四川省阆中中学2022-2023学年高三数学（文）下学期4月月考试题（Word版附解析）

四川省阆中中学2023年春高2020级四月月考

数学试题（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 若复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出复数的共轭复数及模，即可计算作答.

【详解】复数，则，，

所以.

故选：A

2. 已知集合，则集合的子集个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.

【详解】解不等式，得，因此，

所以集合的子集个数为.

故选：C

3. 函数在上的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.

【详解】函数定义域为，

而，且，

即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；

而当时，，排除选项A，选项B符合要求.

故选：B

4. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.

【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，

由题意知，，解得：，

所以圆锥的侧面积为.

故选：A.

5. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出基本事件总数， 再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.

【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，

随机选取两个不同的数，基本事件总数，

其和为奇数包含的基本事件有：，共6个，

所以.

故选：B

6. 已知角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，得到且，结合三角函数的基本关系式，求得和的值，联立方程组，即可求解.

【详解】由，即，

又由，可得，

则，可得，

，可得，

联立方程组，可得.

故选：B.

7. 某校随机抽取了名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：）全部介于至之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论错误的是（   ）

A. 频率分布直方图中的值为

B. 这名学生中体重低于的人数为

C. 据此可以估计该校学生体重的第百分位数约为

D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为

【答案】D

【解析】

【分析】运用频率分布直方图中所有频率和为，求出值，再根据频率分布直方图中的频率、百分位数、平均数的计算公式进行计算.

【详解】对于选项：因为，解得，所以正确.

对于选项：体重低于频率为，所以人数为，所以正确.

对于选项：因为，，

所以体重的第百分位数位于之间，设体重的第百分位数为，

则，解得，所以正确.

对于选项：体重的平均数约为，

所以错误.

故选：.

8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，利用基本不等式可求得直线斜率的最大值.

【详解】易知抛物线的焦点为，设点、，

若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，

设直线的方程为，联立可得，

，由韦达定理可得，则，

故点，，

若直线的斜率取最大值，则，所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故直线斜率的最大值为.

故选：A.

9. 已知函数的图像关于直线对称，则下列结论错误的是（    ）

A. 函数的图像关于点对称

B. 函数在有且仅有2个极值点

C. 若，则的最小值为

D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.

【详解】依题意，，即，而，则，，

对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；

对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有个极值点，

所以函数在有且仅有个极值点，B正确；

对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，

另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；

对于D，依题意，，

则

，因此，D正确.

故选：C

10. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数，，利用导数讨论单调性即可比较大小.

【详解】令，，

当时，，则单调递增，

所以，即，

所以即所以，

令，，

当时，，则单调递减，

所以，即，

即，也即，

所以，所以，所以，

所以，

故选:A.

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

11. 已知双曲线C：，c是双曲线的半焦距，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，，三角换元，用c表示a，b，利用三角函数求得最值，再利用离心率公式直接求出结果.

【详解】因为是双曲线的半焦距，所以，

设，则

，令，

则，

当时，有最大值，

所以，

所以.

故选：A

12. 一般地，对于函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为．若关于的不等式对于任意恒成立，则的最大值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，利用导数研究的最小值，由此列不等式，再利用构造函数法，结合导数来求得的最大值.

【详解】依题意恒成立，即恒成立，

设，，

设，则，所以在上单调递增，

当时，在上递减，没有最小值，不符合题意.

当时，由解得，

所以在区间递减；

在区间递增.

所以的最小值是，

依题意可知，

即，即，

设，

，

所以在区间递增；

在区间递减，

所以的最大值为，

所以的最大值为.

故选：C

【点睛】利用导数求解不等式问题，首先将不等式转化为一边为的形式，然后利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、极值、最值等性质，从而对问题进行求解.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）

13. 已知向量与共线，则__________.

【答案】.

【解析】

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知，

又因为，所以，所以，

所以，所以，

所以.

故答案为：.

14. 若直线与圆相切，则实数_________．

【答案】或

【解析】

【分析】利用几何法列方程即可求解.

【详解】圆可化为.

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，

解得：或7.

故答案为：或

15. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得

求解可得角A的值.

【详解】由已知得，

根据余弦定理和三角形面积公式，

得，

化简为，

由于，所以，

化简得，

   即 ，

解得，或（舍），

由于，所以.

故答案为：

16. 已知正四棱锥的体积为，若其各个顶点都在球表面上，则球表面积的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，球的半径为R，由正四棱锥的体积为 ，得到，再在中，利用 ，得到，然后利用导数法求得半径的最小值求解.

【详解】解：如图所示：

设正四棱锥的底面边长为a，高为h，球的半径为R，

由正四棱锥的体积为 ，得，

中，有 ，即 ，

即 ，化简得 ，

令 ，则 ，

令 ，得，

当 时， ， 在 上递减，

当 时， ， 在 上递增，

所以当 时， 取得最小值 ，此时 ，

所以外接球的表面积为，

故答案为：

三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分

17. 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.当数据a,b,c,的方差最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时的值．

（注：，其中为数据的平均数）

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）0.3;（Ⅲ）时，方差取得最大值8000.

【解析】

【详解】（Ⅰ）厨余垃圾一共有吨，其中投放正确有吨，所以概率为

（Ⅱ）生活垃圾一共有吨，其中投放错误有吨，所以概率为

（Ⅲ）由题意得：

当且仅当时取等号

18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列．

（1）求数列和的通项公式．

（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若__，求数列的前项和．

【答案】（1），   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）确定，得到，解得答案.

（2）若选择①，，若选择②，，若选择③，，分别利用裂项相消法，错位相减法和裂项相消法计算得到答案.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，

根据题意，即， 

解得或（舍），故，，

【小问2详解】

若选条件①：，

；

若选条件②：

，

两式相减得：

整理得到：；

若选条件③：

，

.

19. 如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到、，从而得到平面，即可得证；

（2）解法一：根据面面垂直的性质得到平面，则，再根据锥体的体积公式计算可得；

解法二：由已知可得为正三角形，求出线段的长度，即可得到三棱锥是为棱长为的正四面体，即可得到其所对应的正方体的棱长，即可求出其体积；

解法三：取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH，可证平面，再求出高，最后根据锥体的体积公式计算可得.

【小问1详解】

连接交于点，连接，

因为是菱形，所以，且为的中点，

因为，所以，

又因为，平面，且，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面．

.

【小问2详解】

解法一：由（1）可知，平面平面，

又平面平面，，平面，所以平面，

所以，由已知可得，，

又，且O为BD的中点．所以，，

又，，所以，

所以，，

所以．

解法二：由已知可得：为正三角形，且，，

又，且O为BD的中点，

所以，，又，，所以，

从而，，

所以三棱锥是为棱长为的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，

所以．

解法三：取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．

因为，所以等边三角形，所以，

又因为，，PD，平面PDM，

所以平面，平面，所以，

由（1）知，且，平面，所以平面．

由是边长为2的菱形，

在中，，，

由，在中，，

所以．

所以四棱锥的体积为．

.

20. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设斜率为k直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为、直线与y轴交于点Q．若的面积为2，求k的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由短轴长，即四边形的周长得a，b的值，得椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为，由题，，与椭圆联立方程，得，，表示出的面积，解得k的值.

【小问1详解】

由，得，即，

由四边形的周长为，得，即，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

设直线l的方程为（，），，，

则，，

联立方程组，消去y得，，

，得，

，，

直线的方程为，

令，得，

又因为，

所以，的面积，得，经检验符合题意，

所以k的值为.

21. 设．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）对函数求导，由得出单调递减区间，由得出单调递增区间；

（2）对已知不等式参变分离，并构造，，对函数求导化简，并构造的分子为，求导判断出其单调性和最值，进而得出的单调性和最值，代入可得的取值范围．

【小问1详解】

因为，所以，

由得到，由，得到，

所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．

【小问2详解】

由，即，

∵，∴，∴在上恒成立，

令，，

所以，且，

令，

则，，，

所以在上单减，即，

所以在上单减，即，

所以，即在上单减，即，

所以．即的取值范围为．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4－4：极坐标与参数方程

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的普通方程；

（2）若为曲线上一动点，求到距离的取值范围．

【答案】（1）；x＋y－4＝0，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据曲线的参数方程为，结合三角函数平方关系即可得曲线的普通方程，根据极坐标与普通方程的转化即可得直线的普通方程；

（2）设根据点到直线的距离公式，结合正弦型三角函数的性质即可求到距离的取值范围．

【小问1详解】

由题意可知：，由可得，

所以的普通方程为；

直线可化简为，将代入直线可得x＋y－4＝0，

小问2详解】

设，则到的距离，其中，

∵，∴．

选修4－5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且正数，，满足，证明：．

【答案】（1）或   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先利用绝对值的意义，去绝对值，再求解不等式；

（2）根据绝对值三角不等式求函数的最小值，再结合基本不等式，即可证明.

【小问1详解】

由题意知，

当时，，解得；当时，，不等式无解；

当时，，解得．

综上所述，不等式的解集为或.

【小问2详解】

证明：因为，当且仅当时取等号，

所以的最小值为4，即．

因为，，，所以，

即，当且仅当时取等号，

所以，

因为，所以．