2023届陕西省商洛市高三下学期一模数学（文）试题含解析

2023届陕西省商洛市高三下学期一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次、一元一次不等式求集合，根据集合交运算求结果即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：B

2．若a与b均为实数，且，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由复数相等确定参数值，进而求复数的模.

【详解】因为，所以，，

所以.

故选：C

3．已知等差数列满足，，则的公差为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质求解.

【详解】设的公差为d，

因为，解得.

故选:C.

4．某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，四居室住户占.如图2，这是用分层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（    ）

A．

B．被调查的所有市民中四居室住户共有150户

C．用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户

D．用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户

【答案】D

【分析】根据饼图、直方图分析样本总量及四居室住户数，结合分层抽样的性质分析二居室、三居室住户数及满意度即可.

【详解】因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，所以，四居室住户有户，三居室住户有200户，故A，B正确；

用分层抽样的方法抽取的二居室住户有户，故C正确；

用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有户，故D错误.

故选：D

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指对数的性质，注意结合边界值判断a、b、c的大小关系即可.

【详解】因为，，，

所以.

故选：A

6．已知函数的图象经过点，则的图象在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数所过的点得，应用导数的几何意义求的切线方程即可.

【详解】因为函数的图象经过点，

所以，解得，

则，，

所以，，

所求切线方程为.

故选：B

7．已知函数，在上任取一个实数x，使得的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据指数函数的单调性解不等式，再利用几何概型的概率公式即可得解.

【详解】由，得，则所求概率.

故选：A.

8．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数的图象，再把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据图象平移依次写出、的解析式，结合正弦型函数的性质求对称中心，判断各项是否满足要求即可.

【详解】因为，且，

令，则，即图象的对称中心的坐标为，，

显然A、B、C不符合，而时符合.

故选：D

9．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.

【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得.

故选：C

10．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，点M在双曲线C上，且，，则双曲线C的离心率为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】由题设求得，，结合已知数量关系及双曲线参数关系得到齐次方程，即可求离心率.

【详解】因为，又，则，故，即，

所以，又，且，

所以，从而，解得或（舍）.

故选：B

11．若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”.现有一个黄金圆锥，则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意以及勾股定理可得，进而根据圆锥的侧面积以及表面积公式即可求解.

【详解】设该黄金圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为h，则.因为，所以，所以.因为该圆锥的侧面积，表面积，所以，则.

故选：A

12．已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值.

【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时.

故选：D

二、填空题

13．已知向量，，则与夹角的余弦值为___________.

【答案】##

【分析】应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值.

【详解】设与的夹角为，则.

故答案为：

14．设、满足约束条件，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立可得，即点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，

直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.

故答案为：.

15．请写出一个同时满足以下三个条件的函数：___________.

（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的最小值是2.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据给定的函数性质写出一个满足要求的函数解析式即可.

【详解】由为偶函数，在上单调递增，最小值为，满足要求.

故答案为：（答案不唯一）

16．设数列的前n项和为，且，，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】根据 的关系可得，进而由等差数列求和公式求解，由二次函数的性质即可求解最值.

【详解】当时，，即，解得或.因为，所以.

当时，，所以，即，即.因为，所以，所以，即，则，从而，故，当或时，取得最小值，最小值是.

故答案为：

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求角A；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得，再由三角形内角性质、诱导公式得，进而确定角的大小；

（2）根据余弦定理求c，再应用三角形面积公式求面积即可.

【详解】（1）因为，结合正弦定理边角关系，

所以，整理得，

因为，所以，又，所以.

（2）因为，所以，

即，解得，

所以的面积为.

18．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义，广大消费者对环保也是非常的支持，但新能源汽车的售价也是制约消费者是否购买新能源汽车的重要因素.现从某地销售的车（含新能源车和传统燃油车）中随机抽取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，销售价格分为五组，统计后制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求选取的这1000台车中，销售价格的中位数以及销售价格在内的车辆的台数；

(2)从抽取的这1000台车辆中，抽取销售价格在内的车辆，发现其中新能源汽车恰好有2台，再从上面抽取的这几辆车中随机抽取3台，求抽取的这3台车中恰有1台新能源汽车的概率.

【答案】(1)中位数为16.5625，台数为

(2)

【分析】（1）由频率和为1求参数a，根据中位数的性质及直方图求中位数，并确定内的车辆的台数；

（2）求得抽取的新能源车、传统燃油车台数，应用列举法求概率即可.

【详解】（1）由频率分布直方图得，解得.

因为，，所以中位数在内.

设销售价格的中位数为x，则，解得，

即销售价格的中位数为16.5625.

由图知：销售价格在内的频率为，

则样本中销售价格在内的车辆的台数为.

（2）由题意，样本中销售价格在内的车辆有台，则抽取的车辆数量为台，

记其中新能源车为a、b，传统燃油车为c、d、e.

从中随机抽取3台的情况有共10种，

其中符合条件的情况有共6种，

故所求概率.

19．如图，正方形ABCD对角线的交点为O，四边形OBEF为矩形，平面平面ABCD，G为AB的中点，M为AD的中点.

(1)证明：平面ECG.

(2)若，求点M到平面ECG的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接GM，由中位线、矩形性质可得且，即四边形EFMG是平行四边形，进而得到线线平行，再根据线面平行的判定证结论；

（2）利用等体积法,由求点面距即可.

【详解】（1）连接GM，因为G、M分别是AB、AD的中点，

所以GM是的中位线，所以且，

因为O是正方形ABCD的中心，所以.

因为四边形OBEF为矩形，所以且，所以且，

所以四边形EFMG是平行四边形，所以.

因为平面ECG，平面ECG，

所以平面ECG.

（2）连接EM、CM，在中，，

所以，

由四边形OBEF为矩形可知，，

又平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，

所以平面ABCD，即为三棱锥的高，所以.

在中，，所以.

设点M到平面ECG的距离为d，则.

由，可得，解得，

即点M到平面ECG的距离为.

20．已知分别是椭圆的左､右焦点，Q是椭圆E的右顶点，，且椭圆E的离心率为.

(1)求椭圆E的方程.

(2)过的直线交椭圆E于A，B两点，在x轴上是否存在一定点P，使得，为正实数.如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，点

【分析】（1）设椭圆E的半焦距为c，写出点坐标，根据条件计算的值，结合求出，可写出椭圆方程；（2）由条件可知是的平分线，即，设出直线AB的方程，联立椭圆和直线方程，计算可求出点坐标.

【详解】（1）（1）设椭圆E的半焦距为c，则，因为，

所以.

又因为椭圆E的离心率为，所以，

联立方程组，解得

所以，

椭圆E的方程为.

（2）设存在点，使得，则是的平分线，

所以.显然当时一定成立.

当时，设AB的方程为，与椭圆E的方程联立消去x，得.

设，则，.

因为，所以，

即，所以，

所以，

即，即，所以对一切实数m都成立.

故存在点，使得成立.

21．已知函数，其中e为自然对数的底数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)证明：在上有两个零点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程；

（2）构造研究的单调性并确定其零点所在区间，进而判断的单调性，结合零点存在性定理即可证结论.

【详解】（1）因为，所以，则，，

故所求切线方程为，即.

（2）设，则.

显然当时，，当时，，

所以在上单调递增，又，，

所以存在唯一，使.

则当时，，当时，.

故在上单调递减，在上单调递增.

因为，，，

所以在上有两个零点.

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与y轴的交点为D，与曲线C的交点为A，B，求的值.

【答案】(1)直线方程，曲线C的直角坐标方程；

(2).

【分析】（1）消参法写出直线方程，公式法写出曲线方程；

（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到，结合方程两根的几何意义及韦达定理求目标式的值.

【详解】（1）将直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程，得，

因为，所以，

所以，即曲线C的直角坐标方程为.

（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，得，化简得.

设A，B对应的参数分别为，则，，

所以.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式解集即可；

（2）将问题转化为在时恒成立，即可求参数范围.

【详解】（1）当时，.

所以等价于或或，

解得，所以不等式的解集为.

（2）因为，所以等价于，

所以，即，

所以在时恒成立.

所以，解得，即实数a的取值范围是.