专题33 从全等到相似类比探究-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题33 从全等到相似类比探究（原卷版）

第一部分 典例剖析

类型一 从全等到相似——旋转变换

典例1（2021秋•槐荫区期中）已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．

（1）当α＝60°时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：tan∠CED；

（2）当α＝90°时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．

典例2 （2022•泰山区一模）（1）如图1，菱形AECH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：3，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，求出变化后的结果；若无变化，请说明理由．

典例3（2022•湘潭县校级模拟）如图1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连结BD．

（1）求证：BD＝AC；

（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．

①如图2，当点F落在AC上时（F不与C重合），若CF＝1，tanC＝3，求AE的长；

②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的数量关系，并说明理由．

典例4（2022•杭州模拟）已知，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），连接AD，以AD为边向右作等腰直角△ADE，AD＝AE，连接CE．

（1）填空：当点D在线段BC上如图（一），可通过证明①△　   　≌△　   　，得到BD＝　   　，进而判断②CE，CD，BC三条线段的数量关系为 　   　．

（2）当点D在线段BC的延长线上且其他条件不变如图（二），（1）中CE，CD，BC三条线段的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并证明．

（3）当点D在线段CB的延长线上且其他条件不变，请你构造出图形，并写出CE，CD，BC三条线段的数量关系．

类型二 从全等到相似——变式探究

典例5 （2022•坪山区一模）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

问题发现：

（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则　   　；

②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则　   　；

拓展研究：

（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；

解决问题：

（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．

典例6 （2022秋•连山区校级月考）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于点M．

（1）如图1，求证：AC与BD的数量与位置关系并说明理由；

（2）连接MO，求证：MO平分∠BMC；

（3）如图2，∠AOB＝∠COD＝60°时，直接写出∠AMD的度数．

类型三 从全等到相似——从特殊到一般

典例7 （2019春•方城县期中）问题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE，点F是线段AE上一点，连接BF并延长，交射线CD于点G．若AF：EF＝4：1，求的值．

（1）尝试探究：

如图1，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是．CG和EH的数量关系是，因此　   　．

（2）类比延伸：

在原题的条件下，若把“AF：EF＝4：1”改为“AF：EF＝n：1”（n＞0），求的值．（用含有n的式子表示）

（3）拓展迁移：

如图2，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE与BD相交于点F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），则　   　．（直接用含有a、b的式子表示，不写解答过程）

第二部分   专题提优训练

1．（2022春•金牛区校级月考）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2．连接AA1，CC1若AA1＝4，求CC1的长；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1求线段EP1长度的最大值与最小值．

2．（2022秋•清镇市月考）如图1，矩形ABCD与矩形CEFG全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，连接AC，CF．

（1）在图1中，连接AF，则AF＝　   　；

（2）如图2，将图1中的矩形CEFG绕点C逆时针旋转，当CG平分∠ACF时，求点G到AC的距离；

（3）如图3，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针方向旋转，连接AF，DE，两线相交于点M，求证：点M是AF的中点．

3．（锦江区模拟）已知：在△ABC中，∠DBC＝∠ACB，BC＝2AC，BD＝BC，CD交线段AB于点E．

（1）如图1，当∠ACB＝90°时，求证：DE＝2CE；

（2）当∠ACB＝120°时，

①如图2，猜想线段DE、CE之间的数量关系并证明你的猜想；

②如图3，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，求的值．

4．（岳阳中考）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连接AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；

（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连接EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．

5．（2018•武汉模拟）在菱形ABCD中，E、F分别为AB、BC边上的点，连接AF、DE，且∠ADE＝∠BAF．

（1）若∠B＝90°，求证：△ADE≌△BAF；

（2）若∠B＝60°，求证：；

（3）若点E为AB的中点，AF⊥BC，请直接写出的值．