2023年江西省南昌市中考一模数学试卷

2023年江西省南昌市中考一模数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各数，为1的是（   ）

A． B． C． D．

2．下列运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是（    ）

A． B． C． D．

4．一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如下表：

则时，这个钢球的速度是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，的顶点在的边上，，若，则（   ）

A． B． C． D．

6．如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ）

A． B．该抛物线必过点

C．当时，随增大而增大 D．当时，

二、填空题

7．﹣2的倒数是___．

8．已知一元二次方程的两个实数根分别为，的值为_________．

9．为陶冶孩子情操，磨炼孩子意志，某父母鼓励自己的两个孩子利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，设哥哥每天写x字，则可列方程为_______________．

10．小胡想买一台新电脑，他向最近火爆圈内的Chat-GPT（全新AI聊天机器人）征询意见，机器人给出电脑的外观、续航、性能、价格四个方面的得分（各方面分值都以满分10分来计）如下表，然后问小胡，如何选择？小胡说，外观，续航，性能，价格，选综合分高的．请你根据表格中的数据计算，确认小胡会选哪款电脑？____________．（填甲或乙）

11．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用数形结合思想，解决下面问题：

如图，在平面直角坐标中，将线段向上平移4个单位，若线段在运动过程中扫过的区域面积为S，则S与的关系式为_________．

12．如图，是的弦，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点在上，若，则___________°

三、解答题

13．（1）计算：

（2）如图，两点分别在的边和上，，若直线把分成面积相等的两部分，求的值．

14．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

15．先化简：，再从，0，2三个数中选一个合适的数代入求值．

16．2023年1月22日晚8点，南昌市在赣江之心老官洲举办了“流光华彩庆佳节，欣逢盛世启新程”主题迎春烟花晚会，重点观看区域有4个，分别为号、号、号、号区域，甲、乙两个家庭分别从这四个区域随机选择一个区域进行观看．

(1)事件“甲、乙两个家庭都选到号区域进行观看”是__________事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）

(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两个家庭选到同一区域进行观看的概率．

17．如图，是的正方形网格，的三个顶点都在格点上，，点在边上，请仅用无刻度的直尺，分别在图1，图2中，画符合下列条件的点．

(1)；

(2)最短．

18．为积极响应“双减”政策，某校七年级数学备课组积极开展初中数学作业的设计与实施课题研究，为了使研究的课题可靠和有效，该备课组对本年级学生数学学习的状态、效果进行跟踪．期间，抽取了部分学生进行了两次测试，第一次是课题实施前的测试，第二次是课题实施后的测试，并根据两次测试的数学成绩制成统计表和统计图．

(1)______________；

(2)请在图中补全课题实施前测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；

(3)某同学第二次测试的成绩为75分，那么该同学在这次测试中的成绩处于何种水平？（ ）

A． 中等       B． 中等偏上      C． 中等偏下      D． 不能确定

(4)该备课组秉持“一切为了学生，为了学生的一切，为了一切的学生”的精神，让不同的学生在数学上得到不同的发展．分层布置作业，效果显著，特别是经过老师和学生们的共同努力，成绩在的学生人数降为0．若该校七年级共有550名学生，请你估算一下，该校七年级数学成绩在的学生原有多少人？

19．如图1，等腰的顶点都在轴上，反比例函数的图象经过点，已知两点的坐标分别为和，．

(1)若，求该反比例函数的解析式；

(2)若，求点的坐标．

20．图1是一款简约时尚升降旋转多功能用桌，图2是它的示意图，支架与相交于点，与相交于点，桌面铺在支点、处，与地面平行，通过活动调节器（在对角线上），可改变的大小，从而调节桌面的高度（与之间的距离）．经测量，，，，．

(1)求此时的大小；

(2)一般情况下，桌面的高度在至之间较为适宜，妙妙同学通过活动调节器改变的大小，使得，如图3，问此时桌面的高度是否较为适宜？说明理由．（参考数据：）

21．如图1，在中，，点在斜边上，满足，点在边上，以点为圆心，为半径画圆，交边于点，若刚好过点．

(1)求证：是的切线；

(2)如图2，若是边的三等分点，且，．

①求两点间的距离；

②求图中阴影部分的面积．

22．一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点到地面的距离为（即，当球运行至处时，水平距离为（即到的距离为），达到最大高度为，已知篮圈中心到地面的距离为．篮球架可以在直线上水平移动．

(1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；

(2)若篮球架离人的水平距离为，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由：若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．

23．【课本再现】

（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．

①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．

【类比迁移】

（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；

【拓展应用】

（3）如图3，在中，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．

参考答案：

1．C

【分析】根据一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；和有理数的计算，同号得正，异号得负即可得到答案．

【详解】解：A、，故该选项不符合题意；

B、，故该选项不符合题意；

C、，故该选项符合题意；

D、，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了绝对值和化简有理数多重符号，熟记“同号得正，异号得负”是解题关键．

2．B

【分析】根据合并同类项、同底数幂相除、积的乘方、完全平方公式，逐项判断即可求解．

【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；

B、，原选项正确，符合题意；

C、，原选项错误，不符合题意；

D、，原选项错误，不符合题意.

故选：B．

【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相除、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

3．C

【分析】三视图主要考查空间想象能力，从正面看，第一层三个小正方体，第二层是一个小正方体，从左边看，第一层是三个小正方体，第二层是一个正方体，即可得解．

【详解】解：从左边看，第一层是三个小正方体，第二层中间是一个正方体，

故选：C．

【点睛】本题考查三视图，培养空间想象能力是解题关键．

4．A

【分析】根据表格可得速度与时间的比值为定值，继而求解即可．

【详解】由表得，速度与时间的比值为，

∴当时，这个钢球的速度是，

故选：A．

【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．

5．B

【分析】根据两直线平行，内错角相等，可证，即可得到答案．

【详解】解：∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．

6．D

【分析】将代入解析式可判断A，结合题意，由（1）可知，当时可判断B，结合题意求得抛物线的对称轴即可判断C，结合对称轴利用对称性可得，即当时，可判断D．

【详解】解：（1）将代入解析式得，

故A正确，不符合题意；

（2）结合题意，由（1）可知，当时，

，

，

，

，

抛物线必过点，

故B正确，不符合题意；

（3）结合题意可知，

抛物线的对称轴为：，

当时，随增大而增大，

故当时，随增大而增大，

故C正确，不符合题意；

（4）结合题意由（3）可知，

，

，

当时，

故D错误，符合题意；

综上，故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．

7．

【分析】直接利用倒数的定义得出答案．

【详解】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．

所以的倒数为．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键

8．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．

【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解答本题的关键．

9．

【分析】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，根据哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，列分式方程即可．

【详解】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，由题意得

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，熟练掌握知识点，找出等量关系是解题的关键．

10．甲

【分析】根据加权平均数的计算方法分别计算出甲和乙的综合分数，进而比较即可得出答案．

【详解】甲的得分：分，

乙的得分：分，

，

∴小胡会选甲电脑，

故答案为：甲．

【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握知识点是解题的关键．

11．

【分析】根据题意做出图，通过图可得线段在运动过程中扫过的区域面积S即为四边形的面积，且，即可得到答案．

【详解】解：如图所示：

线段是线段向上平移4个单位长度得到的，

∴线段的解析式为：，

把，代入得：，，

∴点A坐标为，点B坐标为，

∴点L的坐标为，

把，代入得：，，

∴点K的坐标为，点J的坐标为，

∴，，，

由题意得：线段在运动过程中扫过的区域面积为S即为四边形的面积，

由图可得：

∴S与的关系式为．

【点睛】本题考查了与一次函数有关的面积问题，正确表示出即可求出答案．

12．100或60/60或100

【分析】过点O作于点E，根据垂径定理可得，解直角三角形可得，则，根据等腰三角形的性质可求出，则，再根据题意，进行分类讨论，结合三角形的内角和定理，即可求解．

【详解】解：过点O作于点E，

∵，，

∴，

∵，

∴，则，

∴，

∵为等腰三角形，，

∴，

∴，

①当在下方时，如图：

∵，

∴，

∵，

∴在中，；

②当在内时，

∵，

∴，

∵，

∴在中，；

③当在上方时，如图：

此时，

∵，

∴这种情况不符合题意，舍去。

综上：或，

故答案为：100或60．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．

13．（1）1；（2）．

【分析】（1）先计算0次幂，再进行有理数的加法运算即可；

（2）由易得，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了0次幂，有理数的加法运算，相似三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握0次幂和相似三角形的判定和性质．

14．，图见解析

【分析】先分别求出两个不等式的解集，再取两个不等式的解集的公共部分即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．

【详解】解：，

解不等式，得，

解不等式，得，

故不等式组的解集为，

将解集在数轴上表示为：

．

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤以及在数轴上表示不等式组的解集的方法，是解题的关键．

15．，7

【分析】将代数式中的分式的分子因式分解，再化简，最后将使分式有意义的值代入计算即可．

【详解】解：原式

当时，原式．

【点睛】本题主要考查分式的化简及计算，熟练掌握因式分解及将使分式有意义的值代入计算是解决本题的关键．

16．(1)随机

(2)

【分析】（1）甲、乙两个家庭都选到号区域进行观看是可能事件，既是随机事件；

（2）列表法表示，甲、乙两个家庭选到同一区域进行观看的可能情况有4种，总的可能情况有16种，再根据概率公式进行计算即可．

【详解】（1）解：甲、乙两个家庭都选到号区域进行观看是可能事件，既是随机事件，

故答案为：随机；

（2）解：根据题意列出表格如下：

共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两个家庭都选到同一区域进行观看的情况有4种，

．

【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，事件的分类，正确列出表格或画出树状图，理解各种事件的概念，是解题的关键．

17．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）为使，需在正方形网格中确定两个点，分别到点A和点B的距离相等，连接两点的直线与相交，交点即为所求．

（2）作以为斜边的等腰直角三角形，其直角边的长度即为，点P在上，为使最短，过点A向等腰直角三角形直角边作垂线，与相交，交点即为所求．

【详解】（1）如图1，在正方形网格中确定到点A、点B距离相等的两点M和N，用无刻度的直尺连接，与相交于点P，点P即为所求．

（2）如图2，连接，则，过点P向作垂线构造等腰直角三角形，其中垂线段的长度即为，为使最短，即过点A向所作射线作垂线，与相交于点P，点P即为所求．

【点睛】本题考查无刻度直尺作图，运用了线段的垂直平分线和两点确定一条直线的相关概念，以及等腰直角三角形中直角边是斜边的的特殊性和点到直线的的最短距离是垂线段等知识点；解题的关键是确定特殊点的位置，易错点是需仅用无刻度直尺而非尺规作图，难点是无法确定的位置．

18．(1)15

(2)见解析

(3)D

(4)22人

【分析】（1）用抽取的总人数减去已知的其他范围内的人数即可求解；

（2）根据题意补全折线统计图再进行分析即可；

（3）根据题意无法求出第二次成绩的中位数成绩，故无法确定其处于何种水平；

（4）由总人数乘以第一次中成绩在的学生人数占总人数的比值即可求解．

【详解】（1），

故答案为：15；

（2）补全的折线统计图，如图所示：

这个范围内的人数增多；

（3）∵不能确定第二次成绩的中位数，

∴不能确定该同学在这次测试中的成绩处于何种水平，

故选：D；

（4）（人）

答：成绩在的学生原来有22人．

【点睛】本题考查了频数统计表和折线统计图，由样本所占的频数估计总体所占点的频数，根据中位数作决策等，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．

19．(1)

(2)或

【分析】（1）根据，为等腰直角三角形，，得出，从而得到，代入解析式即可得到答案；

（2）分两种情况：当时，当时，分别表示出点的坐标，代入解析式进行求解即可．

【详解】（1）解：，

．

为等腰直角三角形，，

，

，

，

反比例函数的解析式为；

（2）解：当时，则，

为等腰直角三角形，，

，

，

，

解得：（舍去）或，

；

当时，如图，

，

则，

为等腰直角三角形，，

，

，

，

解得（舍去）或，

综上所述：点的坐标为或．

【点睛】本题主要考查求反比例函数的解析式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及求反比例函数的解析式的方法，是解题的关键．

20．(1)

(2)桌面的高度在至之间，桌面高度较为适宜，理由见解析

【分析】（1）过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，再根据余弦得出的度数，最后通过角度的转换得到；

（2）作直线分别交、于点，根据菱形的判定和性质得出的长度就是桌面的高度，再解直角三角形算出长度即可得到答案．

【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，

，

，

，

，

，

同理，

，

，

的大小为；

（2）解：如图所示，作直线分别交、于点，

，

四边形为菱形，

，

，

，

，

，

，

的长度就是桌面的高度，

，

，

，

，，

，，

，

桌面的高度在至之间，桌面高度较为适宜．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形，添加恰当的辅助线，是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)①4cm；②

【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，，求出，得到，即可证明是的切线；

（2）①连接，，得到，根据，求出，得到，利用勾股定理求出；②在中，求出，利用扇形的面积求出阴影的面积．

【详解】（1）证明：连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴

∴，

∴是的切线；

（2）①连接，．

∵是边的三等分点，且，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

又，

∴，

∴

∴．

∵，

∴，

在中，；

②在中，，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，锐角三角函数，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．

22．(1)见解析，

(2)不能，应朝方向移动，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈

【分析】（1）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意得点的坐标，利用二次函数的顶点式代入计算即可；

（2）将代入函数解析式求出投入篮圈时的长，与实际距离对比即可．

【详解】（1）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

则，

由题意得点为二次函数顶点，

设

将代入，得

解得：，

故该抛物线的解析式为；

（2）当时，

解得（舍去），

∵，

∴该运动员不能将篮球投入篮圈，

，

应朝方向移动，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的坐标系并利用顶点式求解函数解析式是解决本题的关键．

23．（1）①②③④；（2），理由见解析；（3）或

【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，逐项判断即可求解；

（2）连接，延长交于点，连接，根据矩形的性质可得点是的中点，再证明，可得，再由线段垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理，即可求解；

（3）设．分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解．

【详解】解：（1）在正方形和正方形中，

，

∴，

∴，故①正确；

∴，，故②正确；

∴四边形的面积，

四边形的面积总等于，故③正确；

如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，故④正确；

故答案为：①②③④

（2），理由如下：

连接，延长交于点，连接，

∵是矩形的中心，

∴点是的中点．

∴，

∵在矩形中，，，

∴，

∴，

∴，

在矩形中，，

∴，

在中，

∴；

（3）设．

①当点在线段上时，

∵，

∴

∵在中，，

∴，

∴，

又由（2）得：，

∴

∴，

解得．

∴．

②当点在延长线上时，同理可证

∴，

又在中，．

∴

解得．

∴

故的长度为或．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．