三年 (2020-2022 ) 新高考真题汇编 专题02函数的概念与基本初等函数

新高考专题02函数的概念与基本初等函数

【2022年新高考2卷】

1．已知函数的定义域为R，且，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．

【详解】

[方法一]：赋值加性质

因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．故选：A．

[方法二]：【最优解】构造特殊函数

由，联想到余弦函数和差化积公式

，可设，则由方法一中知，解得，取，

所以，则

，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，

由于22除以6余4，

所以．故选：A．

【整体点评】

法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.

【2021年新高考2卷】

2．已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】

，即.

故选：C.

【2021年新高考2卷】

3．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.

【详解】

因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

【2020年新高考1卷（山东卷）】

4．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.

【详解】

因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

【点睛】

本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

【2020年新高考1卷（山东卷）】

5．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】

因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

【2020年新高考2卷（海南卷）】

6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.

【详解】

由得或

所以的定义域为

因为在上单调递增

所以在上单调递增

所以

故选：D

【点睛】

在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

【2022年新高考1卷】

7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】

[方法1]：对称性和周期性的关系研究

对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；

对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

[方法2]：【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.

故选：BC.

[方法3]：

因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，

又，且函数可导，

所以，

所以，所以，

所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

【整体点评】

法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；

法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．

【2021年新高考2卷】

8．设正整数，其中，记．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】

对于A选项，，，

所以，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确.

故选：ACD.

【2021年新高考1卷】

9．已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】

利用偶函数的定义可求参数的值.

【详解】

因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

【2021年新高考1卷】

10．函数的最小值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】

由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.

【详解】

由题设知：定义域为，

∴当时，，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递增；

又在各分段的界点处连续，

∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；

∴

故答案为：1.

【2021年新高考2卷】

11．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

【答案】（答案不唯一，均满足）

【解析】

【分析】

根据幂函数的性质可得所求的.

【详解】

取，则，满足①，

，时有，满足②，

的定义域为，

又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一，均满足）