面体外接球的表面积为

D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式

【答案】ACD

【分析】根据几何体的构成可判断A，由截面为正六边形可求面积判断B，根据外接球为正四棱柱可判断C，根据顶点，面数，棱数判断D.

【详解】如图，

该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.

对于A， 因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：， 故正确；

对于B，过三点的截面为正六边形，所以，故错误；

对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故正确；

对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知向量，向量，与共线，则___________.

【答案】

【分析】利用向量共线的坐标表示列方程，由此求得.

【详解】，

与共线，

所以.

故答案为：

14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点.若，则__________.

【答案】

【分析】设点、，利用平面向量的坐标运算求出的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

设点、，则，，

由可得，可得，因此，.

故答案为：.

15．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.

【详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，

于是得，即，

由得，而，于是得，即

因，则，，当且仅当时取“=”，

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.

四、双空题

16．若展开式中的所有二项式系数和为512，则_____；该展开式中的系数为________（结果用数字表示）.

【答案】     9     -84

【分析】由二项式系数和为，即可求解的值，利用通项公式即可求得展开式中的系数．

【详解】由已知可得，解得，

则的展开式的通项为，

令，解得，

展开式中的系数为．

故答案为：9，．

五、解答题

17．在中，角所对的边分别是，满足.

（1）求角的大小；

（2）若，的面积，求的周长.

【答案】（1）；（2）9.

【分析】（1）根据余弦定理直接求解；

（2）先根据三角形面积公式得，再利用余弦定理求得，即可求出周长.

【详解】解：（1）∵，∴，

∴，∵，∴.

（2）

∴

又∵，即

∴

∴的周长为.

【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查基本分析求解能力，属基础题.

18．某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

【答案】(1)

(2)，，，甲班级代表学校参加大赛更好.

【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式即可求出答案；

（2）结合超几何分布和二项分布，根据数学期望和方差的定义依次求出，，，，由此可求出答案．

(1)

解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；

(2)

解：甲班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为1，2，，，

则，．

乙班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为0，1，2．所以，

∴，．

由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．

19．已知椭圆C：经过点，离心率．

（1）求椭圆C的方程；

（2）不过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：上，求直线的斜率的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】【详解】试题分析：（1）由已知，又椭圆过点，因此有，再结合，联立可解得；（2）这类题解题方法是设直线方程为，

，把代入椭圆方程整理得，因此有，即，这是很重要的不等式，求的范围就要用它，另外有，这样可得点的坐标为，而点在抛物线上，因此把此坐标代入抛物线方程可得的关系，，代入刚才的不等式，就可求出的范围．

试题解析：（1）由已知，又椭圆过点，因此有，又，联立可解得

（2）设直线，．

由

得-----6分

﹥0

即﹥0 （1）

又

故

将代入得

将（2）代入（1）得：

解得且．即．--12分

【解析】椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系．

20．已知数列{}的前n项和为且满足=-n.

(1)求{}的通项公式；

(2)证明：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用得到递推公式，再构造等比数列求出通项公式；（2）等比放缩，证明不等式.

(1)

因为=-n.

所以=-n-1，

所以

所以，

所以是首项为，公比为的等比数列.

所以，

所以；

(2)

即证明： ，

，

.

21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB的中点，______．

从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．

注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．

(1)求证：四边形ABCD是直角梯形．

(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

(3)在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】选择①：

（1）由平面，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则，进一步得到，由此能证明四边形是直角梯形．

（2）过作的垂线，交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．

（3）设，利用，可求出．

选择②：

（1）由平面，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则，再由平面，得，由此能证明四边形是直角梯形．

（2）过作的垂线，交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．

（3）设，利用，可求出．

(1)

解：选择①：证明：平面，平面，，，

因为，，

，，，

，平面，平面，

平面，，

，，

四边形是直角梯形．

选择②：证明：平面，平面，，，

，，，

，，

，平面，平面，

平面，，

，四边形是直角梯形．

(2)

解：过作的垂线交于点，

平面，，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，2，，，0，，，，，

为的中点，，，，

，，，，2，，，2，，

设平面的法向量为，，，

则，令，得，1，，

设直线与平面所成角为，

则，．

直线与平面所成角的正弦值为．

(3)

解：设，则，，，，，

，，，

平面，，

，解得．

故存在点F，且．

22．已知函数f(x)=+xx，(aR).

(1)当a=0时，求f(x)的最小值；

(2)在区间(1，2)内任取两个实数p，q(pq)，若不等式>1恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过导函数求出单调区间，进而求出极值和最值；（2）通过几何意义转化为函数的图象在区间上的任意两点连线的斜率大于1，参变分离后转化为恒成立问题，构造函数，研究单调性，求出极值，从而求出a的取值范围.

(1)

当a=0时，f(x)=xx(x>0)，，

所以f(x)在(0，)，(x)<0，f(x)递减，在(，+)，(x)>0，f(x)递增.

所以f=f()=.

(2)

，

表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，

又1＜p＜2，1＜q＜2，2＜p+1＜3，2＜q+1＜3，

即函数的图象在区间上的任意两点连线的斜率大于1，

即在内恒成立，

等价于当时，恒成立，

设，x∈（2，3），则,

若，则，

当时，g′（x）＜0，g（x）在递减，

当时，g′（x）＞0，g（x）在递增，

∵，，

∴

又，

，

故,实数a的取值范围是.

【点睛】求解参数的取值范围问题，参变分离是一种很重要的方法，参变分离的原则是要好分离，且分离出的函数要能通过导函数容易求出极值和最值.