2023届浙江省嘉兴市平湖市高三下学期3月模拟数学试题含解析

2023届浙江省嘉兴市平湖市高三下学期3月模拟数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式求得集合，由此求得.

【详解】，解得，

所以，

所以.

故选：D

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，根据复数运算化简后，由复数相等求解即可.

【详解】设，则，

由，可得，即，

所以，且，解得，

所以.

故选：C.

3．等边的边长为3，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解.

【详解】

如图，取中点，建立直角坐标系，则，

由，若，则，

所以得：，

由，若，则，

所以得：，

所以，故.

故选：A

4．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（    ）

A．8 B．6 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.

【详解】如图所示，原长方体，

设矩形的面积为，，

鳖臑的体积为，

即，所以，

即原长方体的体积是.

故选：B

5．数列的前项和为，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断出数列是等比数列，进而判断出数列是等比数列，从而求得数列的前项和.

【详解】依题意，设数列的前项和为，即，

当时，，

当时，由得，

两式相减得，

也符合上式，所以，

，所以数列是等比数列，首项为，公比为.

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以数列的前项和为.

故选：D

6．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设出点坐标，由进行化简，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】对于直线，

即，所以在直线上，

设，其中，

由两边平方得，

即，

整理得，

由于，所以

，其中，

根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，

且最大值为，则，解得.

故选：A

7．若一个三位数的各个数位上的数字之和为8，则我们称是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（    ）

A．34个 B．35个 C．36个 D．37个

【答案】C

【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.

【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，

其中三个数不同且都不为0可排出个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出个“叔同数”， 008只能排出一个“叔同数”，

所以它们排出的“叔同数”的个数共有，

故选：C

8．定义在上的函数满足，若，且对，，均有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用赋值法求得，根据抽象函数关系式找到规律求得.

【详解】由，

令得①，

由，

令得；

令得，

即或，

当时，代入①得，无解；

当时，代入①得，

解得（负根舍去），则.

由，

令得，解得；

令得，解得；

令得，解得，

……以此类推，

由于，所以.

故选：C

【点睛】根据抽象函数关系式求函数值，特别是与年份有关的函数值，可以利用赋值法进行求解.在求解的过程中，要多次尝试，找到规律，从而求得所求的函数值.

二、多选题

9．已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．方程有唯一实根

【答案】AC

【分析】根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC，由数形结合判断D.

【详解】，故，故A正确；

因为，所以，故B错误；

因为，故C正确；

，即，作出与图象，如图

由图象可知，与图象有两个不同的交点，故方程有两个实根，故D错误.

故选：AC

10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．在上单调递增 D．在上有且仅有四个零点

【答案】BD

【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案.

【详解】由图可知，，

所以，

，所以，

，

由于，所以，A选项错误.

所以，

当时，，所以，B选项正确.

当时，，

所以在上单调递减，C选项错误.

当时，，

所以当时，，

即在上有且仅有四个零点，D选项正确.

故选：BD

11．已知椭圆，，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（    ）

A．若直线与的斜率分别为，，则

B．直线与轴垂直

C．

D．

【答案】ABC

【分析】设，由斜率公式及点在椭圆上可得判断A，联立直线的方程求出、坐标，由条件可得即可判断B，求出中点在上，即可判断CD.

【详解】如图，

设，则，故A正确；

直线的方程为，直线的方程为，联立得，即，

同理可得，因为，所以，所以，则直线与轴垂直，故B正确；

同理，所以，故的中点在直线上，故C正确；D错误，

故选：ABC.

12．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（    ）

A．线段的长为

B．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为

C．三棱锥的体积为

D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是

【答案】BC

【分析】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，作出图形在正六边形中求出判断A，求出正六边形面积判断B，由等体积法求出三棱锥体积判断C，分析与所成角的最大最小值判断D.

【详解】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，如图，

在正六边形中，，点到的距离为，，

所以，故A错误；

正六边形的面积，故B正确；，故C正确；

、、为球的切线，故当为中点时，与所成角最小为0，

，所以，

当与球相切且P在平面OAC内时，与所成角最大为，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．的展开式中含项的系数为______.

【答案】

【分析】分项求解，当第一个因式取时，第二个因式取含的项；第一个因式取时，第二个因式取含的项，进而得解.

【详解】的展开式通项，

令，得；令，得，

故的展开式中含项的系数为.

故答案为：.

14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】求出函数的导数，问题转化为和在上有2个交点，根据函数的单调性求出的范围，从而求出的范围即可．

【详解】，

若函数有两个极值点，

则和在上有2个交点，

，

时，即，递增，时，，递减，

故（1），而时，恒成立，时，恒成立，

所以，

故答案为：．

15．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.

【答案】350

【分析】根据频率分布直方图及平均值计算出，再根据由频率分步直方图求百分位数的方法求解.

【详解】由题意可得，解得，

由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.

故答案为：350

16．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线分别交两条渐近线于，两点，若且，则的离心率为______.

【答案】2

【分析】设直线的方程为，通过联立方程组的方法求得的坐标，进而求得中点的坐标.对进行分类讨论，由化简求得双曲线的离心率.

【详解】设直线的方程为，由得，

同理可得，所以的中点

因为，所以

（1）当时，轴，此时，，

又由得，即

所以，这与矛盾，不合题意，所以

（2）当时，则，即，

则，即，

又由得

，

化简得，所以，所以.

由（1）（2）可知，双曲线的离心率为2.

故答案为：2

【点睛】求解直线和直线、直线和圆锥曲线的交点的问题，可通过联立方程组来进行求解.求解双曲线的离心率问题，有两个思路，一个是求得，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得或的关系式，由此来求得双曲线的离心率.

四、解答题

17．糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：

(1)从400个糟蛋中任取一个，记事件表示取到的糟蛋是优等品，事件表示取到的糟蛋来自于工厂甲.求；

(2)依据小概率值的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生产的糟蛋质量有差异？

附：参考公式：，其中.

独立性检验临界值表：

【答案】(1)

(2)认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异

【分析】（1）根据条件概率的知识求得.

（2）先绘制列联表，然后计算的值，从而作出判断.

【详解】（1）.

（2）列联表：

零假设为：两家工厂生产的糟蛋质量没有差异.

，

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异.

18．已知数列是等差数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列列出方程求出，平方即可得解；

（2），裂项后相加相消即可得解.

【详解】（1）设，等差数列的公差为，

其中，，∵即，∴

∴，即

故数列的通项公式为.

（2）

∵

∴

∴.

19．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.

(1)求角的大小；

(2)设是边上的高，且，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得的大小.

（2）利用余弦定理、基本不等式求得的最小值，进而求得面积的最小值.

【详解】（1）法一：左边，

右边，

由题意得

，即，

又因为，所以.

法二：左边，

右边，

由题意得，

又因为，所以.

（2）由，

由余弦定理得，

，

，当且仅当时取“等号”，

而，故

20．如图在三棱柱中，为的中点，，.

(1)证明：；

(2)若，且满足：______，______（待选条件）.

从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值.

①三棱柱的体积为；

②直线与平面所成的角的正弦值为；

③二面角的大小为60°；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）通过证明平面来证得.

（2）先选择条件，然后根据所选条件，利用几何法或向量法求得二面角的正弦值.

【详解】（1）在三棱柱中，由题意可得，，，

∴，又∵，∴，

同时在中，∵，，∴，

∵平面，

∴平面，

又∵平面，∴.

（2）∵，且，∴平面，

方案一：选择①③

∵平面，∴，，

∴为二面角的平面角，即，

∴，又∵三棱柱的体积为，∴.

法一：取的中点为，连接，，过作于点，连接，

∵平面，∴平面，

又∵，由三垂线定理可得，

∴为二面角的平面角，

其中，，，则，

由于二面角的平面角与二面角的平面角互补，

故二面角的正弦值为.

法二：过作，过作，过作交于点，连接，

∴为二面角的平面角，其中，，，

∴，故二面角的正弦值为.

法三：如图所示，建立空间直角坐标系，

设平面的一个法向量为，且，，

则，令，则，，故，

设平面的一个法向量为，且，，

则，

令，则，，故，

，故二面角的正弦值为.

方案二：选择①②；

解析：过点作于点∵平面平面，，

∴平面，故直线与平面所成角为，且，

设，，则，即，.

余下解法参考方案一.

方案三：选择②③；

∵平面，∴，，

∴为二面角的平面角，即，

过点作于点，

∵平面平面且交线为，，平面，

∴平面，故直线与平面所成角为，且.

设，则，即.

余下解法参考方案一.

21．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据建立方程求出得解；

（2）由直线方程求出的坐标，计算，设是以线段为直径的圆上任意一点，根据化简，根据对称性令可得解.

【详解】（1）设，，，

则联立得，

所以，所以，

又，，所以

由得，

即

所以，化简得，又，

所以，所以抛物线的方程为.

（2）由（1）知，，，

所以，，易得，，

由题意知，，

所以令得，，

即，，

所以

设是以线段为直径的圆上得任意一点，则有，

即，

由对称性令得，所以或

所以以线段为直径的圆经过定点，定点坐标为与.

【点睛】关键点点睛：求出的点的坐标，计算出为定值，是解题的关键之一，其次写出以为直径的圆的方程，根据圆的方程，由对称性，令求定点是解题的关键.

22．已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有三个零点，，，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）先判断出，将转化为，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

【详解】（1）由，可知定义域，

，令，则，

①当时，，则成立，即成立，

所以在上单调递增；

②当时，令，得，记，

，当变化时，，的变化情况如下表

所以在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增.

（2）因为函数有三个零点，，，

不妨设，所以，

即在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增.

由，知，故，

因为，

所以，即，

因此，

令，

所以，令，

则在上单调递减，且，

，成立，

所以在上单调递减，且，因此，

则，

所以.

【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，要在定义域的范围内求解单调性.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可结合二次函数的知识来进行.