中考数学一轮复习考点巩固练习专题32 圆的有关概念和性质（教师版）

专题32  圆的有关概念和性质

考点1：垂径定理

1．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（    ）米.

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．

【详解】

解：作OC⊥AB于C，如图，

则AC=BC，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，

在Rt△AOC中，OC=OA=9，

AC=，

∴AB=2AC=，

又∵=，

∴走便民路比走观赏路少走米，

故选D．

2．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．

【详解】

解：∵是的直径，弦于点E，

∴

在中，，

∴

∴，故选项A错误，不符合题意；

又

∴

∴，故选项B正确，符合题意；

又

∴

∵

∴，故选项C错误，不符合题意；

∵，

∴，故选项D错误，不符合题意；

故选B．

3．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB是的直径，弦于点E，，则的度数为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接OD，根据垂径定理得CD=2DE，从而得是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．

【详解】

解：连接OD，

∵AB是的直径，弦于点E，

∴CD=2DE，

∵，

∴DE=OE，

∴是等腰直角三角形，即∠BOD=45°，

∴=∠BOD=22.5°，

故选B．

4．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（    ）

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】A

【分析】

先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得．

【详解】

解：，

，

，

，

，

，

，

，

又，

是的中位线，

，

故选：A．

5．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．

【答案】

【分析】

设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．

【详解】

解：由题意，设半径为r，

则，

∵，

∴，

∵是的直径，弦于点E，

∴点E是CD的中点，

∵，

∴，

在直角△OCE中，由勾股定理得

，

即，

解得：．

故答案为：．

6．（2021·贵州黔东南·中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm．

【答案】4

【分析】

圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC，作AC的中垂线，与直线CD的交点就是圆心，已知圆心即可作出圆；连接圆心与A，根据勾股定理即可求得半径．

【详解】

如图，

连接OA，

∵CD是弦AB的垂直平分线，

∴，

设圆的半径是r．在直角△ADO中， ．

根据勾股定理得， ，

∴

故答案为：4

考点2：弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理

7．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．

【详解】

解：连接OB，OC，如图，

∵正方形ABCD内接于，

∴

∴

故选：B．

8．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，的半径为，于点，，则的长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据圆周角定理求出∠COB的度数，再求出∠OBD的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD的长度．

【详解】

∵ ∠BAC=30°，

∴∠COB=60°，

∵∠ODB=90°，

∴∠OBD=30°，

∵OB=4，

∴OD=OB==2．

故选：C．

9．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．

【详解】

解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC=25°，

∴∠BAC=90°-25°=65°，

∴∠BDC=∠BAC=65°，

故选：D．

10．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

直接利用圆周角定理即可得．

【详解】

解：，

由圆周角定理得：，

故选：B．

11．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（   ）

A．4 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】

过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．

【详解】

解：过点作，交于点，

是的外接圆，，

，

又，，

，，

在中，，

，，

，

故选：．

12．（2021·黑龙江中考真题）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．

【答案】5cm

【分析】

连接BC，由题意易得，进而问题可求解．

【详解】

解：连接BC，如图所示：

∵，

∴，

∵是直径，

∴，

∵，

∴，

∴的半径为5cm；

故答案为5cm．

13．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．

【答案】

【分析】

圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．

【详解】

解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，

，

，

，

为等腰三角形，

又点是的中点，根据等腰三角形三线合一，

为的角平分线，

，

故答案是：．

14．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．

【答案】

【分析】

根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切的定义求解即可．

【详解】

解：∵，

∴，

故答案为：．

15．（2021·安徽中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．

（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；

（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析．

【分析】

（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长；

（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有．

【详解】

（1）解：连接OC，

∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线

∴，平分CD，

．

在中．

∴圆O的半径为

（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．

，

又

在中