2023届齐鲁名校高三第二次质量检测数学跟踪测试题含解析

这是一份2023届齐鲁名校高三第二次质量检测数学跟踪测试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届齐鲁名校高三第二次质量检测数学跟踪测试题

一、单选题
1．复数(为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：利用复数的运算法则，共轭复数的定义和几何意义即可求解.
详解：由题意，复数的共轭复数为，
又由在复平面内对应的点在第三象限，所以，解得，
即实数的取值范围是，故选C.
点睛：本题主要考查了复数的运算及复数的表示，其中熟记复数的运算法则，正确化简求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为（    ）
A．8 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【分析】由补集与子集的概念求解，
【详解】由题意当时，，当时，，
当时，，当时，，元素5与7没有限制，
则集合的个数等于的子集个数，集合有个子集，
集合可以为：，， ，，，，，，
，，，，，，，，共16个，
故选：B
3．设随机变量服从正态分布，若，则（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正态分布的对称即可求解
【详解】∵随机变量服从正态分布，，
∴，
故选：A.
4．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ）
A．336 B．210 C．216 D．120
【答案】B
【解析】由题意知本题需要分类解决，共有两种情况，对于6个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．
【详解】解：由题意知本题需要分类解决，
对于6个台阶上每一个只站一人有种；
若有一个台阶有2人另一个是1人共有种，
根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分类计算原理，关键如何分类，分类要做到不重不漏，属于中档题．
5．能使命题“给定个非零向量(可以相同)，若其中任意个向量之和的模等于另外个向量之和的模，则这个向量之和为零向量”成为真命题的一组､的值为（    ）
①，②，③，④，
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】记，依题意可得，将两边平方再累加即可得到，从而得解；
【详解】解：记，
则，
其中，规定，
对上式两边平方得，，
累加得，
所以时，必有，
故选：D.
【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属于中档题.
6．若sin2α﹣sin2α＝0，则cos（2α）＝（    ）
A．1 B． C． D．±
【答案】D
【分析】由已知结合二倍角公式可求sinα＝0或tanα＝1，然后分类讨论，结合同角基本关系即可求解．
【详解】解：因为sin2α﹣sin2α＝0，
所以sinαcosα﹣sin2α＝0，
所以sinα＝0或sinα＝cosα，
当sinα＝0时，
cos（2α）（cos2α﹣sin2α），
当sinα＝cosα即tanα＝1时，cos（2α）（cos2α﹣sin2α），
（cos2α﹣sin2α﹣2sinαcosα），
（）．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题以三角函数为背景，主要考查了三角恒等变换，考查了运算求解能力，考查了数学运算的核心素养，解题的关键是灵活运用三角函数公式，属于中档题．
7．在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】取线段的中点为，连接，首先证明平面平面，然后可得点的轨迹是线段，然后可求出答案.
【详解】
取线段的中点为，连接，
因为侧面为矩形，D是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，因为，所以平面平面，
因为M是四边形内的动点，平面ABD，
所以点的轨迹是线段，
因为，，所以，，
所以线段长度的最小值为.
故选：D
8．给出定义：对于含参的关于自变量的不等式，使其在定义域内恒成立的一组参数称为这个不等式的一组“解”，以圆括号的形式来表示.例如：使不等式在实数范围内恒成立的一组“解”可以是，则对于定义域为的不等式而言，下列说法中正确的是（    ）
A．该不等式的一组“解”不可以是
B．该不等式的一组“解”可以是
C．当时总能找到、使其成为不等式的一组解
D．当时总能找到、使其成为不等式的一组解
【答案】D
【解析】设，利用导数证明恒成立可判断A选项的正误；证明不恒成立可判断B选项的正误；利用极限思想可判断C选项的正误；取，，利用导数证明在上恒成立，可判断D选项的正误.
【详解】令，且有.
对于A选项，当，时，函数，则.
令，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
所以，函数在处取得最小值，即，A选项错误；
对于B选项，当，，时，，，
所以，函数在上单调递增，当时，，
所以，不等式在上不恒成立，B选项错误；
对于C选项，当时，且当时，，此时，
则不等式在上不恒成立，C选项错误；
对于D选项，当时，取，，
则，，，
，令.
当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.
所以，，
则函数在上单调递增，当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.
所以，，D选项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查导数中的新定义，本质就是利用导数证明函数不等式，难度较大，需要多次求导，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

二、多选题
9．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为，，则（    ）
A．
B．以AB为直径的圆与直线相切
C．的最小值
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
【答案】ABD
【分析】联立直线l与抛物线，利用韦达定理可判断A；
取AB中点M即为圆心，分别过A、B、M作直线的垂线，由抛物线定义得M到直线的距离等于AB距离的一半，判断B；
，韦达定理结合点满足抛物线方程，化简计算即可判断C；
写出两条直线方程并联立求出交点坐标，结合前面结论化简交点纵坐标，即可判断D．
【详解】解：由抛物线，知焦点，
由题意知直线l斜率存在，设直线l方程为，
联立，消x得，
所以，故A正确；
设AB中点为M，M为以AB为直径的圆的圆心，
又是抛物线的准线，利用抛物线定义，
分别过A、B、M作直线的垂线，垂足分别为、、，
得，
由抛物线定义知，即，
故B正确；
联立直线l与抛物线，得，，
因为，
所以
，
即
；
故C错误；
经过点B与x轴垂直的直线为
直线OA为，
联立得交点，
因为，
则；
所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线．
故D正确．
故选：ABD．
10．已知函数（）在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（    ）
A．函数的最小正周期
B．函数在上存在，，满足
C．函数在单调递增
D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】设在有且仅有3个零点，，，且.
A，最小正周期即可判断；
B，取，，满足，，即可判断；
D，结合正弦函数的零点，计算可得函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，再列出不等式，解之即可判断；
C，由选项D可知，可取，此时，比较和的大小即可判断.
【详解】解：设在有且仅有3个零点，，，且，
对A，最小正周期，即A正确；
对B，在上存在，，满足，，所以可以成立，即B正确；
对D，令，，则函数的零点为，，
所以函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，
因为函数在有且仅有3个零点，所以，解得，即D正确；
对C，由D选项可知，，不妨取，此时，
所以，，即，并不满足在单调递增，即C错误.
故选：ABD.
【点睛】本题考查三角函数的性质，结合正弦函数性质，只要把作为一个整体，与正弦函数对比即可得出相应性质．
11．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数，下列说法正确的是(    )
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知，则是间隔递增数列
C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
【答案】BCD
【分析】设等比数列的公比为，则，当时，，可判断A；，令，利用其单调性可判断B；，分n为奇数、偶数两种情况讨论可判断C；若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，问题转化为对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立，求解可判断D．
【详解】设等比数列的公比为，则．
因为，所以当时，，故A错误；
，令，则在上单调递增，
令，解得，此时，，故B正确；
，
当n为奇数时，，存在，使成立；
当n为偶数时，，存在，使成立．
综上是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确；
若是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则，成立，
则对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立．
即对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立，
所以，且，解得，故D正确．
故选：BCD.
12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）
A． B．函数的图象关于对称
C． D．
【答案】AC
【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，，判断C，D．
【详解】因为为奇函数，所以，取可得，A对，
因为，所以；
所以，又，，
故，所以函数的图象关于点对称，B错，
因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，所以，
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为4的函数，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；
因为，所以，，
所以，故函数为周期为4的函数，
所以函数为周期为4的函数，
又，，，，
所以，
所以
，C对，
故选：AC.
【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若，则函数关于对称；
若，则函数关于中心对称；
若，则是的一个周期

三、填空题
13．已知曲线的某条切线过原点，则此切线的斜率为__________．
【答案】
【分析】设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．
【详解】解：设切点坐标为，
，，
切线的斜率是，
切线的方程为，
将代入可得，，
切线的斜率是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．
14．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
③若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则
④双曲线与椭圆有相同的焦点.
其中真命题的序号为________________（写出所有真命题的序号）．
【答案】③④
【解析】①分析与的大小关系即可判断轨迹是否为双曲线；②根据到两定点距离之和的大小情况判断轨迹是否为椭圆；③根据题设要求列出不等式组求解出的范围即可进行判断；④计算出椭圆与双曲线的焦点坐标即可判断对错.
【详解】①当大于时，此时点的轨迹不存在，故错误；
②当到两定点的距离之和等于常数时（常数为两定点的距离），此时轨迹是两定点连成的线段，故错误；
③因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以，故正确；
④双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故正确.
故答案为：③④.
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义辨析、利用方程表示的图形求解参数、焦点坐标的求解，属于综合性问题，难度一般.判断点的轨迹是否为椭圆或双曲线，注意对其中细节的把握.
15．已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】将变形为，由此设函数，说明其在上单调递减，将化为，即，利用函数单调性即可求得答案.
【详解】由题意当时，有，即，
即，
故令，则当时，，
则在上单调递减，
由于，而，
即有，即，
所以 ，
即实数a的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.
16．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .

【答案】
【详解】
作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中点F，
连接EF，则EF⊥BC，EF=2，，四面体ABCD的体积，显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=，所以.
[评注] 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天！


四、解答题
17．已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．
(1)若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；
(2)若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．
【答案】(1)4
(2)d∈[0，1]．

【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；
（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．
【详解】（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，
∴公比q＝，则，
∴；
（2）若{an}是等差数列，
则，
即（3﹣2n）d≤1，
当n＝1时，d≤1；
当n≥2时，恒成立，
∵，
∴．
综上所述，．
18．设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.
(1)求的单调区间；
(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.
【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是
(2)4

【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；
（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.
【详解】（1），由已知得，
得，解得．
于是，
由，得或，由，得，
可知是函数的极大值点，符合题意，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由（1）知，
因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，
又，
所以的最大值为，解得.
19．全国糖酒商品交易会将在四川举办.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下数据：
举办次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会人数（万人）
11
9
8
10
12
原材料（袋）
28
23
20
25
29

（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）若该店现有原材料12袋，据悉本次交易会大约有13万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？
（参考公式：，）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）20袋.
【分析】（Ⅰ）利用最小二乘法求关于的线性回归方程；（Ⅱ）由，得，
即得该店应至少再补充原材料31.9-1220袋.
【详解】（Ⅰ）由数据，求得， ，
， ，   
由公式，求得，，
关于的线性回归方程为.  
（Ⅱ）由，得，
而，
所以，该店应至少再补充原材料20袋.
【点睛】本题主要考查利用最小二乘法求回归方程，考查利用回归方程预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．如图，平面，矩形，，，.
(1)求证：平面；
(2)求几何体的体积

【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）证线面垂直，先由线线垂直入手，证明，，最终得到线面垂直；
（2）几何体的体积，分割成两个棱锥的体积计算即可．
【详解】（1）
证明：过作，垂足为，
∵平面，平面，
∴，
又，，
∴，，
∵， ，
∵平面平面，
平面
（2），
又平面，平面，所以平面平面，且平面 ，，平面，
∴ 平面，

此几何体的体积
21．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即

，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
[方法二]【最优解】：
设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
[方法三] ：点差和判别式法
设，其中．
因为所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式．    ①
由得．
因此，将此式代入①式解得．
当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．
[方法四]：参数法
设，
由，得．
令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．
所以，此时M坐标为．
22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）证明:.
【答案】（1）（2）见解析
【详解】分析：（1）求出函数的导数，得到关于的方程组，解出即可；
（2）把问题转化为，设，根据函数的单调性证明即可.     
详解：（1）解：由已知得，
因为，所以.
（2）证明：由（1）知，
所以.
设，，要证，即要证在恒成立.
因为，所以在上为增函数，在上为减函数，
所以.①
又，所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.②
由于不等式①，②不能同时取等号，故，
所以，成立.      
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.