中考数学二轮专题复习：全等到相似的转化 (含答案)

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     【例1】         已知正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．⑴ 当时，______，⑵ 当时，求的值；⑶ 当时（点与点不重合），请写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．【解析】         ⑴   6   ； ⑵ ① 如图1，当点在上时，延长交于点，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴．又，∴．∴．设，则，．在中，由勾股定理得：，解得．∴．∴； ② 如图2，当点在延长线上时，延长交于点，同①可得．设，则．在中，由勾股定理，得，解得．∴．∴．⑶ ① 当点在上时，； （所求的面积即为的面积，再由相似表示出边长）② 当点在延长线上时，．  【例2】         在和中，，，，、交于点．⑴ 如图1，，则        ，与的数量关系是      ；　　　　  ⑵ 如图2，，则的度数为        （用含的式子表示），与之间的数量关系是        ；填写你的结论，并给出你的证明；⑶ 请你继续完成下面探索：如图3，在和中，，，，则的度数为       （用含的式子表示），与之间的数量关系是       ；填写你的结论，并给予证明．【分析】       此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.【解析】       ⑴ ，相等；⑵，相等； ∵，∴∴，∴，∵，∴∵，∴，∴．⑶ ，.易证，∴，∵，∴，∴，∴． 【例3】         如图，直线与线段相交于点, 点和点在直线上，且.⑴ 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；⑵ 将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，⑴中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑶ 将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值． 【答案】⑴ ；⑵ 仍然成立.证明: 过点作于,过点作于∴∵,∴≌∴∵∴∴ 延长与的延长线相交点∴又∵∴∴⑶ 过点作于,过点作于易证∴ ．∵ ，∴ ．由⑵知 ． ． 【例4】         如图，是由绕点顺时针旋转得到的，连结交斜边于点，的延长线交于点．⑴ 证明：；⑵ 设，，试探索、满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由．              【解析】         ⑴ 证明：∵是由绕点顺时针旋转得到的，∴，，∴ ∴又∴⑵ 解：当时，在中，∵∴在中，，即，∴．∵，∴∴由⑴知：，∴. 【例5】         如图，正方形的对角线与相交于点，正方形与正方形全等，射线与不过、、、四点且分别交BC、CD的边于、两点． ⑴ 求证：；  ⑵ 若将原题中的正方形改为矩形，且，其他条件不变，探索线段与线段的数量关系．          【解析】       ⑴ 证明：过点作于点，于点.∴.∵为正方形对角线、的交点，∴.又∵∴在和中                        ∴.       ∴.  ⑵ 解：当交于点，交于点时. 过点作于点，于点H.∴∠MGE=∠MHF=.∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠EMG+∠GMQ =∠HMF +∠GMQ=.∴∠EMG =∠HMF.在△MGE和△MHF中，∴△MGE∽△MHF.       ∴.∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴MB=MD=MC又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点G、H分别是BC、DC的中点. ∵，∴.           ∴.【例6】         如图，是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时，两点间的距离 （用含的代数式表示）．【解析】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵的中点，∴，在中，∴∴；（2）解：连接，∵是两个全等的等腰直角三角形，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，．
 题型一  全等到相似的转化（对称型）【练习1】   如右图，在正方形ABCD中，AB=1，BE⊥AP于E，DF⊥AP于F，若= m(m为常数)，则=       .【解析】        【练习2】   如图，已知，，，以为边作矩形ABCD，使，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．      ⑴ 当a为何值时，？请说明理由，并求此时点C到OE的距离．⑵ 当a为何值时，C到OE的距离是15?【解析】         ⑴ 当时，∵，，∴，当时，，∵，∴过作，过作． ∵为矩形．又∵，∴为正方形∴，，∴，∴∴，∴⑵ 当时，到的距离是15；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴    题型二  全等到相似的转化（旋转型）【练习3】   现有一副直角三角板，按下列要求摆放：⑴ 如图1，固定等腰直角三角板，于，另一个直角三角板的直角顶点与重合，现让三角板绕点旋转，保证、分别交、于点、．试探求的值；⑵ 如图2，交换两块三角板的位置，固定直角三角板，于，另一个等腰直角三角板的直角顶点与点重合，、分别交、于点，，试问的值又将如何变化？     【解析】         ⑴ ，，，得，．⑵由，得，又由，得，故． 【练习4】   如图1，在中，，，是边上一点，是边上的一个动点（与点、不重合），，与射线相交于点．⑴如图2，如果点是边的中点，求证：；⑵如果，求的值.    【解析】       ⑴ 如图，连结，那么是等腰直角三角形的斜边上的高．根据“角边角”可以证明，从而得到．⑵ 如图，作，，垂足分别为点、，那么与都是等腰直角三角形，．因为与都是的余角，所以．又因为，所以．因此．   【练习5】   填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，，，   ，直线AE、BD交于点F．⑴ 如图1，若，则_________；如图2，若，则_________；⑵ 如图3，若，则_________(用含的式子表示)；⑶ 将图3中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图4或图5．在图4中，与的数量关系是___________；在图5中，与的数量关系是___________．请你任选其中一个结论证明．【解析】       ⑴ ，；⑵ ；⑶ 图4中：；图5中：．的证明如下：如图4，设与的交点为∵，，．∴，∴，，∴，得∵∴．