2022-2023年人教版数学七年级下册专项复习精讲精练：专题02 实数

专题02  实数

【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】

考点一：算术平方根

算术平方根的定义：

一个正数的平方等于，即，则是的算术平方根。表示为。

算术平方根的性质：

①算术平方根的双重非负性：算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0。即  ≥0，≥0。

    非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。

    即若，则0。

    ②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即。

③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。即。

④规定0的算术平方根是0。

⑤算术平方根等于它本身的数有0和1。

算术平方根的估算：

利用夹逼法对算术平方根进行估算。

【考试题型1】求一个数的算术平方根

【解题方法】根据定义以及表示方法求一个数的算术平方根。注意这个数本身是算术平方根时要先计算出它的值在求它的算术平方根。

例题讲解：1．（2022春•汶上县期中）9的算术平方根是（　　）

A．﹣3 B．3 C．±3 D．81

（2022春•哈巴河县期中）的算术平方根是（　　）

A．4 B．2 C．±4 D．±2

【考试题型2】算术平方根的非负性

【解题方法】根据几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0进行求解。注意非负数还有绝对值，偶次方。

例题讲解：2．（2022春•镜湖区校级期中）若，则x+y的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【考试题型3】算术平方根的性质

【解题方法】根据一个算的算术平方根的平方等于这个本事，一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，在根据绝对值求解。

例题讲解：3．（2022春•巴东县期中）若a＝，则a＝（　　）

A．5 B．± C．±5 D．﹣5

  （2022秋•长宁区校级期中）计算：＝　     ．

考点二：平方根

平方根的定义：

一个数的平方等于，即，则这个数是的平方根。表示为。

平方根的性质：

    ①正数的平方根有2个，分别是与，他们互为相反数。

    ②规定0的平方根是0。所以0的平方根只有一个，就是它本身。

③负数没有平方根。

求一个数的平方根：

求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。即，则。可表示为，。

【考试题型1】求一个数的平方根

【解题方法】根据定义以及表示方法求解。

例题讲解：7．（2022春•郾城区期中）9的平方根是（　　）

A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3

【考试题型2】根据平方根的性质求值

【解题方法】利用正数的平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0求解。

例题讲解：8．（2022春•岳麓区校级期中）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的两个平方根，则这个正数为（　　）

【考试题型3】利用平方根解方程

【解题方法】根据定义以及表示方法求解。

例题讲解：9．（2022春•通城县期中）求下列各式中的x．

（1）x2﹣143＝1；                   （2）4x2﹣16＝0．

考点三：立方根

立方根的定义：

一个数的立方等于，即，则这个数是的立方根。表示为。

立方根的性质：

①任何数都有立方根且只有一个。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

②一个数的立方根的立方等于它本身。即。

③一个数的立方的立方根等于它本身。即。

④一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根。即。

⑤立方根等于它本身的数有0和±1。

求一个数的立方根：

求一个数的立方根的运算叫做开立方，与立方运算互为逆运算。

【考试题型1】求一个数的立方根

【解题方法】根据立方根的定义及其表示方法求解。

例题讲解：10．（2022秋•萧县期中）﹣的立方根为（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【考试题型2】立方根的性质

【解题方法】根据立方根，平方根的性质判断即可。

例题讲解：11．10．（2022春•建安区期中）下列各式：①＝±3；②；③＝0.6；④±＝±5；⑤＝﹣2；⑥＝﹣3．其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考试题型3】利用立方根解方程

【解题方法】根据立方根的定义及其表示方法求解。

例题讲解：12．（2022春•禹城市期中）解下列方程

（1）x2﹣121＝0；                 （2）64（x﹣2）3﹣1＝0．

【考试题型4】算术平方根、平方根以及立方根的综合

【解题方法】根据三者的定义、表示方法以及性质进行求解。

例题讲解：13．（2022秋•南安市期中）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b

的算术平方根．

考点四：无理数

无理数的定义：

无限不循环的小数叫做无理数。

无理数的三种形式：

①开方开不尽的数。如，...

②无限不循环小数。（特定结构的无限不循环小数）如0.101 001000100001…（两个1之间依次多一

个0）

③含有π的式子。

无理数的估算：

无理数的估算多采用夹逼法进行。

例如：估算

∵，

∴

计算

∴

计算

∴

∴    

【考试题型1】判断无理数

【解题方法】根据无理数的三种形式即可判断无理数。

例题讲解：14．（2022秋•南岗区校级期中）在1.41，，0，，﹣π，0.2，中，无理数的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考试题型2】无理数的估算

【解题方法】通常考察无理数在哪两个正数之间或无理数的整数部分和小数部分，根据夹逼法判断无理数在那两个正数之间，由此也可判断无理数的整数部分，然后用无理数减去它的整数部分来得到无理数的小数部分。

例题讲解：15．（2022秋•江都区期中）估计5﹣的值在（　　）

A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间

（2022春•仓山区校级期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则ab＝　          　．

考点五：实数

实数的定义：

有理数和无理数统称为实数。

实数的分类：

可根据定义分类：                                 可根据正负分类：

注意：熟悉巩固有理数的分类。

【考试题型1】实数分类

【解题方法】根据无理数的两种分类方法进行分类即可。

例题讲解：16．（2022春•永善县期中）把下列各数填入相应的大括号中：

0.3，﹣1，，，0，，3.14，，，，，0.125，，

负数集合{　                                       　…}；

整数集合{　                                          　…}；

有理数集合{　                                                   　…}；

无理数集合{　                                             　…}．

考点六：实数的性质

实数的相反数：同有理数一样，只有符号不同的两个数互为相反数。

实数的绝对值：同有理数一样，正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数。

【考试题型1】求实数的相反数与绝对值

【解题方法】利用求有理数的相反数与绝对值的方法进行求解。

例题讲解：17．（2022春•南靖县期中）下列各组数中，互为相反数的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与

（2022秋•辽阳期中）1﹣的绝对值是（　　）

A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．±（1﹣）

考点七：实数与数轴

实数与数轴的关系：同有理数一样，实数与数轴上的点存在一一对应关系。

互为相反数的两个实数在原点的两侧，且到原点距离相等。实数的绝对值表示实数到原点的距离。

【考试题型1】确定数轴上的点表示的实数

【解题方法】利用已知条件求出点到原点的距离即可得到点所表示的实数。注意点在原点的左侧还是右侧，即实数的正负。

例题讲解：17．（2022秋•滨江区校级期中）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　）

A．﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．

考点八：实数的大小比较

任意两个实数都可以进行大小比较，正实数大于0大于负实数。两个负实数进行比较时绝对值大的反而小。

数轴上右边的实数恒大于数轴上左边的实数。

两个正无理数进行比较时，若根指数相同，被开方数越大则无理数越大，若被开方数不同，则可利用无理数的估算进行比较大小。

【考试题型1】无理数的大小比较

【解题方法】利用比较方法逐一比较。若在特点的范围内，可以采用赋值法比较。

例题讲解：18．（2022秋•天河区校级期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．a＜﹣b＜b＜﹣a B．a＜b＜﹣b＜﹣a C．a＜﹣b＜﹣a＜b D．﹣b＜a＜b＜﹣a

（2022春•昭阳区期中）已知0＜a＜1，则a，，a2，的大小关系为（　　）

A．    B． 

B．C． D．

考点九：实数的简单运算

运算法则同有理数，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

对无理数进行计算时，只有根指数与被开方数相同的两个无理数才能进行加减。计算方法与合并同类项类似，根指数与被开方数不变，把它前面的数进行加减。

【考试题型1】实数的运算

【解题方法】结合算术平方根、平方根、立方根、有理数与无理数的运算法则、实数的性质进行计算。

例题讲解：19．

【考试题型2】定义新运算法则

【解题方法】根据定义运算法则，结合算术平方根、平方根、立方根、有理数与无理数的运算法则、实数的性质进行计算。

例题讲解：20．22．（2022春•应城市期中）计算：

（1）．             （2）．

23．（2022春•西城区校级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b＝，a▼b＝并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）▲3＝3、（﹣2）▼3＝﹣2、（（﹣2）▲3））▼2＝2，那么（▲2）▼等于（　　）

A． B．3 C．6 D．3

【专题过关】

一．平方根（共3小题）

1．（2022秋•鲤城区校级期中）49的平方根是（　　）

A．±7 B．7 C．﹣7 D．不存在

2．（2022春•花山区校级期中）已知（x+1）2＝9，则实数x的值为（　　）

A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．﹣2或4

3．（2022秋•昌平区期中）已知一个正数m的两个平方根为3a﹣7和a+3，求a和m的值．

二．算术平方根（共2小题）

4．（2022春•昭平县期中）按如图所示程序框图计算，若输入的值为x＝16，则输出结果为（　　）

A． B．± C．4 D．﹣

5．（2022春•南谯区期中）若，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（　　）

A．4 B．2 C．±2 D．3

三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）

6．（2022春•禹城市期中）若m、n满足+|n﹣1|＝0，则（m+n）3的平方根为（　　）

A．4 B．8 C．±4 D．±8

7．（2022秋•拱墅区校级期中）若，则3a+2b＝　    　．

四．立方根（共3小题）

8．（2022春•高昌区期中）下列等式成立的是（　　）

A． B． C． D．

9．（2022秋•沈北新区期中）的平方根是（　　）

A．±8 B．±4 C．±2 D．±

10．（2022秋•盐都区期中）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．

五．无理数（共2小题）

11．（2022秋•海州区期中）下列八个数：﹣8，2.7，﹣2，，0.6·，0，3，0.8080080008……（每两个8之间逐次增加一个0），无理数的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

12．（2022秋•碑林区校级期中）在下列各数中，无理数是（　　）

A． B．3.1415926 C． D．﹣

六．实数（共1小题）

13．（2022春•顺平县期中）在下列各数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数，哪些数是整数？

，，，，3.14，0，，，，，，0.15，．

七．实数的性质（共3小题）

14．（2022秋•太原期中）实数的绝对值是（　　）

A． B． C．6 D．﹣6

15．（2022春•盂县期中）下列说法中正确的（　　）

A．2022的相反数表示为﹣（﹣2022） 

B．9的算术平方根表示为 

C．﹣π的绝对值表示为|π| 

D．16的立方根表示为

16．（2022春•平舆县期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．

八．实数与数轴（共3小题）

17．（2022秋•鄞州区期中）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（　　）

A． B． C． D．

18．（2022春•新罗区校级期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|﹣的结果是（　　）

A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b

19．（2022春•哈巴河县期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．

（1）实数m的值是 　    　；

（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；

（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．

九．实数大小比较（共3小题）

20．（2022秋•辉县市期中）在实数0、﹣4、﹣π、﹣中，最小的数是（　　）

A．0 B．﹣4 C．﹣π D．﹣

21．（2022秋•天河区校级期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．a＜﹣b＜b＜﹣a B．a＜b＜﹣b＜﹣a C．a＜﹣b＜﹣a＜b D．﹣b＜a＜b＜﹣a

22．（2022秋•郧西县期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

（1）填空：a　  　0，b　  　0，c　  　0（填“＞”、“＜”或“＝”）；

（2）直接写出|a﹣c|＝　    　，|a﹣b|＝　    　，|1﹣b|＝　    　；

（3）化简：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．

一十．估算无理数的大小（共3小题）

23．（2022秋•南湖区校级期中）已知n为整数，且，则n等于（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

24．（2022秋•皇姑区校级期中）已知的整数部分是a，小数部分是b，则ab的值为　            ．

25．（2022秋•罗湖区校级期中）根据推理提示，回答下列问题：

∵，即1＜＜2，

∴的整数部分为1，小数部分为﹣1．

（1）的整数部分是 　   　，小数部分是 　        　．

（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2＝　    　．

（3）已知：10+＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，则a＝　    　，b＝　       　．

一十一．实数的运算（共2小题）

26．（2022春•铁西区期中）计算：

（1）；         （2）．

27．（2022春•五峰县期中）计算：

（1）；    （2）．