2023年中考数学专题复习课件： 折叠问题

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例 如图①，在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
【思维教练】要求∠CBE的度数，由△BCE沿BE翻折，可得对应边相等，结合BC＝2BA，在Rt△ABF中，可求得∠AFB的度数，进而求得∠CBE的度数．
解：(1)由折叠的性质得，BC＝BF，∠EBF＝∠CBE，∠BFE＝∠C，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∵BC＝2BA，∴BF＝2BA，∴在Rt△ABF中，sin ∠AFB＝ ，∴∠AFB＝30°，∵AD∥BC，∴∠FBC＝∠AFB＝30°，∴∠CBE＝ ∠FBC＝15°；
(2)若AB＝5，且AF·FD＝10，求BC的长；
【思维教练】根据AF·FD＝10及矩形性质，求BC的长即为求AD的长，观察图形可得一线三垂直模型，通过三角形相似列线段比例关系，结合勾股定理求得BC的长．
(2)∵∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB＋∠DFE＝90°.又∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠DFE＝∠ABF.
∵∠D＝∠A＝90°，∴△EDF∽△FAB，∴ ，∴AF·DF＝DE·AB.∵AB＝5，AF·FD＝10，∴5DE＝10，∴DE＝2，∴EF＝EC＝DC－DE＝AB－DE＝5－2＝3，∴DF＝ ，∴ ，解得BF＝3 ，∴BC＝BF＝3 ；
(3)如图②，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，求 的值．
(3)如图，过点N作NG⊥BF于点G，
∵BM为∠ABF的平分线，∴∠ABN＝∠GBN.∵BN＝BN，∠A＝∠NGB＝90°，∴△ABN≌△GBN(AAS)，∴AB＝GB，AN＝GN，∴FG＝BF－BG＝BC－AB， ∴FA＝AN＋NF＝NG＋NF＝ AB＋ BC.∵ ， ∴ ，∴3BC＝5AB.∴ .
1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点(点D不与点O，C重合)，将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE.(1)当AE⊥BC时，∠AEB＝___°；
【解法提示】当AE⊥BC时，△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
(3)如图，连接AO，
在Rt△AOD中，∵AD2＝AO2＋OD2，∴y＝22＋(2 －x)2，整理得y＝x2－4 x＋16.∴y关于x的函数解析式为y＝x2－4 x＋16(0＜x＜2 ).
2. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝3，点E为AB边上一点，连接EC，将△EBC沿EC折叠得到△EHC，点B的对应点为点H.(1)如图①，连接AC，当射线EH经过△AEC的内心时，求BE的长；
(1)解：∵射线EH经过△AEC的内心，∴∠AEH＝∠HEC，由折叠的性质，得∠HEC＝∠BEC，∴∠AEH＝∠HEC＝∠BEC，∵∠AEH＋∠HEC＋∠BEC＝180°，∴∠BEC＝60°，∴BE＝ ；
(2)①证明：由折叠的性质，得∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠QCF，∵∠BCD＝90°，∴∠DCF＋∠BCE＝45°，∵∠BEC＋∠ECB＝90°，∠DFC＋∠DCF＝90°，∴∠BEC＋∠ECB＋∠DFC＋∠DCF＝180°，∴∠BEC＋∠DFC＝180°－45°＝135°；
(2)如图②，当点H落在边AD上时，F为DH上一点，将△FDC沿FC折叠，使得点D的对应点Q落在HC上．①求证：∠BEC＋∠DFC＝135°；
又∵∠HAE＝∠CDH＝90°，∴△HAE∽△CDH， ∴ ，即 ，解得AE＝ .
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点P为AB边上一点(不与A、B重合)，将△ABC沿CP折叠后展开，再将∠C翻折，使点C与点P重合，折痕分别为CP，MN，连接PM，PN.(1)若四边形PMCN是正方形，求PC的长；
解：(1)∵四边形PMCN是正方形，∴MP∥NC，MP＝MC，∠PMC＝90°，∴△AMP∽△ACB， ∴ .设MP＝x，则AM＝AC－MC＝AC－MP＝3－x，∴ ，解得x＝ ，∴MP＝MC＝ ，∴在Rt△PMC中，由勾股定理得PC＝ ；
(2)若△MCN与△ABC相似，求MN的长；
(3)是否存在PN，使得BN－CN＝ PB，且S△PNB＝ S△ACB？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．
∵sin B＝ ，∴ ，PD＝ (6－x)，∴S△PNB＝ x· (6－x)，若S△PNB＝ S△ACB，则 x· (6－x)＝ ×6，解得x＝ ，
当点M与点A重合时，如解图④，则△PNB∽△CAB，BP＝AB－AP＝AB－AC＝2，∴ ，即 ， ∴BN＝ ，∴x≤ ，
4. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC.(1)求证：AG＝GH；
(1)证明：由折叠的性质可得△ABE≌△AFE, ∴∠BAE＝∠FAE, ∠AGF＝90°.∵AH是∠DAF的平分线，∴∠FAH＝∠DAH.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAE＋∠FAH＋∠DAH＝90°，∴∠FAE＋∠FAH＝45°，即∠GAH＝45°，∴∠AHG＝45°，∴AG＝GH；
(2)若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
(2)解：如图，连接DH.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，由折叠的性质得，AB＝AF，∴AD＝AF，∵AH＝AH，∠FAH＝∠DAH，∴△AFH≌△ADH(SAS)，∴DH＝FH，∠DHA＝∠AHG，
由(1)得∠AHG＝45°，∴∠DHA＝45°，∴∠DHF＝90°，∴DH⊥BH，∵AB＝3, BE＝1，∴AE＝ ，∵∠AGB＝∠ABE＝90°，∠BAG＝∠EAB，∴△ABG∽△AEB， ∴ ，即 ，解得AG＝ ，
∵S△ABE＝ AE·BG＝ AB·BE，∴BG＝ ＝ ＝ ，∵AG＝GH，FG＝BG，∴FH＝GH－FG＝ ，∴DH＝FH＝ ，∴点D到直线BH的距离是 ；