2023年浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高考数学第二次联考试卷（含答案解析）

2023年浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高考数学第二次联考试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B. R
C.  D.

2.  若为虚数单位，则(    )

A. 5 B.  C.  D.

3.  已知一组样本数据，，…，的平均数为a，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中…，，则(    )

A. 两组样本数据的平均数相同
B. 两组样本数据的方差不相同
C. 两组样本数据的极差相同
D. 将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为

4.  已知多项式…，则(    )

A. 11 B. 74 C. 86 D.

5.  已知是边长为1的正三角形，，，则(    )

A.  B.  C.  D. 1

6.  已知正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则三棱锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知直角的直角顶点A在圆D：上，若点，，则a的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，为自然对数的底数，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知抛物线C：与直线l：有公共点，则p的值可以是(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10.  已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则(    )

A. 的周期为
B. 为奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 当时，的取值范围为

11.  新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎，用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，，其中随机事件A表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件B表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中(    )

A. 每100人必有1人患有新冠
B. 若，则事件A与事件B相互独立
C. 若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为
D. 若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为

12.  已知函数及其导函数的定义域均为R，记若与均为偶函数，则(    )

A.  B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的周期为2 D.

13.  若实数，且，则______ .

14.  我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，S表示的面积，其公式为若，，，则______ .

15.  已知实数，满足，则的最小值是______ .

16.  已知椭圆C：的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围为______ .

17.  已知正项数列的前n项和为，且满足
求数列的通项公式；
若数列为等比数列，且，，求数列的前n项和

18.  已知半圆O的直径，点C为圆弧上一点异于点A，，过点C作AB的垂线，垂足为
若，求的面积；
求的取值范围.

19.  “体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.
根据以上数据，填空下述列联表：

根据以上数据，能否有的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关？
现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数X的概率分布列及其数学期望.
参考公式：，其中为样本容量.
参考数据：

20.  如图，在四棱锥中，已知，，，，，，E为PB中点，F为AB中点.
证明：平面平面PAO；
若，求平面POC与平面PAB所成夹角的余弦值.

21.  已知双曲线E的顶点为，，过右焦点F作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G，且点P为x轴正半轴上异于点B的任意点，过点P的直线l交双曲线于C，D两点，直线AC与直线BD交于点
求双曲线E的标准方程；
求证：为定值.

22.  已知为正实数，函数
若恒成立，求A的取值范围；
求证：…

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，，
故
故选：
解不等式求出A，B，求出交集．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：由得，
所以
故选：
根据复数的除法运算化简，进而可求解模长．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：对于A，因为，所以，故A错；
对于B，因为，所以两组样本数据的方差相同，故B错；
对于C，新的样本数据的极差，所以两组样本数据的极差相同，故C正确；
对于D，样本容量为20的新的样本数据的平均数为，故D错．
故选：
根据平均数、方差和极差的计算公式判断即可．
本题主要考查平均数，方差，极差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
所以
故选：
利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：由，可知E为BC中点，
所以，，如图所示：
因为，
所以，
所以
故选：
根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：因为在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，
故，
又面，面，
所以面，
因为P是线段上的动点，
所以P到面的距离与到面的距离相等，
所以
故选：
先由线面平行的判定定理证得面，从而得到，再结合锥体的体积公式即可得解．
本题考查三棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：圆D：的圆心坐标为，半径为1，
又直角的直角顶点A在圆D：上，
，
直角的直角顶点为A，
点A在以BC为直径的圆上，圆心坐标为，半径为，
点A在圆D：上，
这两个圆位置关系为相交或内切或外切，
，
故选：
根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可．
本题考查圆与圆的位置关系，不等式思想，属中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：因为，所以，
又，，所以，
设，则，由，可得，函数单调递增，
由，可得，函数函数单调递减，
所以，，所以，即，
所以
故选：
根据三角函数的性质可得，进而可得，然后构造函数，根据导数可得，进而可得，即得．
本题考查利用函数的单调性比较大小，导数的利用，属中档题．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：联立直线和抛物线方程，
消去x得，，
由抛物线与直线有公共点，所以方程有实数根，
即，解得或舍，
因此p的值可以是3，4，
故选：
联立直线与抛物线方程，利用方程的根与公共点的个数之间的关系使即可求得p的取值范围．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：函数，
对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确；
对于B选项：函数的定义域为R，，
则函数是R上的偶函数，所以B选项错误；
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，
再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变得到：，
即函数，
对于C选项：，
函数的图象关于点对称，所以C选项正确；
对于D选项：当时，，
由余弦函数的图象和性质得：，即，
所以D选项错误；
故选：
根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解．
本题考查三角函数的性质，函数的图象变换，化归转化思想，属中档题．
 

11.【答案】BD 

【解析】解：选项A，由，知每100人中可能有1人患有新冠，即选项A错误；
选项B，因为，所以，所以与相互独立，所以A与B相互独立，即选项B正确；
选项C，由，知若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，即选项C错误；
选项D，因为，所以，所以若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，即选项D正确．
故选：
选项A，由概率的含义，即事件发生的可能性大小，可判断；
选项B，计算可得，知与相互独立，再根据相互独立事件的概率的基本性质，可得解；
选项C，由，根据条件概率的含义，可判断；
选项D，由，根据条件概率的含义，可得解
本题主要考查条件概率，还涉及对立事件，相互独立事件的概率的基本性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，若为偶函数，则关于直线对称，将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得，
则函数关于直线对称，即为偶函数，所以，
则，所以，即，
令得，，所以，故A正确；
对于B，由可得，即，
令，则，所以，所以函数函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C，因为为偶函数，则，
又，
所以，
则，
所以，即，
则，所以函数的周期为4，故C不正确；
对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，由，可得，，
则，故D正确．
故选：
根据函数为偶函数集合图象变换可推出为偶函数，即得，利用特殊值判断A；对进行变形处理即可判断其对称性从而判断B；由为偶函数，且，代换处理即可判断C；根据的周期即周期内的特殊值关系得，，化简可判断
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
 

13.【答案】0 

【解析】解：，，设，
，
，即，
，，
，，
，
故答案为：
利用换元法得到一元二次方程求出，再利用对数的性质和运算法则求解．
本题考查一元二次方程的解法，对数的性质和运算法则，属于中档题．
 

14.【答案】1或 

【解析】解：在中，由正弦定理得，
，，
又，则，即，
，
，，
，整理得，解得或，
故或，符合题意，
故答案为：1或
根据题意利用正弦定理可得，利用条件解方程，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】9 

【解析】解：由已知条件得，
，
，
又，，
，
，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：
将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：取左焦点E，连接AE，BE，易得四边形AEBF是平行四边形，

设，，则，
，
在平行四边形AEBF中，，则，
在中，根据余弦定理可得，
则，，
，，
，代入，可得，
，，
解得，
又，
，
椭圆C的离心率e的取值范围为
故答案为：
取左焦点E，连接AE，BE，易得四边形AEBF是平行四边形，设，，则，可得，进而结合已知可得，求解即可．
本题考查离心率的求法，考查余弦定理的应用，属中档题．
 

17.【答案】解：由可得，①
，②
由①-②可得：，，
即，即，
又数列为正项数列，
所以，
因为，所以，
所以数列为以1为首项，公差为2的等差数列，
故
由得：，，又，，
所以，，数列为等比数列，设其公比为q，
则，所以，
所以，
则，③
，④
③-④得：，
则 

【解析】首先利用与的关系结合已知条件等式推出数列是等差数列，从而求得数列的通项公式；
利用求，，结合等比数列通项公式求得的表达式，然后利用错位相减法求解即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：如图，连接BC，

在中，，，，则，
在中，，
所以
设，易知，
在中，①，
因为，所以，则，
代入①式可得的取值范围为 

【解析】连接BC，利用余弦的定义求解即可；
设，在中利用三角函数的定义及三角恒等变换求解即可．
本题主要考查与圆有关的比例线段，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：列联表如下：

零假设为：学生选排球还是篮球与性别无关，
由列联表可得，
有的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关．
按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人，
，，，
的分布列为：

数学期望 

【解析】根据已知条件填列联表；
计算，与表格数据比较，判断即可；
先应用分层抽样确定男女生人数，再应用古典概型计算概率，列出分布列，再求出数学期望．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：连接AC，为PB中点，F为AB中点，

，又面PAO，面PAO，
面PAO，
在中，，，，
，即，
在中，，，，，
在中，，，，，
，，，
为AB中点，，，
，又面PAO，面PAO，
面PAO，又，CF，面CEF，
平面平面PAO；
延长CO与BA交于H，连PH，则面面，
在中，，，，所以，
又，，，PO，面POA，
面POA，面PCO，
面面POA，
在面PCO内过A作，则面PCO，
面PCO，，

过A作，连MN，，面AMN，面AMN，
面AMN，面AMN，
，
即为面POC与面PAB所成二面角的平面角，
，，
，，
，，
，，，又，
，，，

平面POC与平面PAB所成角的余弦值为 

【解析】根据线面平行及面面平行的判定定理即得；
延长CO与BA交于H，由题可得面面POA，过A作，过A作，进而可得即为面POC与面PAB所成二面角的平面角，结合条件即得；
本题考查面面平行的判定以及二面角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设双曲线，
则根据题意可知，且为等腰三角形，
，将其代入中，
可得：，
，
又，
解得，
双曲线；
证明：设直线l的方程为：，且，，
联立，可得：，
，，
，①，②
联立①②，解得：，
又，
同理，，
把它们代入，可得：

，
，
故原命题得证． 

【解析】根据题意表示出G点的横坐标，求出纵坐标，表示面积即可求解；
联立直线与双曲线方程，根据韦达定理证明求解．
本题考查双曲线的方程的求解，直线与双曲线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

22.【答案】解：，
①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；
②若，即，当时，，函数单调递减，故，矛盾，不符合题意；
综上：
先证右侧不等式，如下：
由可得：当时，有，则，
即，即
则有，
即，右侧不等式得证．
下面证左侧不等式，如下：
易知，可得，即，
则有，
即，
，
则
故，
综上：… 

【解析】求导得，分，两种情况讨论可得的取值范围；
当时，有，则，可得可证右侧不等式，可得，，可证左侧不等式．
本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．