2023届甘肃省高三二模数学（文）试题含解析

2023届甘肃省高三二模数学（文）试题

一、单选题

1．为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的运算律直接求解.

【详解】，

故选：A.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二次不等式的解法解出集合，然后计算集合的交集.

【详解】由，

，

所以，

故选：D.

3．命题：已知一条直线a及两个不同的平面，，若，则“”是“”的充分条件；命题：有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台．则下列为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定是真命题，是假命题，再依次判断每个选项得到答案.

【详解】若，，则，充分性；

若，，不能得到，不必要，故是真命题.

棱台的侧棱延长线需相交于一点，故是假命题.

故为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.

故选：B

4．函数 的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】，排除BC，当时，，当时，，A不满足，排除，得到答案.

【详解】，排除BC；当时，，当时，，A不满足，排除.

故选：D

5．已知椭圆的方程为，离心率，则下列选项中不满足条件的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆离心率的计算公式求解.

【详解】选项:，，则，即，，

故，选项正确；

选项:，，则，即，，

故，选项正确；

选项:，，则，即，，

故，选项不正确；

选项:，，则，即，，

故，选项正确；

故选：.

6．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的．如图所示的三视图是一个鳖臑的三视图，则其分割前的长方体的体积为（    ）

A．2 B．4 C．12 D．24

【答案】D

【分析】根据鳖臑的三视图确定长方体的长宽高，计算体积即可.

【详解】根据鳖臑的正视图得原长方体的长为3，根据鳖臑的俯视图得原长方体的宽为2，根据鳖臑的侧视图得原长方体的高为4，所以长方体的体积.

故选：D

7．n位校验码是一种由n个“0”或“1”构成的数字传输单元，分为奇校验码和偶校验码，若一个校验码中有奇数个“1”，则称其为奇校验码，如5位校验码“01101”中有3个“1”，该校验码为奇校验码．那么4位校验码中的奇校验码的个数是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】列举出所有情况得到答案.

【详解】4位校验码中的奇校验码有：，共8个.

故选：C

8．若，则（    ）

A． B．3 C． D．-3

【答案】C

【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，弦化切后解出即可.

【详解】因为，

所以，

解得：，

故选：C.

9．2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察．在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”．已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度（单位：米）满足关系：（k为常数，为自然对数的底）．若科考队算得A地，海拔8700米的B地，则A地与珠峰峰顶高度差约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设地海拔高度为，珠峰峰顶处海拔高度为，由题意可得，进而可得，进而求解.

【详解】设地海拔高度为，珠峰峰顶处海拔高度为，

由已知可得，则，

所以，即，

所以.

故选：B.

10．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（    ）

A．-1 B．-2 C．1 D．2

【答案】D

【分析】由，，用表示，然后利用数量积的运算律和定义求解.

【详解】解：因为，，

所以，

，

，

所以，

，

，

故选：D

11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点若以为直径的圆经过点，则弦长（    ）

A．8 B．6 C．5 D．4

【答案】A

【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线的方程，取的中点，过作，垂足为，过作，垂足为，由抛物线的定义知，即可得到轴，设，，利用点差法求出，即可求出直线的方程，从而求出点坐标，即可求出弦长.

【详解】抛物线的焦点为，设抛物线的准线为，则，

因为以为直径的圆过点，所以，取的中点，

则，过作，垂足为，过作，垂足为，由抛物线的定义知，

所以，所以为直角梯形的中位线，则轴，

设，，又因为，所以，即．

又，两点在抛物线上，所以①，②，

①-②得：，所以，

所以，由可得即，.

故选：A．

12．若，则以下不等式成立的是（其中e为自然对数的底）（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】确定，设，求导得到为增函数，根据得到，对比选项得到答案.

【详解】可知，

设，，当时，，为增函数，

所以，即，

对选项A：，正确；

对选项B：，即，错误；

对选项C：，则，错误；

对选项D：，错误．

故选： A

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数比较大小，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数并判断函数单调性，得到是解题的关键,

二、填空题

13．为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．

【答案】

【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.

【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，

又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，

设该校共有名学生，可得，解得（人），

即该校共有名学生.

故答案为：.

14．若圆过双曲线 的实轴顶点，且圆与直线相切，则该双曲线的渐近线方程为______．

【答案】

【分析】由题可知，利用圆心到直线的距离等于半径可得的值，从而可得双曲线的渐近线方程.

【详解】圆的圆心，半径为

因为圆过双曲线 的实轴顶点，所以，

又圆O与直线相切，所以，则，所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

15．已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．

【答案】6

【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解.

【详解】，的周期，

如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6.

故答案为：6.

三、双空题

16．我国古代数学名著《孙子算经》卷下的第26题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此题所表达的数学涵义是：一个正整数，被3除余2，被5除余3，被7除余2，这个正整数是多少？这就是举世闻名的“中国剩余定理”．若分别将所有被3除余2的正整数和所有被7除余2的正整数按从小到大的顺序组成数列和，并依次取出数列和的公共项组成数列，则______；若数列满足，数列的前项和为，则______．

【答案】         

【分析】依题意可知是首项为，公差为的等差数列，即可求出的通项公式，即可得到，则，再利用裂项相消法求和即可.

【详解】依题意可知是首项为，公差为的等差数列，故其通项公式为，

所以，

所以，

则．

故答案为： ，

四、解答题

17．的内角的对边分别为，，且______．

(1)求的面积；

(2)若，求．

在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得 ，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；

（2）由正弦定理得即可求得的值.

【详解】（1）若选①，由余弦定理得，整理得，则，

又，则，，则；

若选②，则，又，则，

又 ，得，则；

（2）由正弦定理得：，则，则，．

18．某省农科院为支持省政府改善民生，保证冬季蔬菜的市场供应举措，深入开展了反季节蔬菜的相关研究，其中一项是冬季大棚内的昼夜温差x（℃）与反季节蔬菜种子发芽数y（个）之间的关系，经过一段时间观测，获得了下列一组数据（y值为观察值）：

(1)在所给坐标系中，根据表中数据绘制散点图，并判断y与x是否具有明显的线性相关关系（不需要说明理由）；

(2)用直线l的方程来拟合这组数据的相关关系，若直线l过散点图中的中间点（即点（10，26）），且使发芽数的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的平方之和最小，求出直线l的方程；

(3)用（2）中求出的直线方程预测当温度差为15℃时，蔬菜种子发芽的个数．

【答案】(1)y与x有明显的线性相关关系

(2)

(3)35

【分析】（1）作出数据分布的散点图，根据散点图知五个点明显分布在某条直线的附近，即可得到结论；

（2）设直线的方程，求得纵坐标分别为，，，，利用方差的公式，结合二次函数的性质，求得的值，即可求解；

（3）由直线的方程为，令，求得的值，即可得到预测结果.

【详解】（1）解：作出数据分布的散点图，如图所示，由散点图知五个点明显分布在某条直线的附近，

因此由散点图可以判断y与x有明显的线性相关关系．

（2）解：设直线的方程为，即，

则五个x值对应的直线l上的纵坐标分别为，，，，

若设观察值与纵坐标差的平方和为D，

则，

所以当时D取最小值，此时直线l的方程为．

（3）解：由直线的方程为，

令，可得（个），

所以可预测当温度差为时，蔬菜种子发芽的个数约为35．

19．已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若，，分别为，的重心．

(1)求证：平面；

(2)当时，求到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）延长交于，延长交于，根据等分点与三角形底边平行关系先证明线线平行，再证明线面平行；

（2）因为，设到平面的距离为，到平面的距离，则，然后利用等体积法求出即可.

【详解】（1）延长交于，延长交于，如图所示：

因为分别为和的重心，

所以分别为的中点，且，

又因为底面为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）设到平面的距离为，到平面的距离，

由（1）可知：，则，

由题意可得：，平面，平面，

故平面，

因为在棱上，

所以到平面的距离等于到平面的距离，

因为底面，底面，可得，

又因为，，平面，

所以平面，且平面，故，

由题意可知：，

从而，

在等腰中，可得，

对于三棱锥的体积可得：，

则，解得，

故到平面的距离为.

20．已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．

①证明：直线CD过椭圆右焦点；

②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②定值为8.

【分析】（1）由题意可得，，，设，可得，进而根据题意即可求解；

（2）①设，联立直线和椭圆方程，求得，，进而得到，，再根据向量共线的定义即可得证；②根据椭圆的定义即可求解.

【详解】（1）由已知得：，，，

设，因为M在椭圆上，所以①

因为，

将①式代入，得，得，

所以椭圆．

（2）①证明：设，则，，

同理可得，，

联立方程，得，，

则．

同理联立方程，可得，，

则.

又椭圆的右焦点为，

所以，，

因为，

说明C，D，三点共线， 即直线CD恒过点．

②周长为定值．因为直线CD恒过点，

根据椭圆的定义，所以的周长为．

21．已知函数．

(1)当时，求的零点个数；

(2)设函数，讨论的单调性．

【答案】(1)2

(2)答案见解析

【分析】（1）求导得到单调区间，计算，确定，，得到零点个数.

（2）求导得到导函数，考虑和两种情况，设，根据二次函数根的分布得到函数的单调区间，分类讨论计算得到答案.

【详解】（1）当时，，则，

当，，函数在上单调递减；

当，，函数在上单调递增，

所以，

又，，

所以存在，，使得，

即的零点个数为2．

（2）函数，定义域为，，

当时，，函数在上单调递增；

当时，令，由于，

①当时，，，函数在单调递减；

②当时，，，，函数在上单调递减；

③当时，，设，是方程的两个根，且，

则，，

由，

当时，，，函数在上单调递减；

当时，，，函数在上单调递增；

当时，，，函数在上单调递减，

综上所述：

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，函数在，上单调递减，在上单调递增．

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，求函数的单调区间，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键，分类讨论的方法是常考的方法，需要熟练掌握.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，且），为曲线上任意一点，若将点绕坐标原点顺时针旋转得到点，点的轨迹为曲线．

(1)以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；

(2)已知点，直线与曲线交于，两点，求的值．

【答案】(1)，其中

(2)

【分析】（1）将的参数方程转化为普通方程，再转化为基座不服从，设点的极坐标，表示点的极坐标，代入的极坐标方程，化简；

（2）根据直线参数方程的几何意义直接求值.

【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数，且）可知的普通方程为，，

曲线是以为圆心，为半径的圆在轴及上方的部分．

故曲线的极坐标方程：，，

又因为点为曲线上任意一点，将点绕坐标原点顺时针旋转得到点，

设点，则点，代入曲线得到，

所以曲线的极坐标方程为，其中；

（2）由（1）的极坐标方程为，，

得其直角坐标方程为，，

因为直线经过点，

故设过的直线的参数方程为：（为参数），

代入曲线的普通方程得：，

此方程的两个根，为，两点对应的参数，

且，，

所以，，

所以．

23．已知

(1)求不等式的解集；

(2)若，且，恒成立，求m的最大值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）考虑，，，解不等式得到答案.

（2）计算，，得到，确定，变换，得到答案.

【详解】（1），

当时，，得，故；

当时，，得，故；

当时，由，得，此时无解.

综上所述：原不等式的解集是．

（2），故，，，则，

，

，故，，

，故m的最大值为2．