专题04 利用导数研究函数有解问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题04 利用导数研究函数有解问题
【考点预测】
1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．
一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
2、直接讨论法
直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等．
【典型例题】
例1．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
【解析】（1）的定义域为，
当时，，
∴，
令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2），令，
若，则，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
∴当时，f（x）在上单调递减，
∴f（x）在上的最大值为，
，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴g（x）单调递增，
∴在上的最小值为，
由题意可知，解得，
又∵，
∴实数a的取值范围为[1，4）．
例2．（2023春·天津宝坻·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
【解析】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为，
因为，所以由导数的几何意义知，，
所以，解得：.
（2）的定义域为，
，
当时，，则在上单调递增，
当时，令，解得：，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，则单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）若存在，使得，转化为证明，
由（2）知，当时，则在上单调递增，而，
则存在，使得，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以，
解得：，因为，所以.
a的取值范围为.
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，
因此，解得，此时，
当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，
所以函数的解析式为.
（2），不等式，
令，，求导得，
因此函数在上单调递减，则当时，，
因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，
所以实数的取值范围是.
例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．
【解析】（1）
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上：时在上单调递增.
时在上单调递增，在上单调递减
时在上单调递增，在上单调递减.
（2）若在区间上有解，即求
当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.
当时在上单调递增，在上单调递减
当时，所以函数在单调递减，
所以成立，满足题意.
时，函数在单调递减，在上单调递增.
所以不成立，舍去
时在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在单调递增，，所以
综上的取值范围为：
例5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，
（1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）；
（2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数只有1个零点.
(，，
当时，，或；当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以有极大值和极小值，且，
所以函数只有1个零点.）
（2）令 ，则，
当时，，或，          
当时，， 当时，，或
则当变化时，及的变化情况如下表：



-2






0


0



极小值

极大值

由上表可知，函数的增区间是 ，减区间是和，
当时， 函数取得极小值，
当时， 函数取得极大值，
由，当时，，当时，，
所以，轴是函数的图象的渐近线
所以，当时， 函数的最小值为，
若，使关于的不等式能成立，
则大于的最小值，即，
所以，实数的取值范围是
（2）另法：
关于的不等式能成立等价于不等式能成立，
当时，能成立，满足条件；
当时，抛物线开口向上，   
，使成立，满足条件；
当时，只需，
即 ，解得；
综上，实数的取值范围是.
例6．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，为整数，且当时，，求的最大值．
【解析】（1）由题设，
当时，，则在R上单调递增；
当时，有，则在上递增；
有，则在上递减；
综上，，在R上单调递增；，在上递减，在上递增.
（2）由题设，则，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，只需，
令，若，则，
当时，，递增；当时，，递减；且，
又，，，，则，
所以整数，故其最大值为2.
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
【解析】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，
当x∈(－∞,0)时f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[.
∵g(x)＝，
∴g′(x)＝′＝＝，
∵x<－时，g′(x)>0，
∴g(x)在上单调递增，且值域为.
若∃x1∈(－∞,－1]，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则1＋<，可得a<.
综上，故实数a的取值范围是.
例8．（2023·全国·高二专题练习）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为函数，
所以函数定义域为： ，且
①当时，，令，令,
所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，因为，所以当时，
，令，令或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，，
所以当时，在上单调递减；
当时，，令，令
或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
③当时，令，令，
所以当时在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，
所以，所以原问题，
使得成立，使得成立.                 
设，则，
所以上单调递减，所以.
所以即.
【过关测试】
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
【解析】（1）由，可得．
因为，，
所以切点坐标为，切线方程为：，
因为切线经过，所以，解得．
（2）由题知的定义域为，，
令，解得或，
因为所以，所以，
令，即，解得：，
令，即，解得：或，
所以增区间为，减区间为．
因为，所以函数在区间的最大值为，
函数在上单调递增，故在区间上，
所以，即，故，
所以的取值范围是.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在时有解，求实数a的取值范围．
【解析】（1），当时，，当时，，则在上单减，在上单增，
故的极小值为，无极大值.
（2）在时有解，即在时有解，令，
则，由（1）知在上单增，且，则，
则当时，单减，当时，单增，所以，故.
3．（2023春·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
①当时，由于，故，，
所以的单调递增区间为；
②当时，由，得，
在区间上，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题目知，只需要即可
又因为，所以只需要即可
即等价于恒成立，
由变量分离可知，，
令，下面求的最小值，
令，所以得，
所以在为减函数，为增函数，
所以，所以.
4．（2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数）
(1)求在处的切线方程.
(2)存在成立，求a的取值范围.
(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.
【解析】（1）由题意可得：，
则，
即切点坐标，切线斜率，
故在处的切线方程为，即.
（2）∵，则，
∴原题意等价于存在成立，
又∵，则，
∴，
故a的取值范围为.
（3）因为对任意的，存在，有，所以，
因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
因为开口向下，对称轴为，则有：
①当，即时，在上单调递减，则，
所以，则，
故；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，故；
③当，即时，在上单调递增，则，
所以，故；
综上所述：，即的取值范围.
5．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知函数，
(1)若，试确定函数的单调区间；
(2)若，且对于任意，恒成立，求实数k的取值范围；
(3)令，若至少存在一个实数，使成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）若，则，可得，
令，解得，
则，；，；
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）则，可得，
令，解得，
则，；，；
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当，即时，在上单调递增，
则，即符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则，解得；
综上所述：实数k的取值范围为.
（3）若，则，可得，
故原题意等价于至少存在一个实数，使成立，
构建，则对恒成立，
故在上单调递增，则，
可得，
故实数k的取值范围为,
6．利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧
根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解．
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令有，故当，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
8．（2023·高二课时练习）已知函数为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题可知函数的定义域，
因为,所以，所以，
令解得，
所以在上是增函数.
（2）因为,所以，所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值为，
因为，
所以当时，函数有最大值为.
（3）由得，即，
因为，所以，所以，
且当时，所以在恒成立，所以，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，
令，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
所以时，恒成立，
所以，
所以实数的取值范围是.
9．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，，使得，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
10．（2023春·山东威海·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．
【解析】（1）定义域为，
，
令，得或．
当即时：
，，函数在上单调递减；
，，函数在单调递增；
当，即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
当即时：，，函数在单调递增；
当即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；
当时，单调递增区间有，无单调递减区间；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．
（2）当时，
由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，
从而函数在区间上的最小值为．
即存在，使，
即存在，使得，
即，令，，则，
由，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以．
11．（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）已知函数．
(1)若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值；
(2)若不等式有解，求的取值范围．
【解析】（1）由于图像上各点切线斜率的最大值为2，
即取得最大值为2，
由题可知的定义域为，
则，
即是关于的二次函数，
，当时，取得最大值为，
，
而，，
此时，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
的极小值为，无极大值．
（2），其中且，
在上，，则单调递减，
在上，，则单调递增，
，
关于的不等式有解，
，
，，
设，则，
在上，，则单调递增，
在上，，则单调递减，
，即在内恒成立，
要求，即，
则只需即可，即，等价于，
解得：且，
的取值范围是：且.
12．（2023·高二课时练习）已知函数，
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即；
（2）令，
则，
令，，
在上，，
在上单调递增，
，
．
13．（2023秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期末）设函数．
(1)若，求的单调区间和极值；
(2)在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；
(3)若存在，使得，求的取值范围
【解析】（1）函数的定义域为，，
由解得．
与在区间上的情况如下：


     


   –
     
    

   ↘

    ↗
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值，无极大值．
（2）由（1）知，在区间上的最小值为．
因为存在零点，所以，从而．
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点．
当时，在区间上单调递减，且，
所以在区间上仅有一个零点．
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
（3）设，．
①若，则，符合题意．
②若，则，故当时，，在上单调递增．
所以，存在，使得的充要条件为
，解得．
③若，则，故当时，；
当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意．
综上，的取值范围是．
14．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数.
（1）若，求曲线在处切线的方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
【解析】（1）由已知，
，
曲线在处切线方程为，即.
（2）.
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为，无单调递减区间.
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由已知，转化为，
由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，
解得.
15．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程.
（2）函数的图象上是否存在两点，，使得(其中)能成立？请说明理由.
【解析】（1）若，即，则，即有，而，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）假定曲线上存在两点，使成立，其中，
于是得曲线在点处的切线的斜率等于直线的斜率，
不妨设，直线MN的斜率有：
，
而，于是得，
从而有，即，
令，则，上式化为，即方程在上有解，
令，，则，即在上单调递增，于是得，
从而得方程不成立，即在上没有解，
所以函数的图象上不存在两点，，使得(其中)能成立.
16．（2023春·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知函数，实数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题知的定义域为，
.
∵，，∴由可得.
（i）当时，
，当时，单递减；
（ii）当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述，时，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
（2）由题意：不等式在成立
即在时有解.
设，，只需.
则，因为，
所以在上，，
在上，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此.
不等式在成立，
则恒成立.
又，所以恒成立.
令，则.
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以.
因此解可得且，
即且.
所以实数a的取值范围是.
17．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
（1）求函数；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）∵，
由，得且，解得，，
又，∴，
∴；
（2）存在，使得，等价于，
∵，
当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，
∴在上的最大值为，
∴，解得，
所以的取值范围是．