中考数学二轮复习专题训练题型10 二次函数的综合应用题（教师版）

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题型10 二次函数的综合应用题
一、解答题
1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，P的坐标为：或或或.
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：；
（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，
即：则，

设点P坐标为、则点，

，故有最大值，
当时，其最大值为18；
（3），
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为、则点，
由题意得：，即：，
解得或0或4（舍去0），
则点P坐标为或或；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为，
设点P坐标为、则点，
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，
解得：或（舍去0），
故点；
故点P的坐标为：或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．已知二次函数的图象过点，点（与0不重合）是图象上的一点，直线过点且平行于轴．于点，点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点在线段的中垂线上；
（3）设直线交二次函数的图象于另一点，于点，线段的中垂线交于点，求的值；
（4）试判断点与以线段为直径的圆的位置关系．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）点在以线段为直径的圆上
【分析】（1）把点代入函数表达式，即可求解；
（2），即，又,即可求解；
（3）证明≌、≌，即，即，即可求解；
（4）在中，由（3）知平分，平分，
则，即可求解．
【详解】解：（1）∵的图象过点，
∴，即，∴；
（2）设二次函数的图象上的点，则，

，即，，
又，
即，
∴点在线段的中垂线上；
（3）连接，
∵在线段的中垂线上，
∴，
又∵，，
∴≌，
∴，
∴，
连接，又在和中，
∵在的图象上，由（2）结论知∴，
∵，
∴≌，
即，
即，
∴；
（4）在中，由（3）知平分，平分，
∴，
∴点在以线段为直径的圆上．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明≌、≌R是本题解题的关键．
3．如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E,
①求DE的最大值.
②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？

【答案】（1）；（2）点P坐标为或或或；（3）①当时，最大值为4，②当或时，四边形MDNF为矩形.

【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交点式即求得a=-1．
（2）由∠POB=∠ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得Rt△POH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造△ACG∽△POH．利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出．设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标．
（3）①用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式．设D横坐标为t，把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、t表示的DE的长，把m当常数，对未知数t进行配方，即得到当t=m+2时，DE取得最大值．
②由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2．由①得d=m+2时，DE=4，所以MN=8．用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0）
∴设交点式y=a（x+1）（x+3）
∵OC=OB=3，点C在y轴负半轴
∴C（0，-3）
把点C代入抛物线解析式得：3a=-3
∴a=-1
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H

∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH


∵OB=OC=3，∠BOC=90°
∴∠ABC=45°，
∴△ABG是等腰直角三角形



∴OH=2PH
设P（p，-p2-4p-3）
①当p＜-3或-1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数
∴OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3
∴-p=2（p2+4p+3）
解得：
或
②当-3＜p＜-1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号
∴p=2（p2+4p+3）
解得：p1=-2，p2=-
∴P（-2，1）或
综上所述，点P的坐标为或或或；
（3）①如图2，

∵x=m+4时，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35
∴M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）
设直线MN解析式为y=kx+n
∴
 解得：
∴直线MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3
设D（t，-t2-4t-3）（m＜t＜m+4）
∵DE∥y轴
∴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3）
∴DE=-t2-4t-3-[（-2m-8）t+m2+4m-3]=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-[t-（m+2）]2+4
∴当t=m+2时，DE的最大值为4．
②如图3，

∵D、F关于点E对称
∴DE=EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN=DF，且MN与DF互相平分
∴DE= MN，E为MN中点

由①得当d=m+2时，DE=4
∴MN=2DE=8
∴（m+4-m）2+[-m2-12m-35-（-m2-4m-3）]2=82
解得：
∴m的值为或时，四边形MDNF为矩形．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算．
4．如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.

⑴求抛物线的函数表达式；
⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；
⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵当 ，□MANB=△= ，此时；⑶存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；
（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．
【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，
得，，
解得a=-1，c=3，
∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，

将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，
得，，
解得，k=1，b=1，
∴yAB=x+1，
设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），
则MK=-a2+2a+3-（a+1）
=-（a-）2+，
根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，
∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK
=MK•AH+MK•（xB-xH）
=MK•（xB-xA）
=××3
=，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；
（3）存在点F，
∵y=-x2+2x+3
=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，

抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，
则BF=BN=-3=，CF=CH=，
由题意可列：，
解得，a=，
∴F（1，）．
【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.

（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.
【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）四边形MNGF周长最小值为12；（3）存在点P，P坐标为（6，﹣6）；（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.
【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案；（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把△ODP拆分为△OPQ与△DPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t，用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件；（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值.
【详解】（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点M'，作点N关于y轴的对称点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形MNGF＝MN+M'N'=
∴四边形MNGF周长最小值为12.

（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为.
过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q
∵D（2，﹣6）
∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点Q（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧

∴PQ＝yQ﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t
∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝PQ•xP+PQ•（xD﹣xP）＝PQ（xP+xD﹣xP）＝PQ•xD＝PQ＝﹣t2+t
∵△ODP中OD边上的高h＝，
∴S△ODP＝OD•h
∴﹣t2+t＝×2×
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧

∴PQ＝yP﹣yQ＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t
∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝PQ•xP﹣PQ•（xP﹣xD）＝PQ（xP﹣xP+xD）＝PQ•xD＝PQ＝t2﹣t
∴t2﹣t＝×2×
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为.
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，-6）
连接AC，交KL于点H

∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD
∴S△AHK＝S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴==1，
∴AH＝CH，KH=HL，即点H为AC中点，也是KL中点
∴H（4，﹣3）
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度.
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明.
6．如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过两点，且交轴于另一点，连接．
（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）点；（3）点的坐标为：或或．
【分析】（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=6，故点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，3），即可求解；
（2）PH=PGcosα=,即可求解；
（3）分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】（1），令，则，令，则，
故点的坐标分别为、，
抛物线的对称轴为，则点，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：
（2）过点作轴的平行线交于点，作于点，

将点坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：，
则，，则，
设点，则点，
则
∵，故有最小值，此时，
则点；
（3）①当点在轴上方时，
则点为顶点的三角形与全等，此时点与点关于函数对称轴对称，
则点；
②当点在轴下方时，
为顶点的三角形与相似，则，

当时，
直线BC表达式的值为，则直线表达式的值为，
设直线表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：
直线的表达式为：②，
联立①②并解得：或﹣8（舍去6），
故点坐标为（舍去）；
当时，
同理可得：直线的表达式为：③，
联立①③并解得：或﹣10（舍去6），
故点坐标为，
由点的对称性，另外一个点的坐标为；
综上，点的坐标为：或 或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
7．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°