2023届陕西省西安市第三十八中学高三上学期一模数学（文）试题含解析

2023届陕西省西安市第三十八中学高三上学期一模数学（文）试题.doc

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用交集的定义即可求解.

【详解】因为，

所以．

故选：A.

2．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量的加法运算求解.

【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点，

易知，

所以．

故选：D

3．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用抛物线的几何性质即可求得抛物线的准线方程.

【详解】因为，所以，

所以抛物线的准线方程为．

故选：C

4．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等比数列前项和公式求解即可.

【详解】表示以为首项，为公比的前项和，

所以.

故选：A

5．函数的零点为（    ）

A．4 B．4或5 C．5 D．或5

【答案】C

【分析】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域.

【详解】由题意可得：，解得，故的定义域为，

令，得，则，解得或，

又∵，所以．

故选：C.

6．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A．5 B．6 C．8 D．7

【答案】D

【分析】利用框图从逐个向后代入去计算，进而求得满足题意的的值.

【详解】时，；时，；时，；

时，；时，；

时，；时，．

故输出i的值为7．

故选：D

7．一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，该正四棱柱的体对角线为球的直径，进而计算体对角线长度，并计算体积即可.

【详解】解：设该正四棱柱的底面边长为，高为，则,，解得，

所以该正四棱柱的体对角线为球的直径，

设球的半径为，

所以，，即，

所以，球的体积为．

故选：B

8．若，则（    ）

A．3 B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据正切两角差公式，凑角得的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再利用商数关系，化成含的式子，代入求值即可.

【详解】解：因为，

所以．

故选：A.

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性判断都大于1，利用，即可判断大小，根据对数函数性质可判断c的范围，即得答案.

【详解】因为是R上的增函数，故,

又，所以，

而为单调减函数，故，

故，

故选：D

10．若从区间内，任意选取一个实数a，则曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线的倾斜角大于对应的实数a的取值范围，再利用几何概型就求得其对应的概率.

【详解】因为，所以当时，．

若曲线在点处的切线的倾斜角大于，

则或，解得或．

由几何概型可知曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为．

故选：B

11．将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像．若在上单调，则的值不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知，进而得，故有或或，再解不等式求解即可.

【详解】解：由题知，，

因为，所以．

因为，所以，

又在上单调，

所以或或，

所以的取值范围是．

所以，的值不可能为

故选：B

12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率.

【详解】不妨设，，

因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．

因为Q在C的左支上，所以，

即，解得，则．

因为，所以，即，

故，

故．

故选：A

二、填空题

13．复数的实部为___________．

【答案】7

【分析】直接利用复数的乘方和复数乘法的运算法则计算即可.

【详解】．故实部为7，

故答案为：7.

14．若某圆柱的底面半径为，母线长为3，则该圆柱的侧面积为___________．

【答案】

【分析】根据圆柱侧面积的计算公式直接计算即可.

【详解】解：由题知圆柱的底面半径为，母线长为，

所以，该圆柱的侧面积为．

故答案为：

15．若满足约束条件，则的取值范围为___________．

【答案】

【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置来求得的范围.

【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示，

要求的取值范围，即求在轴上的截距的取值范围，

数形结合可知当直线过点时在轴上的截距最大，即最小，

过时在轴上的截距最小，即最大，

所以，，

故的取值范围为，

故答案为：

16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为___________．

【答案】52

【分析】由题知数列构成首项为10，公差为的等差数列，进而得，进而根据基本不等式求解即可.

【详解】解：由题知，被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：10，22，34，46，58...

构成首项为10，公差为的等差数列，

所以，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，的最小值为52．

故答案为：52

三、解答题

17．a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．

(1)求C；

(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据正弦定理、余弦定理，结合等比中项的性质进行求解即可.

【详解】（1）根据正弦定理，由，

因为，所以，

于是由

，

因为，所以；

（2）因为c是a，b的等比中项，所以，

因为的周长为6，所以，

由余弦定理可知：

，或舍去，

所以外接圆的半径为.

18．在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，E是的中点，．

(1)证明：平面．

(2)若四棱锥的体积为，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点F，连接，可得，由线面平行的判定定理可得答案；

（2）取的中点O，连接，则，由面面垂直的性质可得平面，设，则求出，连接，由底面是菱形，求出，再由余弦定理可得答案．

【详解】（1）连接交于点F，连接，

因为底面是菱形，所以F是的中点，

又E是的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）取的中点O，连接，则，

因为平面平面，且平面平面，所以平面，

设，则，得，

连接，因为底面是菱形，，所以，且，

因为，所以，

又，所以由余弦定理可得．

19．某加工工厂加工产品A，现根据市场调研收集到需加工量X（单位：千件）与加工单价Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示：

根据表中数据，得到Y关于X的线性回归方程为，其中．

(1)若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；

(2)通过计算线性相关系数，判断Y与X是否高度线性相关．

参考公式：   ，时，两个相关变量之间高度线性相关．

【答案】(1)该公司需要给该加工工厂57200元加工费.

(2)Y与X高度线性相关.

【分析】（1）由线性回归直线方程必过，代入方程与已知联立可得与m的值，进而求得回归方程，代入可得单价，由总加工费等于单价乘以件数可得结果.

（2）计算线性相关系数r，比较与0.9可得结果.

【详解】（1）∵，，

则，

又∵

∴，，

∴，

∵1.1万=11千，

∴当时，（元），

∴（元），

答：估计该公司需要给该加工工厂57200元加工费.

（2）由（1）知，，，，

∴

∴，

∴两个相关变量之间高度线性相关.

20．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)证明：当时，在上存在唯一零点．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）当时，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；

（2）利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.

【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，．

令，得，令，得，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）解：因为，，则．

令，得．因为，所以．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

而，且．

又因为在上单调递增，所以在上有唯一零点．

当时，恒有，在上无零点．

综上，当时，在上存在唯一零点．

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

21．已知椭圆的左，右顶点分别为，左焦点为，．

(1)求的方程；

(2)设直线与交于不同于的两点，且，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆的标准方程和定义求解即可；

（2）设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和向量垂直的坐标表示可得，又，故求的最大值即可.

【详解】（1）设的半焦距为，由，

可得，解得，

因为，

所以C的方程为．

（2）由题意知，直线的斜率不为0，

则不妨设直线的方程为，

联立消去得，

，化简整理得，

设，则，

因为，所以,

因为，所以，

得，

将代入上式，

得，

得，

解得或（舍去）．

所以直线的方程为，则直线恒过点，

所以．

设，则，，

易知在上单调递增，

所以当时，取得最大值．

又，

所以．

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.

【详解】（1）由（t为参数），得，

故曲线C的普通方程为．

由，得，

故直线l的直角坐标方程为．

（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，

设A，B对应的参数分别是，

则，

从而，

故．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集包含，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得到，然后分， ， 求解；

（2）由的解集包含，转化为时，恒成立求解．

【详解】（1）解：当时，，

当时，可化为，

解得，此时；

当时，可化为，

解得，此时；

当时，可化为，

得，不成立，此时无解．

综上：不等式的解集为．

（2）因为的解集包含，

所以当时，恒成立．

当时，可化为，即，

即，则，

由，得，

所以，解得．

综上：a的取值范围为．