河南省郑州市等2地2022-2023学年高三下学期3月冲刺（一）理科数学试题

河南省郑州市等2地2022-2023学年高三下学期3月冲刺（一）理科数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知变量x，y满足，则的最大值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

5．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x，则该型电动汽车月平均用电量在的户主人数为（    ）

A．98 B．103 C．108 D．112

7．某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（    ）

A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26

8．已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知双曲线的左右焦点分别为为右半支上一点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．9

10．在等比数列中，公比，且，则（    ）

A．3 B．12 C．18 D．24

11．定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若“”为假命题，则实数的取值范围为___________.

14．的展开式中的系数为______________．

15．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________.

16．直线与椭圆交于两点，长轴的右顶点为点，则的面积为___________.

三、解答题

17．已知的角对边分别为，满足，.

(1)求；

(2)求外接圆的半径.

18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x（kg）和玉米相应产量Y（kg）的相关数据，制作了数据对照表：

若在合理施肥范围内x与Y具有线性相关关系，

(1)求Y关于x的线性回归方程；

(2)请利用线性回归方程预测时的玉米产量.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.

19．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.

(1)证明：；

(2)求二面角的大小；

(3)求直线CA与平面所成角的正弦值.

20．已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.

(1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；

(2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.

21．已知函数.

(1)若，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值.

22．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数）.

(1)若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)过点向直线l作垂线，垂足为Q，说明点Q的轨迹为何种曲线.

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)若在上恒成立，求实数的最小值.

参考答案：

1．C

【分析】由指数函数的性质求解集合B，结合交集的概念运算可得出结果.

【详解】.

故选：C

2．B

【分析】化简复数，结合复数的坐标表示，即可求解.

【详解】由题意，复数满足，

可得，

所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B.

3．B

【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.

【详解】

.

故选：B.

4．A

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影四边形（含边界），，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最小，最大，即，

所以的最大值为4.

故选：A

5．D

【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.

【详解】4个元素的集合所有子集共个，设此集合为，

事件A：“所取子集中含有3个元素”，则事件A的基本事件个数为4个，即，，，，

所以.

故选：D．

6．C

【分析】由频率和为1列方程求x，再根据直方图中区间频率求样本中对应的户主人数.

【详解】由，得.

月平均用电量在的用户户.

故选：C

7．C

【分析】根据正态分布的对称性计算即可.

【详解】因为，，

所以，

又，

所以.

故选：C.

8．B

【分析】由条件列方程求，由此可得函数的解析式，再由基本不等式求其最大值.

【详解】因为函数的图象过点与，

所以，，则，

解得，，

故函数的解析式为：.

而，

当且仅当时取等号，

函数在区间上的最大值为.

故选：B.

9．A

【分析】根据数量积的定义可得，结合双曲线的定义可得，进而求解，由余弦定理即可求解.

【详解】可得.

又，两式联立可得，

，整理可得，

.

故选：.

10．B

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】，.

故选:B.

11．B

【分析】根据函数的三个条件得到函数为上的偶函数，周期为4，且函数在上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.

【详解】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，

所以函数为上的偶函数，

又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，

又因为对于互不相等的任意，都有，

且当时，，所以对任意，则，

故有，所以函数在上单调递增，

则有，，，因为函数在上单调递增，

则，即，

故选：B.

12．D

【分析】利用导数结合题意可知，在上单调递减，又，结合单调性定义可得不等式的解集．

【详解】由可得.

而，∴，∴在上单调递减，

又，则，

所以，则，

故不等式的解集为．

故选：D．

13．

【分析】由“”为真命题，利用判别式法求解.

【详解】解：由条件可知“”为真命题，

则，即.

故答案为：

14．24

【分析】的展开式中来自于三类:①中的二次项与的常数项的乘积;②中的常数项与的二次项的乘积;③中的一次项与的一次项的乘积.

【详解】展开式中项为，

∴的系数为24．

故答案为:24

15．

【分析】由向量的数量积公式得出，求出的最大值和最小值即可得出结果.

【详解】由线段EF的中点为点B，得出.

.当点P位于点A或点C时，取最大值8.

当点P位于的中点时，取最小值，即，

∴的取值范围为，∴的取值范围为.

故答案为：.

16．

【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.

【详解】直线与椭圆联立得.

设点，则.所以.

由椭圆知点，故点到直线的距离：，

所以的面积为.

故答案为:.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得，结合三角函数同角关系即可求解，

（2）由余弦定理代入已知关系即可得，由正弦定理即可求解.

【详解】（1）由以及正弦定理可得：，

，

，

，

，而.

（2）

，整理得，

.

由正弦定理可得

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用最小二乘法求解；

（2）将代入回归方程求解.

【详解】（1）解：由表中数据计算得，.，

，，

，

.

所以回归方程为.

（2）将代入回归方程得.

故预测时，玉米产量约为.

19．(1)证明见解析；

(2)

(3)

【分析】（1）由正三棱柱的性质可得平面，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得；（2）以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角的大小为；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平面所成角的正弦值为.

【详解】（1）由为正三棱柱可知，平面，

又平面，所以，

由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；

又，平面，所以平面；

又平面，所以；

（2）取线段的中点分别为，连接，

易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;

由侧棱长为，底面边长为2可得，

，

由D为AB的中点可得，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，可得；

即；

易得即为平面的一个法向量，

所以，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

所以，即；

即二面角的大小为.

（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，

设直线CA与平面所成的角为，

所以，

即直线CA与平面所成角的正弦值为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）由题知直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；

（2）设出直线的方程及的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出将韦达定理代入，化简求出参数即可得点的坐标.

【详解】（1）因为直线的斜率为1且过点，

所以直线的方程为：，

设，

由，得：，

所以，

所以，

因为为线段的中点，的纵坐标为2，

所以，

所以抛物线的方程为：.

（2）设直线的方程为：，，

，得：，

所以，

由

由，

所以，

即，

所以，

所以点的坐标为.

21．(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，

（2）将问题等价转化成在有唯一实数解.构造函数，和利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.

【详解】（1）当时，，

且，

函数在点处的切线方程，

即.

（2）在其定义域上有唯一零点，

方程，

即在有唯一实数解.

设，则.

令，即

的两个根分别为

（舍去），.

当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

当时，取最小值，

要使在有唯一零点，则须即

设函数当时是增函数，至多有一解.

方程的解为，即，解得，

实数的值为.

【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.

22．(1)，

(2)的轨迹为以点为圆心，为半径的圆

【分析】（1）根据直线的参数方程和求解；利用，求解；

（2）在时直接求出Q的坐标，在时，写出过点P且与直线l垂直的直线方程，与直线l的方程联立消参求得Q的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.

【详解】（1）解：由直线的参数方程为

∵，

∴直线l的普通方程为，即.

由得，

因为，，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）若，由，可知直线l的方程为，

于是过点向直线l作垂线，垂足为.

若，由直线l的参数方程可知直线l的斜率为，

∴过点且与直线l垂直的直线方程为.

联立方程组整理得，

∴点的轨迹方程为，

即，

显然，点也在上，

所以动点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆.

23．(1)

(2)

【分析】（1）分、、三种情况解不等式即可；

（2）由，可得，由可得在上恒成立，进而求解.

【详解】（1）因为，

所以解不等式，

而，

当时，不等式为，解得；

当时，不等式为不成立，不等式无解；

当时，不等式为，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）由，可得，

因为，当且仅当，即或时等号成立.

所以在上恒成立，

故要使在上恒成立，只须，

即实数的最小值为.