中考数学二轮专题复习专题03 函数综合问题（一次函数+反比例函数）（教师版）

这是一份中考数学二轮专题复习专题03 函数综合问题（一次函数+反比例函数）（教师版），共102页。试卷主要包含了以一次函数为背景的综合问题，反比例函数的综合问题，一次函数与反比例函数的综合问题等内容，欢迎下载使用。

专题三 函数的综合问题专题三 函数综合问题（一次函数+反比例函数）
一、以一次函数为背景的综合问题
例题（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x轴，y轴于点A，B．∠OBA的外角平分线交x轴于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点P是线段BD上的一点（不与B，D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C．设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，BC的延长线交DE于点F，连AP，若sin∠BAP＝，求线段OF的长．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题；
（2）求面积先求底和高，利用三角形相似二次求解；
（3）先根据的正弦值求出点的位置，再根据题目的顺序求出点的坐标，最后求的长度．
【详解】
解：（1）过点作于点，

则：，，
当时，；当时，，
，，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为．
（2）过点作于点，

则：，
点在直线上，且点的横坐标为，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作于点，作于点，

则：，，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：
，解得：．
点在直线上，且点的横坐标为，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍，
，
，
所在直线的为，
设，
把点代入，得：，
，
，
当时，；时，，
，，
设，
把点，代入，得：
，解得：，
①，
设，
把，代入，得：
，解得：，
②，
联立①②，解得：，
．
【点睛】
本题是一个综合应用题，考查了学生对角平分线的性质定理、三角形相似的性质与判定、一次函数的应用、解直角三角形等知识点的掌握情况，解题的时利用相关知识求出关键线段和点是解题的关键．
练习题
1．（2021·吉林双阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，两条直线分别为y＝2x，y＝kx，且点A在直线y＝2x上，点B在直线y＝kx上，AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴垂足分别为D和C，若四边形ABCD为正方形时，则k＝（　　）

A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
设，根据正方形的性质可得，将代入中，即可求出k的值．
【详解】
解： 设
∵四边形ABCD为正方形
∴

将代入中

解得
故选：C．
【点睛】
此题考查了一次函数的几何问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、正方形的性质．
2．（2021·山东槐荫·二模）如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且AB：AD＝1：3，则k的值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设点B的坐标为（m，2m），结合矩形的性质可得出OA，AB，CD的长，由AB：AD＝1：3可得出AD的长，结合OD＝OA+AD可求出OD的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k值．
【详解】
解：设点B的坐标为（m，2m），CD＝AB＝2m，OA=m
∵AB：AD＝1：3，
∴AD＝3AB＝6m，
∴OD＝OA+AD＝7m，
∴点C的坐标为（7m，2m）．
∵点C在直线y＝kx上，
∴2m＝7km，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，用字母表示出点C的坐标是解题的关键.
3．（2021·山东广饶·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x＋b与菱形OABC有交点，则b的取值范围是___．

【答案】##
【分析】
作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，求出B的坐标，然后代入一次函数解析式中，求出b的最大值，再将原点代入一次函数解析式中求出b的最小值即可．
【详解】
解：作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，

∵∠AOC=60°，∠CMO=90°，
∴OM＝OC，
∵在菱形OABC中，A（2，0），
∴OC=OA=2=CB，
∴OM=1，
∴CM＝ ，
∴C(1，)，
∴B的横坐标为3，
∵OA∥CB，
∴BN=CM=，
∴B的纵坐标也为，即B(3，)，
当y=-3x+b过O（0，0）时，b最小，最小值为0，
当y=-3x+b过B(3，)时，b最大，
把B(3，)代入y=-3x+b，
解得：b＝+9，
∴b的取值范围为：0⩽b≤+9，
故答案为：0⩽b⩽+9．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和待定系数法，关键是求出点B的坐标.
4．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为_____．

【答案】（4，3）或（3，4）
【分析】
求出的坐标，分平行轴，不平行轴两种情况，求解计算即可．
【详解】
解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
∴点B（0，3）
∵OB：OC=3：1
∴OC＝1，
∴点C（﹣1，0）；
①如图，当BD平行x轴时，以点为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形
则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3）；
②当BD不平行x轴时，则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，

∴直线DD′∥AB，
设直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入y＝﹣x+n中解得：n＝7，
∴直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′（m，7﹣m），
∵A，B，D′为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝，
解得：m＝3，
故点D′（3，4）；
故答案为：（4，3）或（3，4）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等，平行线的性质，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解．
5．（2021·广东深圳·三模）定义：如图1，已知锐角∠AOB内有定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA，OB于点M，N．若P是线段MN的中点时，则称直线MN是∠AOB的中点直线．如图2，射线OQ的表达式为y＝2x（x＞0），射线OQ与x轴正半轴的夹角为∠α，P（3，1），若MN为∠α的中点直线，则直线MN的表达式为__________________．

【答案】y＝﹣x+
【分析】
作MD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，则，设M（m，2m），由题意得PE＝m，由P（3，1）求得m＝1，即可求得N（5，0），然后根据待定系数法即可求得直线MN的解析式．
【详解】
解：如图，作MD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，则，

∵P为MN的中点，
∴
∴DN=EN，即E为DN中点，
∴PE是中位线
∴PE＝MD，
∵M是射线OQ上的点，
∴设M（m，2m），
∴MD＝2m，
∴PE＝MD＝m，
∵P（3，1），
∴m=1,OE=3
∴M（1，2）
∴OD=1，则DE=OE-OD=2
∴EN=DE=2
∴ON=OE+EN=5
∴N（5，0），
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
把P（3，1），N（5，0）代入得，
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+，
故答案为：y＝﹣x+．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，求得N的坐标是解题的关键．
6．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，．直线经过坐标原点，并与相交于点．

(1)直接写出点的坐标______．
(2)若，试确定点的坐标及直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，动点在直线上运动，以点为圆心，的长为半径的随点运动，当与的边相切时，求出的半径．
【答案】(1)
(2)D点坐标为，直线的解析式为
(3)4或或或
【分析】
（1）根据平行四边形性质和A点坐标推出线段BC长度，求解；
（2）先证与相似，求出AD长度，再由与相似，求出AH、HD长度，进而求出D点坐标，代入直线的解析式即可；
（3）分与、、、相切四种情况讨论，画出图形逐个求解．
(1)
解：四边形ABCD是平行四边形，A点坐标为
OA=BC=6
B点坐标为
C点坐标为
(2)
如图1，过D点作DHOA于H点

C点坐标为

四边形ABCD是平行四边形



，即
解得
，，

，即
解得，

D点坐标为
设直线的解析式为，代入D点坐标得
解得
直线的解析式为
(3)
由（2）知
，即

又

设
当与相切时，如图2

动点P在直线上
P与O点重合，此时圆心P到BC的距离为OB
的半径是4；
②当与相切时，作轴于E，如图3

的半径是PB
，是等腰三角形

P点的纵坐标为
在中令，解得
P点坐标为

的半径是；
③当与相切时，作轴于F，如图4

的半径是PB


解得或，代入到中
得P点的坐标为或
或
的半径是或；
④当与相切时，如图5

由直线知，，即不存在以PB的长为半径的与相切
此种情况的P不存在；
综上所述，满足条件的的半径为4或或或
【点睛】
本题考查平行四边形性质、一次函数性质、相似三角形判定与性质、圆与直线相切等知识点，属于综合型题目，难度较大，熟悉掌握并运用基本知识点，分情况讨论圆与平行四边形相切是解题关键，考虑不全时容易出现漏解．
7．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，已知直线l1：y＝与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．

(1)求△ABC的面积；
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；
(3)若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
【答案】(1)36
(2)DE＝4，EF＝8
(3)当0≤t＜3时，S＝−；当3≤t＜8时，S＝−；当8≤t≤12时，S＝t2−8t＋48
【分析】
（1）把y＝0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x＝0代入l2的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长．联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积．
（2）已知xD＝xB＝8易求D点坐标．又已知yE＝yD＝8可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长．
（3）作CM⊥AB于M，证明Rt△RGB∽Rt△CMB利用线段比求出RG＝2t．又知道S＝S△ABC−S△BRG−S△AFH，根据三角形面积公式可求出S关于t的函数关系式．
(1)
解：由＝0，得x＝−4．
∴A点坐标为（−4，0），
由−2x＋16＝0，
得x＝8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB＝8−（−4）＝12，
由 ，解得 ，
∴C点的坐标为（5，6），
∴S△ABC＝AB•yC＝×12×6＝36．
(2)
∵点D在l1上且xD＝xB＝8，
∴yD＝×8＋＝8，
∴D点坐标为（8，8），
又∵点E在l2上且yE＝yD＝8，
∴−2xE＋16＝8，
∴xE＝4，
∴E点坐标为（4，8），
∴DE＝8−4＝4，EF＝8．
(3)
①当0≤t＜3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t＝0时，为四边形CHFG）．
过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB，
∴ ，即 ，
∴RG＝2t，
同理Rt△AFH∽Rt△AMC，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴S＝S△ABC−S△BRG−S△AFH＝36−×t×2t−（8−t）× （8−t），
即S＝− ．
②当3≤t＜8时，如图2所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，由①知，HF＝（8−t），
∵Rt△AGR∽Rt△AMC，
∴ ，即 ，
∴RG＝（12−t），
∴S＝（HF＋RG）×FG＝×[（8−t）＋（12−t）]×4，
即S＝−；
③当8≤t≤12时，如图3所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR，
由②知，AG＝12−t，RG＝（12−t），
∴S＝AG•RG＝（12−t）×（12−t）即S＝（12−t）2，
∴S＝t2−8t＋48．

【点睛】
本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破．
8．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．
①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．
②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．

【答案】（1）A（6，0），B（0，8）；（2）①4；②或
【分析】
（1）分别令中x=0、y=0，求出与之对应的y、x值，由此即可得出点A，点B的坐标；
（2）由题意证，得出AF＝AD，设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，即可求出线段AE的长度；‚ 在线段AB上时：（考虑以F为圆心的圆与AB相交的情况），分情况讨论即可．
【详解】
（1）令中x=0，则y=8，
；
令中y=0，则x=6，
；
（2）①由BE＝BG，
，
，
∠BDA＝∠BFE＝∠BFG＝∠AFD，可得：AF＝AD，
，
，
又 AB∶BC＝2∶1，
，
，
设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，
在Rt△AEF中：，
可得x＝6，AE＝4；


②当在BD上时，
当P与A重合时，AE最长，
即时，AE最长，
，
，
，
，
，
，
当时，可把翻折到BD上；
当在线段AB上时：
当DP＝P时，与A重合，
PF为AD中垂线，PF为中位线，
AE＝5，
（若此时E再上移，以F为圆心，FD为半径作圆，与AB不会有交点，所以）；

当FE＝FD时：与 E重合，

设则，
，
由，得：，
，
，即，
当在AB上时，．
综上，或．
【点睛】
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是理解题意，熟练掌握相关性质．
9．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．

（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．
【分析】
（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
【详解】
解：（1）直线经过点，
，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
，
（2）线段平行于轴，
点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，
当时，，
即，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）①作于，

点在直线上，
设点的坐标为，
，，
由勾股定理，得，
即，
整理得或8（舍去），
，
，
当时，，
，
②，
当时，，
当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B．
（1）如图1，求点A的横坐标；
（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）令，求x；
（2）过点D作y轴的垂线，先证明，再由K型全等，得E点坐标，即可求出S与k的函数关系式；
（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系，得出，再利用垂直平分线性质构造，通过解直角三角形求出求出k的值，再求点K的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线与x轴交于A，与y轴交于C点，
∵当时，；当时，，得：，∴，，
∴点A的横坐标为．
（2）过点D作轴于点H，

∵，，
∴，
∴，
对直线BC：当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
（3）连接AD，过AD的中点N作交DE于点M，连接AM，

（3）连接，过的中点作交于点，连接，
，，
，
在四边形中，，，
点、、、四点共圆，为圆的直径，点为圆心，
，
是的中垂线，
，
，
，
，
，
，
又，
，
即：，
在中，，
，
设，则：，
，
，
解得：，
，
，
，
，即：，
解得：，
，，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
由，解得：，
点，，
点和点关于点对称，
，
直线的解析式为：，
由，解得：，
点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理进行角的转化等知识，是一个代数几何综合题．对于比较复杂的条件，需要学生学会将复杂的条件转化为简单直接的条件，可以从等量关系，倍数关系入手．
二、反比例函数的综合问题
例题（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，线段AB在x轴的正半轴上移动，且AB=1，过点A、B作y轴的平行线分别交函数y1＝（x＞0）与y2＝（x＞0）的图象于C、E和D、F，设点A的横坐标为m（m＞0）．

(1)D点坐标　 　；F点坐标　 　；连接OD、OF，则△ODF面积为　 　；（用含m的代数式表示）
(2)连接CD、EF，判断四边形CDFE能否是平行四边形，并说明理由；
(3)如图2，经过点B和点G（0，6）的直线交直线AC于点H，若点H的纵坐标为正整数，请求出整数m的值．
【答案】(1)（m+1，），（m+1，），1；
(2)不能，理由见详解；
(3)1或2或5．
【分析】
（1）表示出D，F的坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（2）再表示出C，E的坐标，求出CE，DF的长度，判定出CE≠DF，因为，从而四边形CDFE不是平行四边形；
（3）先用m表示出BG的解析式，进而表示出H的坐标，最后根据是正整数，建立方程即可得出结论．
(1)解：∵设点A的横坐标为m，且AB=1，
∴D（m+1，），F（m+1，），OB=m+1，
∴DF=-＝，
∴S△ODF=×（m+1）×=1，
故答案为：（m+1，），（m+1，），1；
(2)解：不能，理由如下：
∵设点A的横坐标为m，
∴C（m，），E（m，），
∴CE=-＝，DF=，
∴CE≠DF，
∵，
∴四边形CDFE不是平行四边形；
(3)
解：设直线BG的解析式为：y=kx+6，
将B（m+1，0）代入y=kx+6得：k（m+1）+6=0，
∴k=-，
∴直线BG的解析式为：y=-，
当x=m时，，
∴点H（m，），
∵m＞0，
∴m+1＞1，
∵点H的纵坐标为正整数，
∴m+1=2或3或6，
∴m=1或2或5．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，用含参数表示线段和坐标是解题的关键．
练习题
1．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图是反比例函数和在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（     ）

A．10 B．4
C．5 D．从小变大再变小
【答案】C
【分析】
设AB与y轴交于点C，连接OA、OB．根据题意可知，再根据结合反比例函数比例系数k的几何意义，即得出答案．
【详解】
如图，设AB与y轴交于点C，连接OA、OB．

由题意可知和同底，等高，
∴．
∵，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题关键．
2．（2021·山东滨州·一模）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则点F的坐标为（　　）

A．（﹣1，4﹣20） B．（+1，4﹣20）
C．（+5，） D．（﹣9，）
【答案】C
【分析】
先作AD⊥x轴，FE⊥x轴，再设点A的坐标，可表示OD，AD，然后根据，求出，进而求出m的值，即可求AD，OA，再根据菱形的性质得∠CBE＝∠AOB，可知，设FE＝a，可表示BE，OE，可表示点F，再将点F的坐标代入反比例函数关系式求出a，可得答案．
【详解】
解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点F作FE⊥x轴于点E，如图，

设A，则OD＝m，．
∵，
令AD=4x，AO=5x，
根据勾股定理，得，
∴，
∴．
∵m＞0，
∴m＝6．
∴．
∴.
∵四边形OACB是菱形，
∴OB＝OA＝10，．
∴∠CBE＝∠AOB．   
∴．
设FE＝a，则，，
∴，
∴，
解得：（负数不合题意，舍去）．
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
这是一道关于反比例函数和菱形的综合问题，考查了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，反比例函数图象上的点等．
3．（2021·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对称中心恰好是原点O，已知点B坐标是，双曲线y=经过点A，则菱形ABCD的面积是(　　)

A．9 B．18 C． D．25
【答案】C
【分析】
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AE于G，交y轴于点F，设，可得，BG=m+2；再根据菱形的性质及勾股定理可得方程，解方程即可求得m的值，可求得OE，AE，进而求得OA，AC；OB，BD；最后利用菱形的面积公式即可求得．
【详解】
解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AE于G，交y轴于点F，如图，

∵双曲线y=经过点A，
∴设，则OE=m，．
∵点B坐标是，
∴BF=2，OF=．
∴GE=OF=，，BG=m+2．
∵菱形ABCD的对称中心恰好是原点O，
∴AO=CO，BO=DO，AO⊥BO．
由勾股定理可得：OB2+OA2=AB2．
∴BF2+OF2+AE2+OE2=AG2+BG2．
即：，
得，
解得：或(舍去)．
∴，．
∴．
∴AC=2OA=5．
∵，
∴BD=2OB=5．
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理,利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
4．（2021·广东深圳·三模）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（　　）

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④．
【详解】
解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，，
的图象经过点，
，故①正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故②正确；
如图，过点作轴于．          

，，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，，
，
，
，
，故③正确；
，，，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
．故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．
5．（2021·江苏扬州·一模）如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为______．

【答案】
【分析】
先根据正方形的性质证明，由CO和 CH的值表示NO，NB，进而得出，由AM=ON得出a与b的关系，再将点E代入反比例函数关系式，求出a和b的值，即可求解．
【详解】
解：过E作轴于H，

设，，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点，，
∴，，
同理，
则，，，
故，
则点，
将点E的坐标代入，
得，而，
解得：，，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
6．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．

【答案】
【详解】
设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac，同理：bd，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】
解：如图，

设点M（a，b），N（c，d），
∴ab＝k，cd＝k，
∵点M，N在⊙O上，
∴a2+b2＝c2+d2＝25，
作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），
∴MN'即为PM+PN的最小值
∴S△OMNk（b+d）（a﹣c）k＝3.5，
∴ad﹣ bc＝7，
∴7，
∴ac，
同理：bd，
∴ac﹣bc[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，
∵M（a，b），N'（c，﹣d），
∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，
∴MN'＝5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．
7．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．

(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
【答案】(1)点A在反比例函数图象上，理由见解析
(2)Q点的横坐标为
【分析】
（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为y＝x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q．
(1)解：点A在该反比例函数的图象上，
理由如下：
过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，
∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG=BO=BC＝，
∴P（2，），
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2，
∴y＝，
由正六边形的性质，A（1，2），
∴点A在反比例函数图象上；
(2)解：由（1）得D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
由方程，解得x＝（负数舍去），
∴Q点横坐标为．
．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．
8．（2021·山东菏泽·三模）如图，反比例函数的图像过等边的顶点B，，点A在反比例函数的图象上，连接AC，AO．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)若四边形ACBO的面积是，求点A的坐标．
【答案】(1)
(2)点A的坐标为
【分析】
（1）过点B作轴于点D，根据等边三角形的性质得到,,利用勾股定理求得BD的长度，得到点B的坐标，将点B的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可求解；
（2）利用三角形的面积公式和已知条件求出的面积，设出点A的坐标，利用三角形面积公式进行计算即可求解．
(1)解：过点B作轴于点D，

是等边三角形，，
,，
，
点B的坐标为，
把点B的坐标代入中

所以反比例函数表达式为；
(2)解： ，
，
设点A的坐标为，
，
，
，
点A的坐标为．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式．先由三角形的面积求出反比例函数解析式是此题的突破点．
9．（2021·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），双曲线（x＞0）的图象交BC于点D，若BD＝．求反比例函数的解析式及点F的坐标．

【答案】，点F的坐标为
【分析】
根据题意BD线段的长度以及B点坐标，求得D的坐标，进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后根据图象上点的坐标特征设出F的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得F的坐标．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，顶点B的坐标为（4，2），
∴轴，
∴点D纵坐标和点B纵坐标相同，
∴设D（x，2），
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵双曲线的图象交BC于点D，
∴，
得，
∴所求反比例函数表达式为：，
∴点F横坐标和点B横坐标相同，
∴设F（4，y），
∴将点F坐标代入，
即，
∴点F的坐标为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得D的坐标是解题的关键．
10．（2022·广东江门·一模）反比例函数y1＝（k1＞0）和y2＝在第一象限的图象如图所示，过原点的两条射线分别交两个反比例图象于A，D和B，C


(1)求证：AB∥CD；
(2)若k1＝2，S△OAB＝2，S四边形ABCD＝3，求反比例函数y2＝（k2＞0）的解析式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）过A 、B分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点M，过D、C分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点N，设直线OD、OC的解析式，求得交点坐标，推出tan∠ABM=tan∠DCN，从而可得∠ABM=∠DCN，即有AB∥CD；
（2）转化△AOB、△COD的面积为梯形的面积，且可得它们两个的面积，利用（1）求得的四点坐标，根据△AOB、△COD面积的比得出关系式，根据关系式即可求得函数解析式．
(1)如图1所示，过A 、B分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点M，过D、C分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点N，则AM⊥BM，DN⊥CN，

设直线OD的解析式为y＝k3x，直线OB的解析式为y＝k4x，
则点D（，）、C（，）、B（，）、A（，），
∴，，，
，
∴，，
∴∠ABM＝∠DCN，
∴AB∥CD．
(2)如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F

则由反比例函数k的几何意义知，，
∵，，
∴＝（yB+yA）•（xB﹣xA）＝2，
同理：S△COD＝（yD+yC）•（xC﹣xD），
∵S四边形ABCD＝3，
∴，
∵，，
∵，k1＝2，
解得k2＝，
故所求的解析式为：．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了反比例函数k的几何意义，转化三角形的面积并列出关系式是解题的关键．
11．（2021·湖北恩施·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的一动点，以为边向外作矩形，对角线BD∥x轴，反比例函数图象经过矩形对角线交点．

(1)如图1，若点、坐标分别是，，求的长；
(2)如图2，保持点坐标不变，点向右移移动，当点刚好在反比函数图象上时，求点坐标及的值．
【答案】(1)；
(2)坐标为，，
【分析】
（1）通过证得，得到，根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，则，，从而求得；
（2）设、坐标分别为，，则点坐标可表示为，过点作轴于点．同（1）易得，根据相似三角形的性质得到，由点、均在函数图象上，则有：，可得，即可得到，进而求得，，得到，点坐标为，．
(1)过点作轴于点，由点、坐标分别为、可得，，，

四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
又轴，
，
，
；
(2)四边形为矩形，
点为中点，由，，
，
设、坐标分别为，，则点坐标可表示为，
过点作轴于点．

同理，
，
，
，
由点、均在函数图象上，则有：，可得，
，
由，故，，
，点坐标为，．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理等知识，表示出点坐标是解题的关键
12．（2021·广东·汕头市潮南实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系原点，矩形的边，分别在轴和轴上，其中，．已知反比例函数的图象经过边上的中点，交于点．

(1)求的值；
(2)猜想的面积与的面积之间的关系，请说明理由．
(3)若点在该反比例函数的图象上运动（不与点重合），过点作轴于点，作所在直线于点，记四边形的面积为，求关于的解析式并写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，见解析；
(3)，；，
【分析】
（1）根据矩形的性质及三角函数可得cos∠OBC的值，设BC＝4x，OB＝5x，由勾股定理及中点的定义可得D（2，3），再利用待定系数法可得答案；
（2）利用三角形的面积公式及中点定义可得答案；（3）分当0＜x＜2时，当x＞2时，进行分类讨论可得答案．
(1)解：四边形是矩形，
，
，
设，，
由勾股定理得，，
，
，
，
，，
是的中点，
，
，
设，
把代入得，．
(2)解：，
由题意可知，，
是的中点，
，
，
，
在反比例函数图象上，
，
，
．
(3)解：当时，如图所示：

，
，
当时，如图所示：

，
∴，
综上所述，，；

【点睛】
此题考查的反比例函数，利用面积公式进行解答是解决此题关键．
13．（2021·重庆北碚·模拟预测）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x＝2时，y＝7，时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：

(1)该函数的解析式为 　 　，m＝　 　，n＝　 　．
根据图中描出的点，画出函数图象．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
…
y
…
m


﹣3
7
n

…
(2)根据函图象，下列关于函数性质的描述正确的是 　 　；
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．
②该函数既无最大值也无最小值．
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．
(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y＝（x≠7），1，
(2)②
(3)或
【分析】
（1）待定系数法可求函数解析式，将，代入解析式得的值，描点、连线画出图象即可；
（2）依据函数图象，即可判断；
（3）依据函数图象．即可得到．
(1)解：把x＝2，y＝7；x＝0，y＝﹣3代入，得
解得，
∴函数的解析式为（x≠1）；
将代入解析式得
将代入解析式得
描点、连线，图象如图所示

故答案为：（x≠1）；1；．
(2)解：由图象可知：①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，2），错误，不符合题意；
②该函数既无最大值也无最小值，正确，符合题意；
③当x＞1，或时，y随x的增大而减小，错误，不符合题意；
故答案为：②．
(3)由图象可知，关于x的不等式的解集为：或．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数图象．解题的关键在于数形结合．
14．（2021·广东·二模）如图1，点P是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的点，PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，反比例函数y＝的图象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．

(1)若点P（6，3），求△PCD的面积；
(2)在（1）的条件下，当PG平分∠CPD时，求点G的坐标；
(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD．当∠CMD＝90°时，求证：MG＝CD．
【答案】(1)4
(2)G（，）
(3)见解析
【分析】
（1）先求出点C，点D坐标，可得PC＝4，PD＝2，即可求解；
（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，由角平分线的性质可证GM＝GN，由面积法可求GM＝GN＝，即可求解；
（3）先求出直线OP，直线CD的解析式，可得点G坐标，可证点G是CD的中点，由直角三角形的性质即可证明．
(1)解：∵点P（6，3），PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，∠AOB＝90°，
∴点A（0，3），点B（6，0），四边形AOBP是矩形，
∴点C纵坐标为3，点D的横坐标为6，∠APB＝90°，
∵点C，点D在反比例函数y＝的图象上，
∴点C（2，3），点D（6，1），
∴CP＝4，PD＝2，
∴△PCD的面积＝×PC×PD＝×4×2＝4．
(2)解：如图1，过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，

∵PG平分∠CPD，GM⊥PB，GN⊥AP，
∴GM＝GN，
∵S△PCD＝×CP×GN+PD×GM，
∴8＝4GN+2GN，
∴GN＝＝GM，
∴点G（，）．
(3)证明：设点P（a，），则点C（，），点D（a，），
∵点O（0，0），点P（a，），
∴直线OP解析式为y＝x，
∵点C（，），点D（a，），
∴直线CD解析式为y＝﹣x+，
∵点G是直线OP与直线CD的交点，
∴x＝﹣x+，
∴x＝，
∴点G（，），
∵点C（，），点D（a，），
∴线段CD的中点为（，），
∴点G是CD的中点，
又∵∠CMD＝90°，
∴MG＝CD．
【点睛】
本题属于反比例函数与几何的综合题，主要涉及反比例函数的性质、矩形的性质以及运用待定系数法求一次函数解析式等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
15．（2021·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，四边形为平行四边形，，反比例函数的图象在第一象限内过点，且经过边的中点，连接，．

(1)当时，求反比例函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，求点的坐标；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】
（1）过点A作轴于点M，根据锐角三角函数及勾股定理解三角形可得，，得出点A的坐标，代入反比例函数解析式即可得；
（2）过点F作y轴的平行线交x轴于点H，交AC于点G，根据平行四边形的性质可得，，利用相似三角形的判定和性质可得，，得出，代入反比例函数解析式即可得出点F的坐标；
（3）设，则根据（1）（2）可确定点A、F的坐标，利用全等三角形的判定和性质可得，，确定点C的坐标及，，由锐角三角函数及勾股定理可得，而，得出，根据相似三角形的判定定理证明即可．
(1)解：过点A作轴于点M，

则，
，
点，
，
反比例函数的解析式为：；
(2)解：过点F作y轴的平行线交x轴于点H，交AC于点G，
四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴，
∴，
∴当时，，
即点的坐标为：；
(3)证明：设，则，
过点F作y轴的平行线交x轴于点H，交AC于点G，
四边形OACB为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴，
∴，
即点F的坐标为：，
，
，轴，
，
在与中，
，
∴，
∴，则点，，
点、点、点，，，，
∴，而，
，
，
∵，
，
．
【点睛】
题目主要考查确定反比例函数解析式，勾股定理及锐角三角函数解三角形，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
三、一次函数与反比例函数的综合问题
例题（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学一模）如图，过直线上一点P作轴于点D，线段交函数的图象于点C，点C为线段的中点，点C关于直线的对称点的坐标为．

（1）直接写出点C的坐标（____，______），求k、m的值：
（2）求直线函数图象的交点坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）3，1；，3；（2）；（3）
【分析】
（1）过点分别向轴作垂线，连接、，根据三角形全等，即可求得点的坐标；再求得点的坐标，代入解析式即可求得k、m的值；
（2）联立直线和反比例函数，即可求得交点坐标；
（3）观察函数图像，即可求得不等式的解集．
【详解】
解：（1）过点分别向轴作垂线，连接、，如下图：

∵点C、点关于直线对称，点在直线上
∴，
又∵
∴
∴
∵点的坐标为
∴
∴点C的坐标，∴
∵点C为线段的中点，∴
将点C代入得：，
将点代入得：，解得
（2）联立一次函数和反比例函数可得：
解得（舍），
交点坐标为
（3）由图像可知，在交点的左侧时，
所以不等式得解集为
【点睛】
此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了求解函数解析式，交点坐标以及不等式的求解，熟练掌握一次函数与反比例函数的基础知识是解题的关键．
练习题
1．（2021·四川成都·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（       ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不可能；
B.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不可能；
C.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不可能；
D.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
2．（2021·湖北荆门·中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（     ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】
根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】
解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数的（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数的（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
3．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，直线y＝x+8分别交x、y轴于A、B两点，交双曲线，若CD＝3（AC+BD），则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9
【答案】B
【分析】
由直线解析式求得A、B的坐标，从而求得OA＝OB＝8，即可得出△AOB关于直线y＝﹣x对称，从而得出AC＝BD，进一步得出CD＝6AC，＝，作CM⊥x轴于点M，则CM∥OB，根据相似三角形的判定和性质证得CM＝AM＝1，从而求得C的坐标，进而求得k的值．
【详解】
解：∵直线y＝x+8分别交x、y轴于A，B，
∴A（﹣8，2），，
∴OA＝OB＝8，
∴△AOB关于直线y＝﹣x对称，
∴AC＝BD，
∵CD＝3（AC+BD），
∴CD＝6AC，
∴＝，
作CM⊥x轴于点M，则CM∥OB，


∴＝＝，
∴CM＝AM＝1，
OM＝8﹣1＝7，
∴C（﹣7，1），
∵双曲线过点C，
∴k＝﹣7×1＝﹣7，
故选：B．

【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的对称性以及函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．
4．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学二模）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）

A．3 B．8 C．2 D．
【答案】A
【分析】
根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积
【详解】
解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故选：A．

【点睛】
考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．
5．（2018·山东青岛·中考模拟）如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为（　　）

A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜0
【答案】B
【分析】
关于x的不等式＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再结合函数图象可得答案.
【详解】
解：∵反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1
∴关于x的不等式＜x＋4（x＜0）成立，
则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，满足条件，
∴关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生观察图象的能力，用了数形结合思想．
6．（2021·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和，点关于x轴的对称点为点．

(1)求这两个函数的表达式．
(2)直接写出关于x的不等式的解．
(3)过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E，且，直接写出点E的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，；(2)或；(3)或．
【分析】
（1）由点的坐标，求出反比例函数的表达式，由点的横坐标，可求出m的值，再根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）观察两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式的解；
（3）分两种情形：当点在线段上，或点在线段的延长线上时，分别求解．
(1)解：∵点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的表达式为；
当时，，
∴点的坐标为（1，2）．
将，代入，得

解得：
∴一次函数的表达式为．
(2)解：观察函数图象，

可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解为或．
(3)解：∵点的坐标为（1，2），点，关于x轴对称，
∴点的坐标为（1，−2）．
∵点的坐标为（−2，−1），，
∴点的坐标为（1，−1），
．
在中，，，
，
，
，
当点在的延长线上时，同法可得，，
综上所述，满足条件的的值：或．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出两函数的表达式；（2）由两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解；（3）通过解直角三角形，求出的取值范围．
7．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．

(1)分别求出直线和双曲线的解析式；
(2)设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请直接写出此时P点的坐标为 　 　．
【答案】(1)y1＝﹣x+3，
(2)
【分析】
（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和的值，再根据待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）设点P(x，﹣x+3），用含x的代数式表示出△PED的面积，即可求解．
(1)解：∵点B(2，1)在双曲线上，
∴＝2×1＝2，
∴双曲线的解析式为，
∵A（1，m）在双曲线，
∴m＝2，
∴A(1，2）．
∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；
(2)解：设点P(x，﹣x+3），且1≤x≤2，
△PED的面积＝PD•OD＝x(﹣x+3)＝﹣(x﹣)2+，
当x＝时，△PED的面积取得最大值，
此时点P的坐标为(，），
故答案为：(，）．
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解题的关键.
8．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数的图象交于点A(2,m)和B(-6,-2)，与y轴交于点C．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC:S△ODE＝4:1时，求点P的坐标；
(3)点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)y=x+4，(2)(3)(0,−2)或(0,−8)
【分析】
(1)根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出k1、k2的值；
(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出S四边形ODAC的值，进而即可得出S△ODE的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP的解析式，再联立直线OP与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；
(3)分∠CMB=90°或∠CBM=90°两种情况考虑，当∠CMB=90°时，根据点B的坐标即可找出点M的坐标；当∠CBM=90°时，由直线AB的解析式可得出△BCM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A、B的坐标即可得出点M的坐标，综上即可得出结论．
(1)解：将点B(−6,−2)代入y1=k1x+4，
−2=−6k1+4，解得：k1=1，
故一次函数的解析式为；y=x+4
将点B(−6,−2)代入①，
，解得：k2=12，
故反比例函数的解析式为；
(2)解：依照题意，画出图形，如图2所示．

当x=2时，m=2+4=6，
∴点A的坐标为(2,6)；
当x=0时，y1=x+4=4，
∴点C的坐标为(0,4)，
∵，S四边形ODAC:S△ODE＝4:1，
∴，
∴DE=2.5，即点EE的坐标为(2,2.5)，
设直线OP的解析式为y=kx，
将点E(2,2.5)代入y=kx，得2.5=2k，解得：，
∴直线OP的解析式为，
，解得：，，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为；
(3)解：依照题意画出图形，如图3所示．

当∠CMB=90°时，轴，
∴点M的坐标为(0,−2)；
当时，
∵B(-6,-2)，C(0,4)，
，
∴∠BCM=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，BC=BM，
∴，
∴点M的坐标为(0,−8)，
综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为(0,−2)或(0,−8)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求出一次及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线．
9．（2021·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）如图1，点在直线上，反比例函数＞0）的图象经过点B．

(1)求反比例函数解析式；
(2)将线段AB向右平移个单位长度（＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当＝3时，过D作DF⊥轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点坐标；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)①；②4或5
【分析】
（1）先将点A的坐标代入直线AB的解析式中，求出，进而求出B的坐标，再将B的坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
（2）①先确定出点D的坐标，进而求出E的坐标；
②先表示出点C、D的坐标，再分两种情况讨论：当BC=CD时，判断点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；当BC=BD时，先表示出BC，再根据BC=BD建立方程求解即可得出结论．
(1)∵点A（0，8）在直线上
∴
∴直线AB的解析式为
将点代入直线AB的解析式中
得
∴B（2，4）
将B（2，4）代入反比例函数解析式＞0）中
得
所以，反比例函数解析式为；
(2)①反比例函数解析式为
当＝3时，
将线段AB向右平移3个单位长度得到对应线段CD
∴D（5，4）
∵DF⊥轴于点F，交反比例函数的图象于点E
∴；
②如图

∵将线段AB向右平移个单位长度（＞0），得到对应线段CD
∴CD＝AB，AC＝BD＝
∵A（0，8），B（2，4）
∴C（，8），D（，4）
∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形
Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB
∴点B在线段AC的垂直平分线上
∴＝4
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B（2，4），C（，8）
∴
∴＝5          
综上，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．
【点睛】
本题属于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法求解析式、平移的性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解决本题的关键．
10．（2021·四川·叙州区双龙镇初级中学校模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于点A（a，4a）（a＞0）和点B（﹣4，n），连接OA，OB，其中．

(1)求双曲线和直线l1的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)如图2，将直线l1：y＝kx+b沿着y轴向下平移得到直线l2，且直线l2与双曲线在第三象限内的交点为C，若△ABC的面积为20，求直线l2与y轴的交点坐标．
【答案】(1)y；直线l1的表达式为y＝x+3．
(2)S△AOB＝．
(3)平移后的直线l2与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
【分析】
（1）利用两点间距离公式求出a的值，进而求出点A坐标，代入，求出双曲线表达式，再求出点B坐标，利用待定系数法求出直线l1的表达式；
（2）设直线l1与y轴的交点为D，求出点D坐标，根据S△AOB＝S△AOD+S△BOD即可求解；
（3）设直线l1与x轴交于E，直线l2与x轴交于F，S△ABC＝S△ABF＝S△AEF+S△BEF求出F点坐标，利用待定系数法求出直线l2的表达式，进而求解．
(1)解：∵A（a，4a），，
∴a2+（4a）2＝（）2，
∴，
∵点A在第一象限，
∴a＝1，
∴A（1，4）
把A（1，4）代入得4，
解得m＝4，
∴双曲线的表达式为：y；
∵点B（﹣4，n）在双曲线上，
∴B（﹣4，﹣1），
把A（1，4），B（﹣4，﹣1）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
∴直线l1的表达式为y＝x+3；
(2)如图1，设直线l1与y轴的交点为D，

在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴D（0，3），
由（1）知A（1，4），B（﹣4，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD3×43×1；
(3)如图2，设直线l1与x轴交于E，直线l2与x轴交于F，

在y＝x+3中，令y＝0，则x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
设F（a，0），
∵AB∥CF，
∴点C、点F到直线l1距离相等，
∴S△ABC＝S△ABF，
∵，A（1，4），B（﹣4，﹣1），
∴S△ABF＝S△AEF+S△BEF（a+3）×4（a+3）×1＝20，
解得a＝5，
∴F（5，0），
∵直线l2由直线l1平移所得，直线l1的表达式为y＝x+3，
∴设直线l2的解析式为y＝x+b，
把F（5，0）代入得5+b＝0，解得b＝﹣5，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣5，
当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，
∴平移后的直线l2与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
【点睛】
本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，综合性较强，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
11．（2021·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．

(1)求，的值；
(2)已知点，，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点．
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，(2)①，理由见解析；②或
【分析】
(1)将点A代入y=x-2中求出m的值，然后利用待定系数法求出k值；
(2)①当n=2时，分别求出点M和N的坐标，可以得出结果；②结合图象，由于PN≥PM，从而得到PN≥2，求出n值.
(1)将代入，
，
，
将代入，
，
(2)①当时，，
令，代入，则，
，
，
令代入，则，
，

，
②，，即点在直线上，
过点作平行于轴的直线，交直线于点，

，
，
，
即，
，
，
或．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，利用待定系数法求函数解析式是解决问题的关键，注意数形结合思想的应用.
12．（2021·四川南充·一模）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＜0）交于C（﹣8，1），D（﹣m，m2）两点．

(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)比较AC和BD的大小，直接填空：AC BD；
(3)写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x的取值范围，直接填空： ．
【答案】(1)y＝﹣，y＝x+5(2)=(3)﹣8＜x＜﹣2
【分析】
（1）先把C点坐标代入中求出a得到反比例函数解析式为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解方程求出m得到C点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式；
（2）作CE⊥x轴于E，DF⊥y于F，证得△ACE≌△DBF即可得到结论；
（3）根据图象，找出段对应的的范围即可求得答案．
(1)解：∵双曲线经过点C（﹣8，1），
∴a＝﹣8×1＝﹣8，
∴双曲线解析式为y＝﹣，
将D（﹣m，m2）代入，得，
∴m3＝8，
∴m＝2，
∴D（﹣2，4），
∴，解得k＝，b＝5，
∴直线解析式为y＝x+5；
(2)解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y于F，如图所示：

∵直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣10，0），B（0，5），
∵C（﹣8，1），D（﹣2，4），
∴AE＝DF＝2，CE＝BF＝1，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴AC＝BD，
故答案为：＝；
(3)解：直线对应函数值大于双曲线，由图象可知：

图中段满足题意，其对应函数值自变量x的取值范围是﹣8＜x＜﹣2，
故答案为﹣8＜x＜﹣2．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合问题．考查了待定系数法求函数解析式、三角形全等的判定和性质，采用数形结合是解决问题的关键．
13．（2021·山东临沂·一模）如图，反比例函数(，x＞0)的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．

(1)求k的值；
(2)求点C的坐标；
(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．
【答案】(1)1
(2)
(3)(0,)
【分析】
(1)根据点A的坐标，以及AB=3BD求出点D坐标，代入反比例解析式求出k的值；
(2)直线y=3x与反比例解析式联立成方程组，解此方程组即可求出点C坐标；
(3) 作点D关于y轴对称的对称点E，连接CE交y轴于点M，点M即为所求，再由点C、E的坐标可求得直线CE的解析式，据此即可求得点M的坐标.
(1)解：∵A(1,3)，
∴OB=1，AB=3，
又∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D(1,1)，
将点D(1,1)代入，
得k=1×1=1；
(2)解：由(1)知反比例函数的解析式为，
解方程组 ，得 或 ，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标为；
(3)解：如图，作点D关于y轴对称点E，则E(-1,1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.

设直线CE的解析式为，
将点，E(-1,1)分别代入解析，得
，解得，
∴直线CE的解析式为，
当x=0时，y=，
∴点M的坐标为(0,).
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及一次函数图象与反比例函数图象的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
14．（2021·广东·东莞市南开实验学校一模）如图，一次函数y=k1x+1的图象与反比例函数 点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，-2 ），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围；
(3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．
【答案】(1)，；(2)或；(3)(-3，-2)或(5，6)
【分析】
（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）根据题意可求出点B坐标，再根据反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出x的取值范围即可；
（3）设直线AB与x轴的交点为M，由一次函数解析式即可求出M点坐标．根据菱形的性质求得菱形面积，即可得出的值．设P点坐标为(x，x+1)，分类讨论①当点P在x轴下方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．②当点P在x轴上方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．
(1)如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D(1，-2)，
∴OE=1，ED=2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE=DE=2，EC=OE=1，
∴A(1，2)，
将A(1，2)代入直线，得，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
将A(1，2)代入反比例函数，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为：；

(2)联立 ，
解得：，．
∴B(-2，-1)．
∵反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
由图象可知当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当或时，反比例函数值大于一次函数值时．
(3)设直线AB与x轴的交点为M，如图，

∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴，
∵，
∴，
对于直线y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1
∴M(-1，0)．
设P点坐标为(x，x+1)，
①当点P在x轴下方时，
∴，即，
∴
解得x=-3，
∴此时P点坐标为(-3，-2)；
②当点P在x轴上方时，
∴，即
∴
解得x=5，
∴P点坐标为(5，6)．
综上可知，P点坐标为(-3，-2)或(5，6)
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
15．（2021·山东济南·三模）已知点A（0，4），将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，对应点B恰好落在反比例函数的图象上．过点B的直线l的表达式为y＝mx+n，与反比例函数图象的另一个交点为点C，分别交x轴、y轴于点D、点E．

(1)求反比例函数表达式；
(2)若线段BC＝2CD，求△BOD的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为反比例函数图象上B、C之间的一点（不与B、C重合），PM⊥x轴交直线l于点M，PN⊥y轴交直线l于点N，请分析EM•DN是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)EM•DN为定值，见解析
【分析】
（1）根据平移求出点B的坐标，并运用待定系数法求出答案；
（2）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，先证明△CDG∽△BDF，结合BC=2CD，可得出 ，进而求出点C的坐标，再运用待定系数法求出直线l的解析式，得出点D的坐标，即可求得答案；
（3）设P(t， )，且t＞0，即可得出M(t，-2t+8)，N(4-，)，运用两点间距离公式即可求出EM•DN=15，故EM•DN为定值．
(1)将点A（0，4）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得B(1，6)，
∵点B恰好落在反比例函数 （k＞0）的图象上．
∴ ，
∴k=6，
∴反比例函数表达式为 ；
(2)如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，

∴∠CGD=∠BFD=90°，
∵∠CDG=∠BDF，
∴△CDG∽△BDF，
∴，
∵BC=2CD，BC+CD=BD，
∴BD=3CD，
∴，
∵B(1，6)，
∴BF=6，OF=1，
∴CG=BF=×6=2，
将y=2代入，得2= ，
∴x=3，
∴C(3，2)，
将B(1，6)，C(3，2)代入y=mx+n，
得： ，
解得 ，
∴直线l的表达式为y=-2x+8，
令y=0，得：-2x+8=0，
解得：x=4，
∴D(4，0)，
∴OD=4，
∴S△BOD=•OD•BF=×4×6=12；
(3)如图2，由（2）知，直线BC的解析式为y=-2x+8，

令x=0，得y=8，
∴E(0，8)，
设P(t，)，且t＞0，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴M(t，-2t+8)，N(4-，)，
∴ ， ，
∴EM•DN= =15，
∴EM•DN为定值．
【点睛】
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，两点间距离公式的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，属于中考常考题型．
16．（2021·广东阳江·一模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数交于（4，），B（1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．

(1)根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值；
(2)求一次函数的解析式及m的值；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△BDP∽△ACP，求点P的坐标．
【答案】(1)1＜x＜4(2)一次函数表达式为y＝﹣0.5x+2.5，m的值为2．(3)（3，1）
【分析】
（1）根据函数图象写出直线在双曲线上方部分的x的取值范围即可；
（2）把、两点坐标代入各自的关系式即可求出一次函数的关系式和的值；
（3）得到、的长，若为相似三角形的对应边可得相似比为，再根据、的横坐标可求出点的横坐标，代入一次函数关系式求出纵坐标即可．
(1)解：因为一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数交于（4，），B（1，2），
根据图象可知，当1＜x＜4时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(2)把、代入一次函数得，
，解得，，，
∴一次函数的关系式为y＝﹣0.5x+2.5
把代入反比例函数得，，
答：一次函数表达式为y＝﹣0.5x+2.5，m的值为2．
(3)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图，
由、可知，，，
∵△BDP∽△ACP，
，


设点的横坐标为，则，解得
∴点P的横坐标为3，纵坐标为﹣0.5×3+2.5＝1，
答：点P的坐标为（3，1）

【点睛】
考查一次函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形等知识，将坐标转化为线段的长是解决问题的已知一种方法．
17．（2021·广东佛山·二模）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝图象交于点B（﹣1，6）、点A，且点A的纵坐标为3．

(1)填空：k1＝　 　，b＝　 　；k2＝　 　；
(2)结合图形，直接写出k1x+b＞时x的取值范围；
(3)在梯形ODCA中，ACOD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
【答案】(1)3，9，-6
(2)﹣2＜x＜﹣1或x＞0
(3)M点的坐标为（﹣5， ）
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）设点M的坐标为（m，-），则D（m，0），C（m，3），即可得出AC=-2-m，CD=3，OD=-m，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标．
(1)解：∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=图象交于点B（-1，6）、A，
∴k2=-1×6=-6，
∴反比例函数y=-，
把y=3代入得，3=-，
∴x=-2，
∴A（-2，3），
把A、B坐标代入y=k1x+b得，
解得，
故答案为：k1=3，b=9，k2=-6，
(2)由图象可知，k1x+b＞时x的取值范围是-2＜x＜-1或x＞0；
(3)设点M的坐标为（m，-），
∵CD⊥x轴于D，
∴D（m，0），
∵AC∥OD，A（-2，3），
∴C（m，3），
∴AC=-2-m，
∴CD=3，OD=-m，
∴S梯形AODC=（AC+OD）•CD，
即12=（-2-m-m）×3，
解得m=-5，
∴M点的坐标为（-5，）．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键．
18．（2021·广东梅州·一模）已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 　 　；
（3）直接写出不等式kx＋b＞的解 　 　；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）8；（3）或；（4）P点坐标为（，0），（，0），（，0）
【分析】
（1）利用点A求出反比例函数表达式，进而求出B点坐标，最后将A、B坐标代入一次函数表达式即可．
（2）设直线AB与轴的交点为，将△AOB 分割成和进行求解即可．
（3）利用函数与不等式的关系，直接求解不等式kx＋b＞的解集即可．
（4）根据等腰三角形的判定，三边中两两相等，共分成三类情况进行讨论，即可求出P点坐标．
【详解】
（1）解：将A（﹣3，2）代入反比例函数y＝中得： ，即
反比例函数表达式为：．
B（1，n）在反比例函数图像上，
，即点坐标为（，），
A（﹣3，2）、（，）都在一次函数图像上，
，解得 ，
一次函数表达式为：．
（2）解：设直线AB与轴的交点为，

令，解得，
故点坐标为（，），
A的坐标为（﹣3，2），的坐标为（，），点坐标为（，），
点到轴距离为2，点到轴距离为6，，

（3）解：由于kx＋b＞，故一次函数图像在反比例函数图像的上方，
故图像可得：或．
（4）解：由题意可得：

由于△PAO为等腰三角形，故分为三类情况讨论，
情况1：时，此时有的坐标为（，0）
情况2：时，此时有的坐标为（，0），的坐标为（，0）（舍去）
情况3：时，过点作轴于点，设，
，，
在中，由勾股定理可知：，即，
解得，
的坐标为（，0），
综上所述：P点坐标为（，0），（，0），（，0）．
【点睛】
本题主要是考查了待定系数法求解函数表达式、分割三角形求面积、反比例函数与不等式、根据条件求点坐标，熟练掌握待定系数法求函数表达式，通过坐标轴分割三角形求面积，利用函数与不等式的关系求解集，根据图形的性质，求点坐标，这是解决此类题的关键．
19．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；

（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；

当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．