2023年中考数学专题复习课件： 旋转问题

这是一份2023年中考数学专题复习课件： 旋转问题，共30页。PPT课件主要包含了典例精析，EAC′，EC′A，针对训练，答案135°，第1题解图②，第4题图③等内容，欢迎下载使用。

例 如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使B′F＝AB.(1)求证：AE＝C′E；
【思维教练】要证AE＝C′E，即证∠______＝∠______，可简化图形如下，由矩形旋转可得，△ABC≌△AB′C′，由AC＝2AB可求出∠ACB＝___°，则∠BAC＝___°，由平行可知∠CAE＝___°，由旋转可知∠AC′B′＝___°，∠B′AC′＝___°，再根据角度关系即可得证．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，由旋转的性质得，∠AC′B′＝∠ACB＝30°， ∠B′AC′＝∠BAC＝60°，∴∠EAC′＝∠B′AC′－∠CAD＝60°－30°＝30°，∴∠EAC′＝∠AC′B′，∴AE＝C′E；
(2)求∠FBB′的度数；
【思维教练】要求∠FBB′的度数，可简化图形如下，由旋转可得AB＝AB′，结合(1)中所求∠BAB′＝___°，可判断△ABB′为_____三角形，根据矩形AB′C′D′的性质结合B′F＝AB，即可求解．
(2)解：由(1)得∠BAC＝60°，由旋转的性质得，AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∴BB′＝AB，∠AB′B＝60°，又∵∠AB′F＝90°，∴∠BB′F＝150°.∵B′F＝AB，∴B′F＝BB′，∴∠FBB′＝∠BFB′＝ ＝15°；
(3)已知AB＝2，求BF的长．
【思维教练】要求BF的长，可简化图形如下，由(2)中所证可知∠ABF＝____°，则可作AM⊥BF于点M，连接AF构造直角三角形，则BM＝___，AM＝___，∠AFM＝___°，∴MF＝___，再根据线段之间的关系即可求解．
(3)解：如图，连接AF，过A作AM⊥BF于点M.
1. 在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α(0°＜α＜90°)，得到线段CD，连接AD、BD.(1)如图①，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为________；
【解法提示】在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α(0°＜α＜90°)，则CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，∴∠BCD＝90°－α，∵CD＝CA，CD＝CB，∴∠ADC＝ ＝90°－ ，∠BDC＝ ＝45°＋ ，∴∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°－ ＋45°＋ ＝135°.
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时．①在图②中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
由①知，∠ADB＝45°.∴∠DEF＝∠45°，∴BF＝EF＝DF，∴∠FEB＝45°，∵BD∥CG，∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，∴EC＝CG，EG＝ CE.∵∠ACE＝90°－∠ECB，∠BCG＝90°－∠ECB，∴∠ACE＝∠BCG，∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCG(SAS)，∴AE＝BG，
∵EG＝EB＋BG＝EB＋AE＝EB＋ED－AD＝EB＋EB－AD＝2EB－AD，∴ CE＝2BE－AD.
2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE.(1)求证： △ACD≌△BCE；
(1)证明：在等腰直角三角形ABC与正方形DEFG中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时， 设AC与DG相交于点M，求AM的长；
【一题多解】如图，延长AD交BE于点N，连接CN，
(3)将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．
②当点E在AD上时，如解图③，过点C作CN⊥AD于点N，则CN＝EN＝DN＝1，同理可得AN＝ ，∴AD＝ ＋1.综上所述，AD的长为 －1或 ＋1.
3. 已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.(1)如图①，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(1)证明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC.∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形；
(2)如图②，将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC)，BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(2)解：∠ACE＋∠EFC＝180°.证明如下：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ABC＝∠DEC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠DEC.
∵∠ACB＋∠ACF＝∠DEC＋∠CEF＝180°，∴∠ACF＝∠CEF.∵∠CEF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACE＋∠EFC＝180°；
(3)如图③，将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC)，若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．
(3)解：如图，在AD上取一点M.使得AM＝CB，连接BM.
∵AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴△ABM≌△CDB(SAS)，∴BM＝BD，∠MBA＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BMD，∵∠BMD＝∠BAD ＋∠MBA，∴∠ADB＝∠BCD＋∠BDC.
设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝α＋β.∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝α＋2β，∴∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝2β，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝ (180°－∠BAC)＝90°－β，∴∠ACD＝(90°－β) ＋α.∵∠ACD＋∠CAD＋∠CDA＝180°，∴(90°－β) ＋α＋2(α＋2β)＝180°，∴α＋β＝30°，即∠ADB＝30°.
4. 综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中， 当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
解：(1)四边形AMDN为矩形．理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，∴MD是△BAC的中位线，∴MD∥AC，∴∠AMD＋∠A＝180°.∵∠A＝90°，∴∠AMD＝90°.∵∠EDF＝90°，∴∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，∴四边形AMDN为矩形；
(2)如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
则∠CGN＝90°.∴CG＝ CD＝ .∵∠C＝∠C，∠CGN＝∠CAB＝90°，∴△CGN∽△CAB. ∴ ，即 ，∴CN＝ ；
(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
∵D为BC的中点，∴DB＝DC，又∵∠BDH＝∠CDN，DH＝DN，∴△BDH≌△CDN，∴BH＝CN，∠BHD＝∠DNC，∴BH∥AC，
【解法提示】如图，延长ND到点H，使得DH＝DN，
连接MN，BH，MH，