备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型

高考二轮数学复习策略

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。

2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。

3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。

4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。

5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。

6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

第22讲  圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型

【考点分析】

考点一：弦长公式

设，根据两点距离公式．

注意：

①设直线为上，代入化简，得;

②设直线方程为，代入化简，得

③，其中为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，为二次项系数

考点二：三角形的面积处理方法

①底·高     （通常选弦长做底，点到直线的距离为高）

②水平宽·铅锤高或

③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．   

考点三：四边形面积处理方法

①若四边形对角线与相互垂直，则

②将四边形面积转化为三角形面积进行解决

【题型目录】

题型一：求弦长及范围问题

题型二：三角形面积及范围问题

题型三：四边形面积及范围问题

【典型例题】

题型一：求弦长及范围问题

【例1】已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当求此时直线的方程；

【例2】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.

【例3】已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．

(1)求椭圆的方程；

(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．

【题型专练】

1．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．

2.已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点．

(1)求椭圆与抛物线的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

3.已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求的方程；

(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．

4.已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.

题型二：三角形面积及范围问题

【例1】在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．

【例2】已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过，两点．

(1)求E的方程；

(2)设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值．

【例3】已知椭圆：的离心率，短轴长为2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为椭圆的右顶点，，是轴上关于轴对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，点为中点，点在直线上且满足（为坐标原点），记，的面积分别为，，若，求直线的斜率．

【例4】已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当轴时，.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线的斜率存在且不为0，点在轴上的射影分别为，且三点共线，求证：与的面积相同.

【例5】已知椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆内，且直线分别与椭圆交于两点，直线与轴交于点．已知．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设的面积为的面积为，求的取值范围．

【题型专练】

1.已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.

(1)是上一动点，求的范围；

(2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.

2．已知O为坐标原点，点皆为曲线上点，为曲线上异于的任意一点，且满足直线的斜率与直线的斜率之积为.

(1)求曲线的方程：

(2)设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为（其中），的面积为，以为直径的圆的面积分别为、，若恰好构成等比数列，求的取值范围.

3.已知椭圆：的长轴为4，离心率为

(1)求椭圆的方程；

(2)如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

4．已知椭圆经过点且焦距为4，点分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线的斜率分别为，求的值；

(3)是椭圆上的两点，且不在坐标轴上，满足，

，问的面积是否是定值？如果是，请求出的面积；如果不是，请你说明理由.

5．已知圆：，点，是圆上的一个动点，线段的中垂线交于点.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若点，过点A的直线与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与平行的直线与C交于P、G两点，求的值.

6.若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.

(1)求椭圆与椭圆的方程；

(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.

①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.

②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.

7.已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为、，离心率，P为椭圆上任意一点，的周长为6.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由

题型三：四边形面积及范围问题

【例1】已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.

【例2】设椭圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为，O是坐标原点，且.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形面积的取值范围.

【例3】椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.

【例4】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.

（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；

（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.

【题型专练】

1．已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积．

2．已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；

②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．

3．已知过点的椭圆：上的点到焦点的最大距离为3.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过椭圆：上一点的切线方程为.已知点M为直线上任意一点，过M点作椭圆的两条切线 ，为切点，与（O为原点）交于点D，当最小时求四边形的面积.

4.设椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若的周长为8，面积的最大值为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．

5．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．

(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；

(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．