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2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷
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这是一份2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷，共23页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷
一．选择题（每题3分，324分）
1．（3分）﹣4的绝对值是（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
2．（3分）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
4．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（3分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
6．（3分）已知＝，则＝（ ）
A．﹣17 B．﹣1 C． D．17
7．（3分）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝kx﹣1（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点（2，3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
8．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
二、填空题（每题3分，30分）
9．（3分）分解因式：4x2﹣16＝ ．
10．（3分）我国去年粮食产量约为15700亿斤，历史新高，其中15700亿斤用科学记数法表示为 亿斤．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为 ．
13．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是 ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 ．
16．（3分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2.5m，当α＝55°时，人字梯顶端离地面的高度AD为 m．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）
17．（3分）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为 ．
三、解答题（96分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2022+|﹣3|﹣（）﹣1+；
（2）x2+4x+2＝0．
20．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
21．（8分）如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC＝∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD＝10，DC＝8，求AC的长．
22．（10分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
23．（8分）校园歌手大赛中甲、乙、丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲第一个出场的概率是 ；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法求甲比乙先出场的概率．
24．（10分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
25．（8分）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
26．（12分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）．
x（亩）
20
25
30
35
y（元）
1800
1700
1600
1500
（1）请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；
（2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W（元）的最大值．
27．（12分）问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
28．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一．选择题（每题3分，324分）
1．（3分）﹣4的绝对值是（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
【解答】解：|﹣4|＝4．
故选：C．
2．（3分）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，是一列两个全等的矩形．
故选：B．
3．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
【解答】解：长方形，正方形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：D．
4．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝40°．
故选：B．
5．（3分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【解答】解：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠D＝∠B＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．
故选：D．
6．（3分）已知＝，则＝（ ）
A．﹣17 B．﹣1 C． D．17
【解答】解：∵＝，
∴＝，
设＝＝k，则a＝3k，b＝4k，
∴＝＝﹣17．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝kx﹣1（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点（2，3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【解答】解：根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为y＝kx﹣1+2，
将点（2，3）代入y＝kx+1，
得2k+1＝3，
解得k＝1，
故选：A．
8．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
【解答】解：由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，
过点B作BH⊥DC于点H，
设CH＝x，则DH＝8﹣x，
则BH2＝BC2﹣CH2＝BD2﹣DH2，即：BH2＝42﹣（8﹣x）2＝62﹣x2，
解得：BH＝，
则a＝y＝S△ABP＝DC×HB＝×8×＝3，
故选：A．
二、填空题（每题3分，30分）
9．（3分）分解因式：4x2﹣16＝ 4（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：4x2﹣16，
＝4（x2﹣4），
＝4（x+2）（x﹣2）．
故答案为：4（x+2）（x﹣2）．
10．（3分）我国去年粮食产量约为15700亿斤，历史新高，其中15700亿斤用科学记数法表示为 1.57×104 亿斤．
【解答】解：15700＝1.57×104．
故答案为：1.57×104．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤ ．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
12．（3分）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为 120° ．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×4＝，
解得n＝120，
即侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为：120°．
13．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 ．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2种，所以概率是＝．
故答案是．
14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是 124° ．
【解答】解：∵∠AOC＝112°，
∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，
故答案为：124°．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 s＞1且s≠4 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），y1＞y2＞t，
∴该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，
∴s＞1且s≠4，
故答案为：s＞1且s≠4．
16．（3分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2.5m，当α＝55°时，人字梯顶端离地面的高度AD为 2.05 m．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）
【解答】解：在Rt△ACD中，
∵sin∠ACD＝，AC＝2.5m，∠ACD＝a，
∴AD＝sin∠ACD×AC
＝sin55°×2.5
≈0.82×2.5
＝2.05（m）．
故答案为：2.05．
17．（3分）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 1
【解答】解：∵+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为 5或 ．
【解答】解：当△B'MC为直角三角形时，
①当∠B'CM＝90°时，
∵N为AB中点，AB＝10，
∴，
∵NB'＜AD，即5＜12，
点B的对应点B'不能落在CD所在直线上，
∴∠BCM＜90°，故该情况不存在；
②如图，
当∠CMB'＝90°时，∠BMB'＝90°，
由折叠的性质得：∠BMN＝∠B′MN＝45°，
∵∠B＝90°，
∴∠BNM＝∠B'MN＝45°，
得；
③如图，
当∠CB'M＝90°时，
∴∠NB'M＝∠CB'M＝90°，故N，B'，C三点共线，
设BM＝B'M＝x，则CM＝12﹣x，
在Rt△NBC中，
，
则B'C＝NC﹣B'N＝8，
在Rt△B'MC中，
由勾股定理可得B'M2+B'C2＝MC2，
即x2+82＝（12﹣x）2，
解得，即．
综上所述，满足条件的BM的值为5或．
故答案为：5或．
三、解答题（96分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2022+|﹣3|﹣（）﹣1+；
（2）x2+4x+2＝0．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣﹣3+3
＝4﹣；
（2）∵x2+4x+2＝0，
∴x2+4x＝﹣2，
则x2+4x+4＝﹣2+4，即（x+2）2＝2，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
20．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．（8分）如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC＝∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD＝10，DC＝8，求AC的长．
【解答】解：（1）∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA；
（2）∵△CAD∽△CBA，
∴，
∴，
∴AC＝12．
22．（10分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：6÷15%＝40（名），40×30%＝12（名），
答：参加这次调查的学生总人数是40名，选择“冰壶”的学生人数是12名；
（2）360°×＝36°，
答：“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数是36°；
（3）根据题意得：1200×＝540（名），
答：最喜欢“短道速滑”的学生有540名．
23．（8分）校园歌手大赛中甲、乙、丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲第一个出场的概率是 ；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法求甲比乙先出场的概率．
【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，
∴P（甲第一位出场）＝，
故答案为：；
（2）画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，
∴P（甲比乙先出场）＝＝．
24．（10分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠BAD＝∠BAE，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠OAB，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∴tan∠C＝tan∠BAD，
∵AD＝2BD，
∴＝＝，
∵∠E＝∠E，∠EAB＝∠C，
∴△ABE∽△CAE，
∴＝＝，
∵EC＝4，
∴AE＝2．
25．（8分）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【解答】解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．
答：改善后滑板会加长1.66米．
26．（12分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）．
x（亩）
20
25
30
35
y（元）
1800
1700
1600
1500
（1）请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；
（2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W（元）的最大值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将x＝20、y＝1800和x＝30、y＝1600代入得：，
解得：，
∴y＝﹣20x+2200，
（2）当0＜x≤15时，W＝1900x，
∴当x＝15时，W最大＝28500元；
当15＜x≤50时，W＝（﹣20x+2200）x
＝﹣20x2+2200x
＝﹣20（x﹣55）2+60500，
∵x≤50，
∴当x＝50时，W最大＝60000元，
综上，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W的最大值为60000元．
27．（12分）问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
【解答】问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；
尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝∠CDF＝30°，
∴CF＝DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，
∴；
拓展创新
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD＝AB＝1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠PAC＝90°，PA＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴∠PAE＝∠CAD，
∴△CAD≌△PAE（SAS），
∴PE＝CD＝1，
∵AB＝2，AE＝AD＝1，
∴BE＝＝＝，
∴BP≤BE+PE＝+1，
当且仅当P、E、B三点共线时取等号，
∴BP的最大值为+1．
28．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
∴代入二次函数解析式可得，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，2），
∴代入可得，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，﹣m+2），
又∵P点在抛物线上，
∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，
即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，
当﹣m2+2m＝2时，解得m＝2，则Q坐标为（2，0），
当﹣m2+2m＝﹣2时，解得m＝2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2﹣，0），
综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；
（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，﹣n+2），P点坐标为（n，﹣n2+n+2），
∴PD＝﹣n2+2n＝n（4﹣n），DQ＝﹣n+2，
又∵OB＝4，
∴BQ＝4﹣n，
在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，由勾股定理可求得BC＝2，
∵OQ∥OC，
∴＝，即＝，解得BD＝，
∵PE⊥BC，PQ⊥QB，
∴∠PED＝∠BQD＝90°，且∠PDE＝∠BDQ，
∴△PED∽△BQD，
∴＝＝＝＝，
即＝＝，
解得PE＝，DE＝（），
∴S＝PE•DE＝××（）＝（﹣n2+4n）2，
令t＝﹣n2+4n＝﹣（n﹣2）2+4，
∵P在直线BC上方，
∴0＜n＜4，
∴0＜t≤4，且当n＝2时，t有最大值4，
此时P点坐标为（2，3），
∴当t＝4时，Smax＝×42＝，
综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为＝．
2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷
一．选择题（每题3分，324分）
1．（3分）﹣4的绝对值是（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
2．（3分）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
4．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（3分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
6．（3分）已知＝，则＝（ ）
A．﹣17 B．﹣1 C． D．17
7．（3分）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝kx﹣1（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点（2，3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
8．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
二、填空题（每题3分，30分）
9．（3分）分解因式：4x2﹣16＝ ．
10．（3分）我国去年粮食产量约为15700亿斤，历史新高，其中15700亿斤用科学记数法表示为 亿斤．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为 ．
13．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是 ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 ．
16．（3分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2.5m，当α＝55°时，人字梯顶端离地面的高度AD为 m．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）
17．（3分）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为 ．
三、解答题（96分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2022+|﹣3|﹣（）﹣1+；
（2）x2+4x+2＝0．
20．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
21．（8分）如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC＝∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD＝10，DC＝8，求AC的长．
22．（10分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
23．（8分）校园歌手大赛中甲、乙、丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲第一个出场的概率是 ；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法求甲比乙先出场的概率．
24．（10分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
25．（8分）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
26．（12分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）．
x（亩）
20
25
30
35
y（元）
1800
1700
1600
1500
（1）请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；
（2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W（元）的最大值．
27．（12分）问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
28．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一．选择题（每题3分，324分）
1．（3分）﹣4的绝对值是（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
【解答】解：|﹣4|＝4．
故选：C．
2．（3分）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，是一列两个全等的矩形．
故选：B．
3．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
【解答】解：长方形，正方形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：D．
4．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝40°．
故选：B．
5．（3分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【解答】解：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠D＝∠B＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．
故选：D．
6．（3分）已知＝，则＝（ ）
A．﹣17 B．﹣1 C． D．17
【解答】解：∵＝，
∴＝，
设＝＝k，则a＝3k，b＝4k，
∴＝＝﹣17．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝kx﹣1（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点（2，3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【解答】解：根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为y＝kx﹣1+2，
将点（2，3）代入y＝kx+1，
得2k+1＝3，
解得k＝1，
故选：A．
8．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
【解答】解：由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，
过点B作BH⊥DC于点H，
设CH＝x，则DH＝8﹣x，
则BH2＝BC2﹣CH2＝BD2﹣DH2，即：BH2＝42﹣（8﹣x）2＝62﹣x2，
解得：BH＝，
则a＝y＝S△ABP＝DC×HB＝×8×＝3，
故选：A．
二、填空题（每题3分，30分）
9．（3分）分解因式：4x2﹣16＝ 4（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：4x2﹣16，
＝4（x2﹣4），
＝4（x+2）（x﹣2）．
故答案为：4（x+2）（x﹣2）．
10．（3分）我国去年粮食产量约为15700亿斤，历史新高，其中15700亿斤用科学记数法表示为 1.57×104 亿斤．
【解答】解：15700＝1.57×104．
故答案为：1.57×104．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤ ．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
12．（3分）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为 120° ．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×4＝，
解得n＝120，
即侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为：120°．
13．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 ．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2种，所以概率是＝．
故答案是．
14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是 124° ．
【解答】解：∵∠AOC＝112°，
∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，
故答案为：124°．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 s＞1且s≠4 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），y1＞y2＞t，
∴该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，
∴s＞1且s≠4，
故答案为：s＞1且s≠4．
16．（3分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2.5m，当α＝55°时，人字梯顶端离地面的高度AD为 2.05 m．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）
【解答】解：在Rt△ACD中，
∵sin∠ACD＝，AC＝2.5m，∠ACD＝a，
∴AD＝sin∠ACD×AC
＝sin55°×2.5
≈0.82×2.5
＝2.05（m）．
故答案为：2.05．
17．（3分）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 1
【解答】解：∵+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为 5或 ．
【解答】解：当△B'MC为直角三角形时，
①当∠B'CM＝90°时，
∵N为AB中点，AB＝10，
∴，
∵NB'＜AD，即5＜12，
点B的对应点B'不能落在CD所在直线上，
∴∠BCM＜90°，故该情况不存在；
②如图，
当∠CMB'＝90°时，∠BMB'＝90°，
由折叠的性质得：∠BMN＝∠B′MN＝45°，
∵∠B＝90°，
∴∠BNM＝∠B'MN＝45°，
得；
③如图，
当∠CB'M＝90°时，
∴∠NB'M＝∠CB'M＝90°，故N，B'，C三点共线，
设BM＝B'M＝x，则CM＝12﹣x，
在Rt△NBC中，
，
则B'C＝NC﹣B'N＝8，
在Rt△B'MC中，
由勾股定理可得B'M2+B'C2＝MC2，
即x2+82＝（12﹣x）2，
解得，即．
综上所述，满足条件的BM的值为5或．
故答案为：5或．
三、解答题（96分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2022+|﹣3|﹣（）﹣1+；
（2）x2+4x+2＝0．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣﹣3+3
＝4﹣；
（2）∵x2+4x+2＝0，
∴x2+4x＝﹣2，
则x2+4x+4＝﹣2+4，即（x+2）2＝2，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
20．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．（8分）如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC＝∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD＝10，DC＝8，求AC的长．
【解答】解：（1）∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA；
（2）∵△CAD∽△CBA，
∴，
∴，
∴AC＝12．
22．（10分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：6÷15%＝40（名），40×30%＝12（名），
答：参加这次调查的学生总人数是40名，选择“冰壶”的学生人数是12名；
（2）360°×＝36°，
答：“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数是36°；
（3）根据题意得：1200×＝540（名），
答：最喜欢“短道速滑”的学生有540名．
23．（8分）校园歌手大赛中甲、乙、丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲第一个出场的概率是 ；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法求甲比乙先出场的概率．
【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，
∴P（甲第一位出场）＝，
故答案为：；
（2）画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，
∴P（甲比乙先出场）＝＝．
24．（10分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠BAD＝∠BAE，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠OAB，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∴tan∠C＝tan∠BAD，
∵AD＝2BD，
∴＝＝，
∵∠E＝∠E，∠EAB＝∠C，
∴△ABE∽△CAE，
∴＝＝，
∵EC＝4，
∴AE＝2．
25．（8分）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【解答】解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．
答：改善后滑板会加长1.66米．
26．（12分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）．
x（亩）
20
25
30
35
y（元）
1800
1700
1600
1500
（1）请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；
（2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W（元）的最大值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将x＝20、y＝1800和x＝30、y＝1600代入得：，
解得：，
∴y＝﹣20x+2200，
（2）当0＜x≤15时，W＝1900x，
∴当x＝15时，W最大＝28500元；
当15＜x≤50时，W＝（﹣20x+2200）x
＝﹣20x2+2200x
＝﹣20（x﹣55）2+60500，
∵x≤50，
∴当x＝50时，W最大＝60000元，
综上，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W的最大值为60000元．
27．（12分）问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
【解答】问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；
尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝∠CDF＝30°，
∴CF＝DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，
∴；
拓展创新
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD＝AB＝1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠PAC＝90°，PA＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴∠PAE＝∠CAD，
∴△CAD≌△PAE（SAS），
∴PE＝CD＝1，
∵AB＝2，AE＝AD＝1，
∴BE＝＝＝，
∴BP≤BE+PE＝+1，
当且仅当P、E、B三点共线时取等号，
∴BP的最大值为+1．
28．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
∴代入二次函数解析式可得，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，2），
∴代入可得，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，﹣m+2），
又∵P点在抛物线上，
∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，
即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，
当﹣m2+2m＝2时，解得m＝2，则Q坐标为（2，0），
当﹣m2+2m＝﹣2时，解得m＝2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2﹣，0），
综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；
（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，﹣n+2），P点坐标为（n，﹣n2+n+2），
∴PD＝﹣n2+2n＝n（4﹣n），DQ＝﹣n+2，
又∵OB＝4，
∴BQ＝4﹣n，
在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，由勾股定理可求得BC＝2，
∵OQ∥OC，
∴＝，即＝，解得BD＝，
∵PE⊥BC，PQ⊥QB，
∴∠PED＝∠BQD＝90°，且∠PDE＝∠BDQ，
∴△PED∽△BQD，
∴＝＝＝＝，
即＝＝，
解得PE＝，DE＝（），
∴S＝PE•DE＝××（）＝（﹣n2+4n）2，
令t＝﹣n2+4n＝﹣（n﹣2）2+4，
∵P在直线BC上方，
∴0＜n＜4，
∴0＜t≤4，且当n＝2时，t有最大值4，
此时P点坐标为（2，3），
∴当t＝4时，Smax＝×42＝，
综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为＝．
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