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2022-2023年人教版数学七年级下册专项复习精讲精练：压轴题专训30题（第五、六、七章）
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七年级下学期【压轴题30题专训】
一．解答题（共30小题）
1．（2023春•襄州区月考）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC，
∴∠C＝ ．
∵EF∥AB，∴∠B＝ ，
∴∠B+∠C＝ ．
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题：
如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A是多少度？
2．（2023春•东阳市月考）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝30°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
如图1，若∠BAE＝α，∠DCE＝β，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．
3．（2023春•东台市月考）把一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）放在两条平行线AB，CD之间．
（1）如图1，若三角形的60°角的顶点G放在CD上，且∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请直接写出∠AEG与∠CFG的数量关系．
4．（2022秋•香坊区期末）已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NE，来证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．
5．（2022秋•翠屏区期末）将一块三角板ABC（∠ACB＝90°，∠A＝30°）按如图①所示放置在锐角∠POQ＝α内，使直角边BC落在OQ边上．现将三角板ABC绕点B逆时针以每秒m°的速度旋转t秒（直角边BC旋转到如图②所示的位置），过点A作MN∥OQ交射线OP于点M，AD平分∠MAB，其中m的值满足：使代数式|m﹣10|+3取得最小值．
（1）求m的值；
（2）当t＝4秒时，求∠NAC的度数；
（3）在某一时刻，当BC∥OP时，试求出∠ADO与α之间的数量关系．
6．（2023•广东模拟）【学习新如】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）【初步应用】如图2，有两块平面镜AB，BC，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E；
（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？
7．（2022秋•朝阳区期末）如图：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、CD之间的一个动点．
（1）如图①，当点P在线段EF左侧时，求证：∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系．
（2）如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系为 ．
（3）若∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF＝70°，则∠EQF＝ ．
8．（2022秋•道里区期末）如图，直线AB，CD与直线EF交于G，H，∠AGE＝∠FHD．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点P在如图所示位置，连接PG，PH，猜想∠P，∠PGB，∠PHD之间的等量关系并给出证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，HP平分∠GHD，GB平分∠PGE，GP⊥PH，求∠FHP的度数．
9．（2022秋•南岗区期末）已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，求∠KMN的度数．
10．（2022秋•射洪市期末）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由．
（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你说明∠ABP+∠DCE＝∠CAB；（把下面的解答补充完整）
解：因为CD∥AB
所以∠CAB+ ＝180°（ ）
因为∠ECM+∠ECN＝180°（ ）
又因为∠ECN＝∠CAB
所以∠ ＝∠ （ ）
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE
所以∠MCA＝∠DCE
由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB
∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB
（3）【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝68°，请直接写出∠AFB的度数为 ．
11．（2022秋•三元区期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
12．（2022秋•皇姑区期末）如图①，已知：BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°，如图②，当∠FBE＝2∠ABF时，直接写出的值；
（3）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BP平分∠HBD交直线CD于点P．设∠EBP＝x°，直接写出∠BHD的度数（用含x的代数式表示）．
13．（2022秋•石狮市期末）将一块三角板CDE（∠CED＝90°，∠CDE＝30°）按如图所示方式放置，使顶点C落在∠AOB的边OB上，CE∥OA．经过点D画直线MN∥OB，交OA边于点M．
（1）如图1，若∠AMN＝60°．
①求∠ECB的度数；
②试说明：DE平分∠NDC；
（2）如图2，DF平分∠MDC，交OB边于点F，试探索∠O与∠OFD之间的数量关系，并说明理由．
14．（2022秋•惠来县期末）已知如图AB∥CD．
（1）由图①易得∠B、∠BED、∠D的关系 （直接写结论）；由图②易得∠B、∠BED、∠D的关系 （直接写结论）．
（2）从图①图②任选一个图形说明上面其中一个结论成立的理由．
（3）利用上面（1）得出的结论完成下题：
已知，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠E＝60°，求∠BFD的度数．
15．（2022秋•社旗县期末）【教材回顾】如下是华师版七年级下册教材第167页，关于同旁内角的定义．
图中∠4和∠5处于直线l的同一侧，直线a、b的中间．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
【类比探究】
（1）如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫做同旁外角，请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；
（2）如图②，已知∠1+∠2＝180°时，试说明直线a∥b．
（3）如图③，直线a∥b，当∠1＝125°时，求出∠2的度数．
16．（2023春•开福区校级月考）已知线段AB∥线段CD，直线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图1，E在线段MN上，设∠MBE＝x°，∠MND＝y°，且x、y满足，则∠BEN的度数为 ；
（2）如图2，点E在线段MN上，∠MBE＝∠MEB，DF平分∠EDC交BE的延长线于点F，试判断∠DEF、∠EDN与∠END之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在直线MN上运动时，若∠ABP与∠CDP的角平分线交于点Q，试判断∠BPD与∠BQD的数量关系，请画好图形并给予证明．
17．（2022秋•龙岩期末）规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作a⊗b：如果ak＝b，那么a⊗b＝k．
例如：因为23＝8，所以2⊗8＝3；因为（﹣3）﹣2＝，所以．根据上述规定，解答下列问题：
（1）填空：4⊗16＝ ，＝ ；
（2）已知x⊗1＝3x﹣1，求实数x的值；
（3）求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有成立．
18．（2022秋•常州期末）【材料阅读】
如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为﹣1、7，C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是 、 （用含t的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求t的值．
【方法迁移】
如图2，∠AOB＝140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线OP、OQ的夹角为30°？
【生活运用】
周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为90°，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°．
19．（2022秋•莱芜区期末）阅读下列解题过程：
；
；
；
……
（1）计算：＝ ；
（2）按照你所发现的规律，猜想：＝ ；（n为正整数）
（3）计算：．
20．（2022秋•交口县期末）阅读理解题：
形如a+bi的数（a，b均为实数，b≠0）叫做复数．其中的a叫做它的实部，b叫做它的虚部，i叫做虚数单位，并规定：①i的平方等于﹣1，即i2＝﹣1；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如：（3+5i）+（2﹣3i）＝（3+2）+（5﹣3）i＝5+2i，（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+i×2﹣i2＝2﹣i+2i﹣（﹣1）＝3+（﹣1+2）i＝3+i．
请类比完成以下任务：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（3+2i）×（1﹣i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2022．
21．（2022秋•长兴县期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”．即：如果a+b＝a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为（a，b）．
例如：2+2＝2×2，，，则称数对（2，2），（，﹣1），（3，）是“和积等数对”．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是 （填序号）；
①（﹣，2）
②（，5）
③（﹣1，2）
（2）如果（x，4）是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果（m，n）是“和积等数对”，那么m＝ （用含n的代数式表示）．
22．（2022秋•汉川市期末）已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且a、b、c满足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒、3个单位/秒．运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）（用含t的式子表示）；
（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）．存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，请直接写出时间t的值．
23．（2022秋•赣州期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣24，12．
（1）A、B两点间的距离为 ．
（2）如图①，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．
①运动t秒时，点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；（用含t的代数式表示）
②当P、Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是 ；
③求P、Q相距6个单位长度时的t值；
（3）如图②，若点D在数轴上，点M在数轴上方，且AD＝MD＝DC＝5，∠MDC＝90°，现点M绕着点D以每秒转15°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点N沿射线BA自点B向点A运动．当M、N两点相遇时，直接写出点N的运动速度．
24．（2022秋•长安区校级期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．
又例如：
∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ；
（2）点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列对于m，n的说法正确的是 （填序号即可）；
①m，n均为有理数；②；③3＜m﹣n＜4；④3＜m+n＜4
（3）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值．
25．（2022秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 ；
（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（﹣，2）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B点的坐标．
26．（2023春•襄都区校级月考）在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．
（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标 ；
（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；
（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．
27．（2022秋•余姚市校级期末）已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．
（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；
（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．
28．（2023•大埔县校级开学）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB＝12，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数为 ，P所表示的数为 （用含t的代数式表示）．
（2）问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度．
（3）如图2，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形APEF面积的一半，请直接写出结论．t＝ 秒．
29．（2022秋•通川区期末）如图，数轴上点M，N对应的实数分别为﹣6和8，数轴上一条线段AB从点M出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达点N立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒．
（1）如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离；
（2）如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点D与点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），CD＝4，点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点．
①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C对应的数．
30．（2022秋•曲阜市期末）已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b＝﹣1，且a，c满足|a+5|+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若点B保持静止，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则AB＝ ，BC＝ （结果用含t的代数式表示）；这种情况下，5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若在点A、C开始运动的同时，点B向右运动，并且A，C两点的运动速度和运动方向与（2）中相同，当t＝3时，AC＝2BC，求点B的速度．
七年级下学期【压轴题30题专训】
一．解答题（共30小题）
1．（2023春•襄州区月考）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC，
∴∠C＝ ．
∵EF∥AB，∴∠B＝ ，
∴∠B+∠C＝ ．
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题：
如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A是多少度？
2．（2023春•东阳市月考）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝30°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
如图1，若∠BAE＝α，∠DCE＝β，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．
3．（2023春•东台市月考）把一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）放在两条平行线AB，CD之间．
（1）如图1，若三角形的60°角的顶点G放在CD上，且∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请直接写出∠AEG与∠CFG的数量关系．
4．（2022秋•香坊区期末）已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NE，来证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．
5．（2022秋•翠屏区期末）将一块三角板ABC（∠ACB＝90°，∠A＝30°）按如图①所示放置在锐角∠POQ＝α内，使直角边BC落在OQ边上．现将三角板ABC绕点B逆时针以每秒m°的速度旋转t秒（直角边BC旋转到如图②所示的位置），过点A作MN∥OQ交射线OP于点M，AD平分∠MAB，其中m的值满足：使代数式|m﹣10|+3取得最小值．
（1）求m的值；
（2）当t＝4秒时，求∠NAC的度数；
（3）在某一时刻，当BC∥OP时，试求出∠ADO与α之间的数量关系．
6．（2023•广东模拟）【学习新如】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）【初步应用】如图2，有两块平面镜AB，BC，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E；
（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？
7．（2022秋•朝阳区期末）如图：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、CD之间的一个动点．
（1）如图①，当点P在线段EF左侧时，求证：∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系．
（2）如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系为 ．
（3）若∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF＝70°，则∠EQF＝ ．
8．（2022秋•道里区期末）如图，直线AB，CD与直线EF交于G，H，∠AGE＝∠FHD．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点P在如图所示位置，连接PG，PH，猜想∠P，∠PGB，∠PHD之间的等量关系并给出证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，HP平分∠GHD，GB平分∠PGE，GP⊥PH，求∠FHP的度数．
9．（2022秋•南岗区期末）已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，求∠KMN的度数．
10．（2022秋•射洪市期末）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由．
（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你说明∠ABP+∠DCE＝∠CAB；（把下面的解答补充完整）
解：因为CD∥AB
所以∠CAB+ ＝180°（ ）
因为∠ECM+∠ECN＝180°（ ）
又因为∠ECN＝∠CAB
所以∠ ＝∠ （ ）
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE
所以∠MCA＝∠DCE
由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB
∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB
（3）【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝68°，请直接写出∠AFB的度数为 ．
11．（2022秋•三元区期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
12．（2022秋•皇姑区期末）如图①，已知：BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°，如图②，当∠FBE＝2∠ABF时，直接写出的值；
（3）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BP平分∠HBD交直线CD于点P．设∠EBP＝x°，直接写出∠BHD的度数（用含x的代数式表示）．
13．（2022秋•石狮市期末）将一块三角板CDE（∠CED＝90°，∠CDE＝30°）按如图所示方式放置，使顶点C落在∠AOB的边OB上，CE∥OA．经过点D画直线MN∥OB，交OA边于点M．
（1）如图1，若∠AMN＝60°．
①求∠ECB的度数；
②试说明：DE平分∠NDC；
（2）如图2，DF平分∠MDC，交OB边于点F，试探索∠O与∠OFD之间的数量关系，并说明理由．
14．（2022秋•惠来县期末）已知如图AB∥CD．
（1）由图①易得∠B、∠BED、∠D的关系 （直接写结论）；由图②易得∠B、∠BED、∠D的关系 （直接写结论）．
（2）从图①图②任选一个图形说明上面其中一个结论成立的理由．
（3）利用上面（1）得出的结论完成下题：
已知，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠E＝60°，求∠BFD的度数．
15．（2022秋•社旗县期末）【教材回顾】如下是华师版七年级下册教材第167页，关于同旁内角的定义．
图中∠4和∠5处于直线l的同一侧，直线a、b的中间．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
【类比探究】
（1）如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫做同旁外角，请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；
（2）如图②，已知∠1+∠2＝180°时，试说明直线a∥b．
（3）如图③，直线a∥b，当∠1＝125°时，求出∠2的度数．
16．（2023春•开福区校级月考）已知线段AB∥线段CD，直线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图1，E在线段MN上，设∠MBE＝x°，∠MND＝y°，且x、y满足，则∠BEN的度数为 ；
（2）如图2，点E在线段MN上，∠MBE＝∠MEB，DF平分∠EDC交BE的延长线于点F，试判断∠DEF、∠EDN与∠END之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在直线MN上运动时，若∠ABP与∠CDP的角平分线交于点Q，试判断∠BPD与∠BQD的数量关系，请画好图形并给予证明．
17．（2022秋•龙岩期末）规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作a⊗b：如果ak＝b，那么a⊗b＝k．
例如：因为23＝8，所以2⊗8＝3；因为（﹣3）﹣2＝，所以．根据上述规定，解答下列问题：
（1）填空：4⊗16＝ ，＝ ；
（2）已知x⊗1＝3x﹣1，求实数x的值；
（3）求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有成立．
18．（2022秋•常州期末）【材料阅读】
如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为﹣1、7，C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是 、 （用含t的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求t的值．
【方法迁移】
如图2，∠AOB＝140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线OP、OQ的夹角为30°？
【生活运用】
周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为90°，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°．
19．（2022秋•莱芜区期末）阅读下列解题过程：
；
；
；
……
（1）计算：＝ ；
（2）按照你所发现的规律，猜想：＝ ；（n为正整数）
（3）计算：．
20．（2022秋•交口县期末）阅读理解题：
形如a+bi的数（a，b均为实数，b≠0）叫做复数．其中的a叫做它的实部，b叫做它的虚部，i叫做虚数单位，并规定：①i的平方等于﹣1，即i2＝﹣1；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如：（3+5i）+（2﹣3i）＝（3+2）+（5﹣3）i＝5+2i，（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+i×2﹣i2＝2﹣i+2i﹣（﹣1）＝3+（﹣1+2）i＝3+i．
请类比完成以下任务：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（3+2i）×（1﹣i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2022．
21．（2022秋•长兴县期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”．即：如果a+b＝a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为（a，b）．
例如：2+2＝2×2，，，则称数对（2，2），（，﹣1），（3，）是“和积等数对”．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是 （填序号）；
①（﹣，2）
②（，5）
③（﹣1，2）
（2）如果（x，4）是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果（m，n）是“和积等数对”，那么m＝ （用含n的代数式表示）．
22．（2022秋•汉川市期末）已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且a、b、c满足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒、3个单位/秒．运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）（用含t的式子表示）；
（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）．存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，请直接写出时间t的值．
23．（2022秋•赣州期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣24，12．
（1）A、B两点间的距离为 ．
（2）如图①，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．
①运动t秒时，点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；（用含t的代数式表示）
②当P、Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是 ；
③求P、Q相距6个单位长度时的t值；
（3）如图②，若点D在数轴上，点M在数轴上方，且AD＝MD＝DC＝5，∠MDC＝90°，现点M绕着点D以每秒转15°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点N沿射线BA自点B向点A运动．当M、N两点相遇时，直接写出点N的运动速度．
24．（2022秋•长安区校级期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．
又例如：
∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ；
（2）点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列对于m，n的说法正确的是 （填序号即可）；
①m，n均为有理数；②；③3＜m﹣n＜4；④3＜m+n＜4
（3）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值．
25．（2022秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 ；
（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（﹣，2）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B点的坐标．
26．（2023春•襄都区校级月考）在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．
（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标 ；
（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；
（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．
27．（2022秋•余姚市校级期末）已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．
（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；
（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．
28．（2023•大埔县校级开学）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB＝12，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数为 ，P所表示的数为 （用含t的代数式表示）．
（2）问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度．
（3）如图2，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形APEF面积的一半，请直接写出结论．t＝ 秒．
29．（2022秋•通川区期末）如图，数轴上点M，N对应的实数分别为﹣6和8，数轴上一条线段AB从点M出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达点N立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒．
（1）如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离；
（2）如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点D与点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），CD＝4，点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点．
①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C对应的数．
30．（2022秋•曲阜市期末）已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b＝﹣1，且a，c满足|a+5|+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若点B保持静止，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则AB＝ ，BC＝ （结果用含t的代数式表示）；这种情况下，5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若在点A、C开始运动的同时，点B向右运动，并且A，C两点的运动速度和运动方向与（2）中相同，当t＝3时，AC＝2BC，求点B的速度．
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