2023年安徽省淮北市第二中学中考数学模拟考试卷

这是一份2023年安徽省淮北市第二中学中考数学模拟考试卷，共21页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年安徽省淮北二中中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每题4分，本大题共10小题，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（4分）的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（4分）当今社会，人们越来越离不开手机，据报道，我们平时使用的手机屏幕约有1080万个细菌，数据1080万用科学记数法表示为（　　）
A．1080×104 B．1.08×103 C．1.08×107 D．0.108×108
3．（4分）如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（　　）

A．正方体 B．球 C．圆锥 D．圆柱体
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝4a2 B．x4•x4＝x16
C．（﹣b）7÷b5＝b2 D．（m2）3•m4＝m9
5．（4分）弹簧秤中弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应关系如图所示，则这个弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为（　　）

A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
6．（4分）下列各因式分解的结果正确的是（　　）
A．a3﹣a＝a（a2﹣1） B．b2+ab+b＝b（b+a）
C．1﹣2x+x2＝（1﹣x）2 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
7．（4分）如图，D为Rt△ABC的AC边上一点，∠C＝90°，∠DBC＝∠A，AC＝4，cosA＝，则CD＝（　　）

A． B． C． D．4
8．（4分）某单位为了解某次“爱心捐款”的情况，从2000名职工中随机抽取部分职工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论错误的是（　　）

A．样本中位数是200元
B．样本众数是100元
C．样本平均数是180元
D．估计所有员工中，捐款金额为200元的有500人
9．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（　　）

A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ABE＝90° D．BE平分∠DBC
10．（4分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二、填空题（每题5分，本大题共4小题，满分20分）
11．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（5分）命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是 　 　．
13．（5分）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝　 　．

14．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，DC＝10，AD＜BC，E为AB的中点，点F和点G在CD边上，点H在BC边上，将△EBH，△CHG分别沿EH，HG折叠，点C落在DC边上的点M处，点B落在点N处，将四边形AEFD沿EF折叠，点A恰好落在点N处，点D落在CD边上的点M处．
（1）∠B的度数为 　 　．
（2）若四边形EFGH是正方形，则BC的长为 　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．
（1）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼BD的影子刚好落在楼AC的底部；
（2）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子落在楼AC的第几层？（参考数据：≈1.732）

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，△DEF，已知点M，N都是格点．
（1）作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（2）将△DEF向上平移4个单位长度得到新的三角形，请画出该三角形；
（3）填空：∠BAC+∠DFE＝　 　（直接写出结果）．

18．（8分）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：

（1）图案④中黑色五边形有 　 　个，白色五边形有 　 　个；
（2）图案n中黑色五边形有 　 　个，白色五边形有 　 　个；（用含n的式子表示）
（3）图案n中的白色五边形可能为2022个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，此专著中有这样一道题：今有共买鸡，人出八，盈十一；人出五，不足十六，问人数、鸡价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一只鸡，若每人出8文钱，则多出11文钱；若每人出5文钱，则相差16文钱，求买鸡的人数和这只鸡的价格．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
（1）求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：QC＝DQ．

六、（本题满分12分）
21．（12分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 　 　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用画树状图法或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．

八、（本题满分14分）
23．（14分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点，，直线y＝x﹣1与抛物线交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E为直线CD上方的抛物线上的一个动点（不与点C，D重合），将直线CD上方的抛物线部分关于直线
CD对称形成爱心图案，动点E关于直线CD对称的点为F，求EF的取值范围．



2023年安徽省淮北二中中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，本大题共10小题，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.
1．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：的倒数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1080万＝10800000＝1.08×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据题意，满足条件的空间几何体的三视图中含有圆和正方形．然后分别进行判断即可．
【解答】解：圆柱的正视图和侧视图为相同的矩形，俯视图为圆．可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．
故选：D．
【点评】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．
4．【分析】利用同底数幂的除法和同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方运算计算即可．
【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，A选项正确；
x4•x4＝x8，B选项错误；
（﹣b）7÷b5＝﹣b2，C选项错误；
（m2）3•m4＝m10，D选项错误，
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法和同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方运算．
5．【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以求得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式，然后将x＝0代入所求函数关系式即可求解．
【解答】解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
∵该函数经过点（5，12.5）和（20，20），
∴，
解得：，
即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式为：，
当x＝0时，y＝10，即这个弹簧称不挂物体时弹簧的长度为10cm，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式．
6．【分析】分解因式要先正确确定公因式，然后再利用完全平方公式或平方差公式进行分解，注意要分解彻底．
【解答】解：A、a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故原题错误；
B、b2+ab+b＝b（b+a+1），故原题错误；
C、1﹣2x+x2＝（1﹣x）2，故原题分解正确；
D、x2+y2不能分解，故原题错误；
故选：C．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
7．【分析】由题意求出AB＝5，根据勾股定理求出BC＝3，证明△DCB∽△BCA，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【解答】解：∵Rt△ABC，AC＝4，cosA＝，
∴，
∴AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，
∴△DCB∽△BCA，
∴，
∴BC2＝CD•AC，
∴CD＝．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△DCB∽△BCA是解题的关键．
8．【分析】根据中位数、众数、平均数定义结合图标可得答案．
【解答】解：由直方图可知，共有2+8+5+4+1＝20个数据，其中位数为（100+200）＝150元，故A错误；
样本众数是100元，故B正确；
捐款的平均数为（50×2+100×8+200×5+300×4+500×1）＝180（元），故C正确；
估计所有员工中，捐款金额为200元的有×2000＝500（人），故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查的是频数分布直方图、平均数、众数的知识的运用，掌握题目的概念并从频数分布直方图获取正确的信息是解题的关键．
9．【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可；
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵BE⊥DC，∴对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；
C、∵∠ABE＝90°，∴BD＝DE，∴邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确；
D、∵BE平分∠DBC，∴对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键．
10．【分析】根据题意可得，△ADE的最大面积是6（cm2），此时点D与点C重合，根据三角形ADE的面积即可求出DE＝2，再根据30度特殊角即可求出AB的长．
【解答】解：根据题意可知：
△ADE的最大面积是6（cm2），
此时点D与点C重合，
如图，

在Rt△ADE中，∠A＝30°，
设DE＝x，则AE＝x，
∴S△ADE＝AE•DE
＝×x•x
＝x2，
∴x2＝6，
解得x＝2（负值舍去），
∴DE＝2，
∴AD＝AC＝2DE＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴cos30°＝＝，
∴＝，
∴AB＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
二、填空题（每题5分，本大题共4小题，满分20分）
11．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0解答．
【解答】解：由题意得，1+x≥0且x+2≠0，
解得x≥﹣1且x≠﹣2，
所以，x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【解答】解：命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的两个三角形全等，
故答案为：周长相等的两个三角形全等．
【点评】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝，然后利用四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算．
【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝＝，
∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k﹣﹣＝5．
解得k＝8．
故答案是：8．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
14．【分析】（1）由折叠的性质可得∠A＝∠ENM，∠B＝∠ENH，再结合∠ENM+∠ENH＝180°，即可求解；
（2）由折叠性质可得，再由正方形的性质可得EH＝GH＝5，从而可求得BH＝3，再证得△CGH∽△HBE，利用相似比可求得HC＝，即可求BC的长．
【解答】解：（1）由折叠性质可知，∠A＝∠ENM，∠B＝∠ENH，
∴∠ENM+∠ENH＝∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°；
故答案为：90°；
（2）由折叠的性质可知，．
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝GH＝5．
∵AE＝EB＝4，∠B＝90°，
∴BH＝3．
∵∠B＝∠EHG＝∠HGC＝90°，
∴∠C+∠GHC＝90°，∠GHC+∠EHB＝90°，
∴∠C＝∠EHB，
∴△CGH∽△HBE，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查折叠的性质，正方形的性质，解答的关键是熟记折叠的性质，明确哪些角或边相等．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【分析】先分别按照负整数指数幂、求立方根、绝对值的化简法则及特殊角的三角函数值化简，再合并同类项及同类二次根式即可．
【解答】解：
＝﹣3+2+﹣1﹣4×
＝﹣2+﹣2
＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了负整数指数幂、求立方根、绝对值的化简法则及特殊角的三角函数值等实数运算，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
16．【分析】（1）根据锐角三角函数可求出tan∠BCD进而得出答案；
（2）构造直角三角形，利用特殊锐角三角函数可求出影子距地面的高度EB，进而用近一法求近似值即可．
【解答】解：（1）由题意得，AC＝BD＝3×10＝30（米），
所以tan∠BCD＝＝1，
所以∠BCD＝45°，
即太阳光线与水平面的夹角为45°时，楼BD的影子刚好落在楼AC的底部；
（2）如图，延长GB交AC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则EF＝CD＝30，
在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，EF＝30,
∴BF＝30×tan30°＝10（米），
∴CE＝DF＝BD﹣BF＝30﹣10≈30﹣17.32＝12.68（米），
12.68÷3≈4.23≈5（层），
答：此刻楼BD的影子落在楼AC的第5层．

【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形是常用的方法，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出D，E，F的对应点即可；
（3）根据网格可得△AGH是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）如图，A′B′G即为所求；
（3）∠BAC+∠DFE＝135°．理由如下：
如图，△AGH是等腰直角三角形，
∴∠AGH＝45°，
∵∠BCA＝∠B′C′A′＝∠HGB′，
∴∠B′C′A′+∠AGB′＝∠AGH＝45°，
∴∠C′A′G＝135°，
∴∠BAC+∠DFE＝135°＝∠B′A′C′+∠B′A′G＝∠C′A′G＝135°，

故答案为：135°．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
18．【分析】（1）不难看出后一个图形中黑色五边形比前一个图形中黑色五边形多1个，后一个图形中白色五边形比前一个图形中白色五边形多3个，据此可求解；
（2）结合（1）进行总结即可；
（3）根据（2）中的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为：1，白色五边形的个数为：4，
第2个图形中黑色五边形的个数为：2，白色五边形的个数为：7＝4+3＝4+3×1，
第3个图形中黑色五边形的个数为：3，白色五边形的个数为：10＝4+3+3＝4+3×2，
∴第4个图形中黑色五边形的个数为：4，白色五边形的个数为：4+3×3＝13，
故答案为：4，13；
（2）由（1）可得：第n个图形中黑色五边形的个数为：n，白色五边形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
故答案为：n，（3n+1）；
（3）不可能，理由如下：
由题意得：3n+1＝2022，
解得：n＝673……2，
故图案n中的白色五边形不可能为2022个．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图案中所需白色地砖数量的变化，找出变化规律“an＝3n+1”是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【分析】设买鸡的人数为x人，这只鸡的价格为y文，根据“若每人出8文钱，则多出11文钱；若每人出5文钱，则相差16文钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设买鸡的人数为x人，这只鸡的价格为y文，
依题意得：，
解得：．
答：买鸡的人数为9人，这只鸡的价格为61文．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．【分析】（1）过P点作PQ⊥OP，即可解决问题；
（2）连接AP，根据AB为直径，可得∠APB＝∠BDA＝90°，然后根据等腰三角形的性质可得BP＝CP，所以OP是△BAC的中位线，可得OP∥AC，PQ∥BD，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：如图，直线PQ即为所求；

（2）证明：如图，连接AP，
∵AB为直径，
∴∠APB＝∠BDA＝90°，
∴AP⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BP＝CP，
∵OA＝OB，
∴OP是△BAC的中位线，
∴OP∥AC，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OP⊥PQ，
∴PQ⊥AC，
∵BD⊥DC，
∴PQ∥BD，
∵BP＝CP，
∴QC＝DQ．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
六、（本题满分12分）
21．【分析】（1）用“不重视”人数除以其所占的百分比求出本次调查的学生人数，用360°乘以“比较重视”所占的百分比，即可求出其所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用3200乘以本次调查中对视力保护“非常重视”的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到同性别学生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为．
故答案为：162°．
“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人）．
补全条形统计图如图．

（2）3200×＝160（人）．
∴该校对视力保护“非常重视”的学生人数约有160人．
（3）画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到同性别学生的结果有：A1A2，A2A1，B1B2，B2B1，共4种，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22．【分析】（1）①利用SAS证明△ABD≌△ACM可得结论；
②由①知：△ABD≌△ACM，得∠ACM＝∠B＝30°，根据直角三角形含30°角的性质可得CD＝2BD，从而得结论；
（2）介绍两种解法：
解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，证明△ADF∽△AEG，列比例式可得DF的长，由勾股定理可得EF的长，相加可得结论；
解法二：如图3，作辅助线构建全等三角形，由（1）同理得△ABD≌△ACM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，证明△ADE≌△AME（SAS），得EM＝DE＝5﹣2x，最后利用勾股定理列方程可解答．
【解答】（1）①证明：如图1，

∵∠BAC＝∠DAM＝120°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM；
②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
由①知：△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CM＝CD，
∵BD＝CM，
∴＝；
（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，

Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，
∴EG＝CE＝，CG＝，
∵AC＝AB＝2，
∴AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴AF＝AC＝，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠DAF＝∠EAG，
∵∠AFD＝∠AGE＝90°，
∴△ADF∽△AEG，
∴，即＝，
∴DF＝，
由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，
∴，
解得：EF＝2或﹣2（舍），
∴DE＝DF+EF＝+2＝；
解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，

由（1）同理得△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，
∴∠MCQ＝60°，
Rt△QMC中，CQ＝CM，
由图2知：AB＝2，AF＝，
由勾股定理得得：BF＝CF＝3，
∵CE＝1，
∴BE＝3+3﹣1＝5，
设CQ＝x，则CM＝BD＝2x，QM＝x，
∴EQ＝x﹣1，
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，
∴∠DAE＝∠EAM，
∵AD＝AM，AE＝AE，
∴△ADE≌△AME（SAS），
∴EM＝DE＝5﹣2x，
由勾股定理得：EM2＝EQ2+QM2，
∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，
解得：x＝，
∴DE＝5﹣2x＝．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
八、（本题满分14分）
23．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线的对称轴于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）证明△EHG为等腰直角三角形，得到EF＝2EH＝2×EG＝GE，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝﹣（x﹣1﹣）（x﹣1+）＝﹣x2+2x+5；

（2）存在，理由：
由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线的对称轴于点P，则点P为所求点，
理由：△PAC的周长＝AC+PA+PC＝AC+PA+PB＝AC+BC为最小，

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（3﹣）（x﹣1﹣），
当x＝1时，y＝（3﹣）（x﹣1﹣）＝6﹣3，
故点P的坐标为（1，6﹣3）；

（3）过点E作y轴的平行线交CD于点G，设EF交CD于点H，
由直线CD的表达式知，该直线和x轴的夹角为45°，
∵将直线CD上方的抛物线部分关于直线CD对称形成爱心图案，
∴∠EDH＝90°，EH＝FH，
∴△EHG为等腰直角三角形，
则EF＝2EH＝2×EG＝GE，
设点E（n，﹣n2+2n+5），则G（n，n﹣1），
则EF＝GE＝（﹣n2+2n+5﹣n+1）＝﹣（n2﹣n﹣6），
∵﹣0，故EF有最大值，
当n＝时，EF的最大值为，
∴EF的取值范围为：0≤EF≤．

【点评】此题重点考查一次函数图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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