中考数学二轮专题过关练习第10关 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题（教师版）

这是一份中考数学二轮专题过关练习第10关 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题（教师版），共57页。
第十关 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。二次函数与相似三角形的存在性问题是中考考试的一个热点。解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．
【解题思路】理解存在性问题的解题思路，根据已知角相等找出对应边成比例，存在性问题的知识覆盖面较广，综合性较强，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的要求较高。一般思路是从存在的角度出发→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出不存在的判断.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径:①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形,根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论;②利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理/三角函数/对称/旋转等知识来推导边的大小;③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数关系式表示各边的长度,之后利用相似列方程求解.
【典型例题】
【例1】（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)
(1)求点A、B的坐标；
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
(3)如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)点A坐标为(﹣4，﹣4)，点B坐标为(﹣1，﹣2)；(2)S△OA'M＝8；(3)点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.
【解析】
【分析】
(1)把x＝﹣4代入解析式，求得点A的坐标，把y=-2代入解析式，根据点B与点A的位置关系即可求得点B的坐标；
(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，先求出点A'、B'的坐标，OA＝OA'＝，然后利用待定系数法求得抛物线F2解析式为：，对称轴为直线：，设M(6，m)，表示出OM2，A'M2，进而根据OA'2+A'M2＝OM2，得到(4)2+m2+8m+20＝36+m2，求得m＝﹣2，继而求得A'M＝，再根据S△OA'M＝OA'•A'M通过计算即可得；
(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似，先求得直线OA与x轴夹角为45°，再分点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似，点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如图2、图3)，此时再分△AOD∽△OA'C，△DOA∽△OA'C两种情况分别讨论即可得.
【详解】
(1)当x＝﹣4时，，
∴点A坐标为(﹣4，﹣4)，
当y＝﹣2时，，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，
∵点A在点B的左侧，
∴点B坐标为(﹣1，﹣2)；
(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠B'OG＝∠OBE，
在△B'OG与△OBE中
，
∴△B'OG≌△OBE(AAS)，
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，
∵点B'在第四象限，
∴B'(2，﹣1)，
同理可求得：A'(4，﹣4)，
∴OA＝OA'＝，
∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，
∴，
解得：，
∴抛物线F2解析式为：，
∴对称轴为直线：，
∵点M在直线x＝6上，设M(6，m)，
∴OM2＝62+m2，A'M2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m2+8m+20，
∵点A'在以OM为直径的圆上，
∴∠OA'M＝90°，
∴OA'2+A'M2＝OM2，
∴(4)2+m2+8m+20＝36+m2，
解得：m＝﹣2，
∴A'M＝，
∴S△OA'M＝OA'•A'M＝；
(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似，
∵B'(2，﹣1)，
∴直线OB'解析式为y＝﹣x，
，
解得：(即为点B')，，
∴C(8，﹣4)，
∵A'(4，﹣4)，
∴A'C∥x轴，A'C＝4，
∴∠OA'C＝135°，
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°，
∵A(﹣4，﹣4)，即直线OA与x轴夹角为45°，
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似，
∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如图2、图3)，
①若△AOD∽△OA'C，
则，
∴OD＝A'C＝4，
∴D(4，0)或(0，4)；
②若△DOA∽△OA'C，
则，
∴OD＝OA'＝8，
∴D(8，0)或(0，8)，
综上所述，点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.

【名师点睛】
本题考查的是二次函数与几何的综合题，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.
【例2】（2019·江苏中考真题）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点．

（1）点的坐标是 ______；
（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点，，使得与相似．
①当时，求的长；
②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围 ______．
【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】
【分析】
（1）直接用顶点坐标公式求即可；
（2）由对称轴可知点C（2，），A（-，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；①当n=时，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP=9；当PQ与AB不平行时，DP=9；②当PQ∥AB，DB=DP时，DB=3，DN=，所以N（2，），则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜.
【详解】
（1）顶点为；
故答案为；
（2）对称轴，
，
由已知可求，
点关于对称点为，
则关于对称的直线为，
，
①当时，，
，，
当时，，
，
，
；
当与不平行时，，
，
，
；
综上所述；
②当，时，
，
，
，
，
∴有且只有一个与相似时，；
故答案为；
【名师点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．
【方法归纳】
两个定三角形是否相似：
（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。
（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。
一个定三角形和动三角形相似：
（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（用字母表示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。
（2）不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标（用字母表示）后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。
【针对练习】
1．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.

【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可得；
(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据PD⊥y轴，可得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD与Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.
【详解】
(1)由题意，得，
解得：，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，
解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).

【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．（2019·辽宁中考模拟）如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）将A（3，0），C（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长．
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．
【详解】
解：（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，）．
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM为直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
3．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．

【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)点或．
【解析】
【分析】
（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，
则，则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：(舍去负值)，
故点
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点；
综上，点或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
4．（2019·山东初三期末）如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【解析】
【分析】
（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得AO′的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，然后分为△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB两种情况求解即可．
【详解】
（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）.
将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．

∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．
O′A的方程为y=
P点满足解得：
所以P ( ,)
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3，B（3，0），
∴CD=，BC=3，DB=2．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴．
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．

∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想．
5．（2019·湖南麓山国际实验学校慈利校区初三开学考试）如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.

(1)求的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.
(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.
【解析】
分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；
（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；
（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．
详解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM•PN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；
（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此时Q（，﹣）；
②当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．
点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
6．（2019·贵州初三）如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）① ②答案见解析 （2）存在，或
【解析】
【分析】
（1）①如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为的坐标为，，然后计算自变量为对应的一次函数值可得到点坐标；
②易得，设点坐标为，则，则，由于，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，即，求出得到此时点坐标为，，接着计算出，然后比较与的大小关系可判断平行四边形是否为菱形；
（2）如图2，利用勾股定理计算出，再表示出，则可计算出，接着表示出抛物线解析式为，则可用表示出点坐标为，所以，由于，根据相似三角形的判定方法，当时，，即；当时，，即，然后利用比例性质分别求出的值，从而得到对应的抛物线的解析式．
【详解】
（1）①如图1，
，
顶点为的坐标为，，
当时，，则点坐标为，；
②不存在．
理由如下：
，
设点坐标为，则，
，
，
当时，四边形为平行四边形，即，解得（舍去），，此时点坐标为，，
，
，
平行四边形不为菱形，
不存在点，使四边形为菱形；
（2）存在．
如图2，，，则，
当时，，则，
，
设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
抛物线的解析式为，
当时，，则，
，
，
，
当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；
当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．

【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．（2019·辽宁中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标．
（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，请直接写出与全等时点的坐标．
【答案】（1）；（2）点的坐标为：，；（3）若与全等，点有四个，坐标为，，，．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解．
（2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可．
（3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解．
【详解】
（1）抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）如图1，设对称轴与轴交于点，

平分，
，
又，
，
，
．
在中，，．
，
；．
①当时，直线解析式为：，
依题意得：．
解得：，，
点在对称轴右侧的抛物线上运动，
点纵坐标．
，
②当时，直线解析式为：，
同理可求：，
综上所述：点的坐标为：，，
（3）由题意可知：，，，
，
，
，
直线经过，，
直线解析式为，
抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，
坐标为；
，
设点坐标为，
则，
则，
，若与全等，有两种情况，
Ⅰ．，，即．
，
解得：，，
即点坐标为，．
Ⅱ．，，即．
，
解得：，，
即点坐标为，．
故若与全等，点有四个，坐标为，，，．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．（2019·杭州市行知中学初三开学考试）如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；
（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；
（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值．
试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得，解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．

如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；
如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．
综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形；
（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2．
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2．
解得：t1=1，t2=3（舍去）．
将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）．
（4）如图④所示：

设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t）．
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴点M的坐标为（1，4）．
∴MB=．
当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t2-3t+3=0，
△=32-4×1×3＜0，无解：
当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t=．
∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．
考点：二次函数综合题．
9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【解析】
【详解】
（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO＝＝，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则或，
解得：a＝或；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，

∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，
即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，
解得：a＝1或或或（舍去），
故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．（2019·辽宁初三期末）如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，﹣）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得
∴抛物线解析式为：y=x2−x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
∴y=-x
则P点坐标为（1，-）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，a−1）
把M代入y=x2−x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
11．（2019·湖北中考真题）如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过两点，且交轴于另一点，连接．
（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）点；（3）点的坐标为：或或．
【解析】
【分析】
（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=6，故点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，3），即可求解；
（2）PH=PGcosα=,即可求解；
（3）分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】
（1），令，则，令，则，
故点的坐标分别为、，
抛物线的对称轴为，则点，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：
（2）过点作轴的平行线交于点，作于点，

将点坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：，
则，，则，
设点，则点，
则
∵，故有最小值，此时，
则点；
（3）①当点在轴上方时，
则点为顶点的三角形与全等，此时点与点关于函数对称轴对称，
则点；
②当点在轴下方时，
为顶点的三角形与相似，则，

当时，
直线BC表达式的值为，则直线表达式的值为，
设直线表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：
直线的表达式为：②，
联立①②并解得：或﹣8（舍去6），
故点坐标为（舍去）；
当时，
同理可得：直线的表达式为：③，
联立①③并解得：或﹣10（舍去6），
故点坐标为，
由点的对称性，另外一个点的坐标为；
综上，点的坐标为：或 或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
12．（2019·广东中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.

（1）求点、、的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.
①求出一个满足以上条件的点的横坐标；
②直接回答这样的点共有几个？
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个.
【解析】
【分析】
(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；
(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，，可得，问题得证；
(3)①设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得；
②由①的结果即可得.
【详解】
(1)令，
解得或，
故，，
配方得，故；
(2)∵，CO⊥AF，
∴OF=OA=1，
如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO，

∴，
∴，
即，
∴，
∴CF==2，
∴，
即为等边三角形，
∴∠AFC=∠ACF=60°，
∵∠ECF=∠ACF，
∴，
∴，
∵CF：DF=OF：FD1=1：2，
∴DF=4，∴CD=6，
又∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(3)①设点的坐标为，
(ⅰ)当点在点左侧时，

因为与相似，
则1)，
即，
∴(舍)，x2=-11；
2)，
即，
∴(舍)，；
(ⅱ)当点在点右侧时，

因为与相似，
则3)，
即，
∴(舍)，(舍)；
4)，
即，
∴(舍)，(舍)；
(ⅲ)当点在之间时，

∵与相似，
则5)，
即，
∴(舍)，(舍)；
6)，
即，
∴(舍)，；
综上所述，点的横坐标为，，；
②由①可得这样的点P共有3个.
【点睛】
本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.
13．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；
（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）只有当∠PEA=∠AOC时，PEA△∽AOC，可得：PE=4AE，设点P坐标（4k-2，k），即可求解；
（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：，再求出PD的最大值，即可求解．
【详解】
（1）由已知，将代入，∴.
将点和代入，得，
解得.∴抛物线的表达式为.
（2）∵，，
∴，.
∵轴，
∴，
∵，
∴只有当时，，
此时，即，
∴.
设点的纵坐标为，则，，
∴，
∴点的坐标为，将代入，得
，
解得（舍去），.
当时，.
∴点的坐标为.
（3）在中，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴.
由，知，又，
∴，
又.
∴.
∴当最大时，最大.
由，可解得所在直线的表达式为.
设，则，
∴.
∴当时，有最大值4.
∴当时，.
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
14．（2019·广西中考模拟）如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．
求抛物线的解析式；
点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；
条件同，若与相似，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】
把，，代入，利用待定系数法进行求解即可得；
设点P的坐标为，则，然后由点A和点B的坐标可得到，接下来，依据三角形的面积公式求解即可；
当∽时，；当∽，则，然后依据比例关系列出关于t的方程求解即可．
【详解】
把，，代入得：，
解得：，，，
抛物线的解析式为；
设点P的坐标为，
，，
，
；
当∽时，，即，
整理得：，
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为；
当∽，则，即，
整理得，
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为，
综上所述点P的坐标为或
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、待定系数法、相似三角形的性质、三角形面积公式等， 综合性较强，有一定的难度，熟练掌握待定系数法、相似三角形的性质是解题的关键.
15．（2019·湖北中考模拟）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）证明见解析；（3）点D的坐标为（，）或（，﹣）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可
（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；
（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．
【详解】（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；
（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，
解得：x=﹣2或4，
∴C（4，0），
如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，
∵S△PBO=S△PBC，
∴PB•OE=PB•CF，
∴OE=CF，
易得△OEG≌△CFG，
∴OG=CG=2，
设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，
tan∠PBM=，
∴BM=2PM，
∴4+x2﹣x﹣4=2x，
x2﹣6x=0，
x1=0（舍），x2=6，
∴P（6，8），
易得AP的解析式为：y=x+2，
BC的解析式为：y=x﹣4，
∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，
∴∠ABE=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE=，
∴E（，0），
∵B（0，﹣4），
易得BE：y=，
则x2﹣x﹣4=x﹣4，
x1=0（舍），x2=，
∴D（，）；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，
∵∠BEA=∠BEC，
∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，
∴，
设BE=2m，CE=4m，
Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，
∴，
3m2﹣8m+8=0，
（m﹣2）（3m﹣2）=0，
m1=2，m2=，
∴OE=4m﹣4=12或，
∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，
∴E（﹣12，0）；
同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，
﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，
x=或0（舍）
∴D（，﹣）；
综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定△BCE与△ABE相似并画出图形是关键．
16．（2019·四川中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；②当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
【解析】
分析：（1）应用待定系数法求解析式
（2）①分别用t表示△ADC、△PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值；
②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和，讨论最大值．
详解：（1）∵OA=1，OB=4，
∴A（1，0），B（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
∵点C（0，﹣）在抛物线上，
∴﹣，
解得a=.
∴抛物线的解析式为y=.
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．
理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，
则tan∠ACO=，
∵tan∠OAD=，
∴∠OAD=∠ACO，
∵直线l的解析式为y=，
∴D（0，﹣），
∵点C（0，﹣），
∴CD=，
由AC2=OC2+OA2，得AC=，
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，
由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，
只需或，
则有或，
解得t1=，t2=，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，
理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，

在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=，
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，
在△ADC中，由S△ADC= ，
∴CN=，
∴S△AQP+S△AQC= ，
∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．
17．（2019·武邑宏达学校初三月考）（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．
【解析】
试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由．
解得：．
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=，
∴该抛物线解析式为：y=；．
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时最大值为：，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取最大值，最大值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；
（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14．

考点：二次函数综合题．
18．（2019·湖北初三月考）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）① ；② 存在，（（2，）或（，）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②当△CNQ与△PBM相似时有 或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
试题解析：（1）∵抛物线经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴ ，解得
∴该抛物线对应的函数解析式为 ；
（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，），
∴.
联立直线CD与抛物线解析式可得 ，解得 或，
∴C（0，3），D（7， ），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，

则CE=t，DF=7﹣t，
∴ ，
∴当时，△PCD的面积有最大值，最大值为；
②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有 或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t， ），
∴CQ=t，，
∴ ，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5﹣t，，
当时，则，即，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2， ）；
当时，则，即，解得或（舍去），此时P（，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，）或（，）．
考点：二次函数的综合应用，待定系数法,函数图象的交点,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,方程思想,分类讨论思想．